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Theorem pntpbnd1 27630
Description: Lemma for pntpbnd 27632. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntpbnd1.2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝑦,𝐾   𝜑,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝑖,𝑎,𝑗,𝑛,𝑦,𝐴   𝑛,𝐸,𝑦   𝑖,𝑌,𝑗,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 14014 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
2 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
3 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
42, 3sselid 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
7 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
8 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)1) ⊆ ℝ
9 pntpbnd1.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
108, 9sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
11 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
1312simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝐸)
1410, 13elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
15 rerpdivcl 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
167, 14, 15sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
1716reefcld 16124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
186, 17eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
19 efgt0 16139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
2120, 6breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑋)
22 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 < 𝑌)
255, 18, 4, 21, 24lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑌)
265, 4, 25ltled 11409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
27 flge0nn0 13860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
284, 26, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
29 nn0p1nn 12565 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
31 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
32 eluznn 12960 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3330, 31, 32syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3433nnrpd 13075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
35 pntpbnd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3635pntrf 27607 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3736ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3834, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3933peano2nnd 12283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
4033, 39nnmulcld 12319 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4138, 40nndivred 12320 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4241adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
431, 42fsumrecl 15770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4438adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
45 fveq2 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑛))
4645breq2d 5155 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅𝑛)))
4746rspccva 3621 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅𝑛))
4847adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅𝑛))
4940adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
5049nnred 12281 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5149nngt0d 12315 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
52 divge0 12137 . . . . . . 7 ((((𝑅𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5344, 48, 50, 51, 52syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
541, 42, 53fsumge0 15831 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5543, 54absidd 15461 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5642, 53absidd 15461 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5756sumeq2dv 15738 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5855, 57eqtr4d 2780 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
59 fzfid 14014 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
6041adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
6160recnd 11289 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
6259, 61fsumneg 15823 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
6338adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
6463renegcld 11690 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -(𝑅𝑛) ∈ ℝ)
6545breq1d 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅𝑛) ≤ 0))
6665rspccva 3621 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ≤ 0)
6766adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ≤ 0)
6863le0neg1d 11834 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝑅𝑛)))
6967, 68mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -(𝑅𝑛))
7040adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
7170nnred 12281 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
7270nngt0d 12315 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
73 divge0 12137 . . . . . . . . 9 (((-(𝑅𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝑅𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
7464, 69, 71, 72, 73syl22anc 839 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
7538recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
7640nncnd 12282 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
7740nnne0d 12316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ≠ 0)
7875, 76, 77divnegd 12056 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
7978adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8074, 79breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8160le0neg1d 11834 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
8280, 81mpbird 257 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
8360, 82absnidd 15452 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8483sumeq2dv 15738 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8559, 60fsumrecl 15770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
8660renegcld 11690 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
8759, 86, 80fsumge0 15831 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8887, 62breqtrd 5169 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8985le0neg1d 11834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9088, 89mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
9185, 90absnidd 15452 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9262, 84, 913eqtr4rd 2788 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
93 pntpbnd1.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (𝐴 + 2)
94 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
95 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
96 rpaddcl 13057 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
9794, 95, 96sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
9893, 97eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
9998, 14rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+)
10099rpred 13077 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
101100reefcld 16124 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
102 pnfxr 11315 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
103 icossre 13468 . . . . . . . . 9 (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
104101, 102, 103sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
105 pntpbnd1.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
106104, 105sseldd 3984 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
107106, 4remulcld 11291 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
1084recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
109108mullidd 11279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
110 1red 11262 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
111 efgt1 16152 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
11299, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
113 elicopnf 13485 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
114101, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
115114simplbda 499 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
116105, 115mpdan 687 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
117110, 101, 106, 112, 116ltletrd 11421 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝐾)
118 ltmul1 12117 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
119110, 106, 4, 25, 118syl112anc 1376 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
120117, 119mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌))
121109, 120eqbrtrrd 5167 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 < (𝐾 · 𝑌))
1224, 107, 121ltled 11409 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
123 flword2 13853 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)))
1244, 107, 122, 123syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)))
125107flcld 13838 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
126 uzid 12893 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
127125, 126syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
128 elfzuzb 13558 . . . . 5 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)) ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
129124, 127, 128sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
130 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)))
131130raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖)))
132130raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0))
133131, 132orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
134133imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
135 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
136135raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖)))
137135raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0))
138136, 137orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0)))
139138imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0))))
140 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)))
141140raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖)))
142140raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))
143141, 142orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
144143imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
145 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
146145raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)))
147145raleqdv 3326 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0))
148146, 147orbi12d 919 . . . . . 6 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
149148imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
150 elfzle3 13570 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
151 elfzel2 13562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
152151zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
153152ltp1d 12198 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
154 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
155152, 154syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
156152, 155ltnled 11408 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) ↔ ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
157153, 156mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
158150, 157pm2.21dd 195 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (𝑅𝑖) ≤ 0)
159158rgen 3063 . . . . . . 7 𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0
160159olci 867 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0)
1611602a1i 12 . . . . 5 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
162 elfzofz 13715 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
163 elfzp12 13643 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)) → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
164124, 163syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
165162, 164imbitrid 244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
166165imp 406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
16730nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+)
16836ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
169167, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
1705, 169letrid 11413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
171170adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
172 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
173172oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)))
1744flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
175174peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
176 fzsn 13606 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
178173, 177sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
179178raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖)))
180 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ V
181 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑅𝑖) = (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
182181breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
183180, 182ralsn 4681 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
184179, 183bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
185178raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0))
186181breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
187180, 186ralsn 4681 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)
188185, 187bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
189184, 188orbi12d 919 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)))
190171, 189mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))
191190a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
192 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
193192adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
194 eluzfz2 13572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
195193, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
196 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑚 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑚))
197196breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑚 → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅𝑚)))
198197rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → 0 ≤ (𝑅𝑚)))
199195, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → 0 ≤ (𝑅𝑚)))
200 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
202 eluznn 12960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
20330, 192, 202syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
205 elfzle1 13567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
206205adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
207 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
208 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
209174, 207, 208syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
210206, 209mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑚)
211 fllt 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
2124, 207, 211syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
213210, 212mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑚)
214 elfzle2 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
215214adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
216 flge 13845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
217107, 207, 216syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
218215, 217mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))
219213, 218jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
220219adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → (𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
2219ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
2223ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
223 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
22435, 221, 6, 222, 204, 220, 223pntpbnd1a 27629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)
225 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑚 → (𝑌 < 𝑦𝑌 < 𝑚))
226 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
227225, 226anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑚 → ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
228 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑚 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑚))
229 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑚𝑦 = 𝑚)
230228, 229oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑚 → ((𝑅𝑦) / 𝑦) = ((𝑅𝑚) / 𝑚))
231230fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑚 → (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)))
232231breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑚 → ((abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸))
233227, 232anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑚 → (((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)))
234233rspcev 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
235204, 220, 224, 234syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
236201, 235mtand 816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
237236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅𝑚)) → ¬ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
238203nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
23936ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
240238, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
241240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
242241recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅𝑚) ∈ ℂ)
243242subid1d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅𝑚) − 0) = (𝑅𝑚))
244203peano2nnd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
245244nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
24636ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
248247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
249 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
250 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
251 letric 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
252250, 247, 251sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
253252ord 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
254253imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
255254adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
256248, 249, 241, 255lesub2dd 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅𝑚) − 0) ≤ ((𝑅𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
257243, 256eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅𝑚) ≤ ((𝑅𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
258 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ≤ (𝑅𝑚))
259241, 258absidd 15461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅𝑚)) = (𝑅𝑚))
260248, 249, 241, 255, 258letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝑅𝑚))
261248, 241, 260abssuble0d 15471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))) = ((𝑅𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
262257, 259, 2613brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
263262expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅𝑚)) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))))
264237, 263mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅𝑚)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
265264ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅𝑚) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
266199, 265syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
267 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 + 1) ∈ V
268 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑖) = (𝑅‘(𝑚 + 1)))
269268breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
270267, 269ralsn 4681 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
271266, 270imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖)))
272271ancld 550 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖))))
273 fzsuc 13611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
274193, 273syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
275274raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅𝑖)))
276 ralunb 4197 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖)))
277275, 276bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖))))
278272, 277sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖)))
279196breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑚 → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅𝑚) ≤ 0))
280279rspcv 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (𝑅𝑚) ≤ 0))
281195, 280syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (𝑅𝑚) ≤ 0))
282236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅𝑚) ≤ 0) → ¬ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
283253con1d 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
284283imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
285284adantrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
286240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
287286renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅𝑚) ∈ ℝ)
288247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
289287, 288addge02d 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ↔ -(𝑅𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅𝑚))))
290285, 289mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅𝑚)))
291288recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
292286recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ∈ ℂ)
293291, 292negsubd 11626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅𝑚)) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))
294290, 293breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))
295 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ≤ 0)
296286, 295absnidd 15452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅𝑚)) = -(𝑅𝑚))
297 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ∈ ℝ)
298286, 297, 288, 295, 285letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
299286, 288, 298abssubge0d 15470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))
300294, 296, 2993brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
301300expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅𝑚) ≤ 0) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))))
302282, 301mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅𝑚) ≤ 0) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
303302ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑚) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
304281, 303syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
305268breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
306267, 305ralsn 4681 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
307304, 306imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0))
308307ancld 550 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0)))
309274raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅𝑖) ≤ 0))
310 ralunb 4197 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0))
311309, 310bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0)))
312308, 311sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))
313278, 312orim12d 967 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
314191, 313jaodan 960 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
315166, 314syldan 591 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
316315expcom 413 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
317316a2d 29 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
318134, 139, 144, 149, 161, 317fzind2 13824 . . . 4 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
319129, 318mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0))
32058, 92, 319mpjaodan 961 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
321 pntpbnd1.2 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
322 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑛))
323 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛𝑦 = 𝑛)
324 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 + 1) = (𝑛 + 1))
325323, 324oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 · (𝑦 + 1)) = (𝑛 · (𝑛 + 1)))
326322, 325oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
327326cbvsumv 15732 . . . . . . 7 Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))
328 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑖...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗))
329328sumeq1d 15736 . . . . . . 7 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
330327, 329eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
331330fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
332331breq1d 5153 . . . 4 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
333 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
334333sumeq1d 15736 . . . . . 6 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
335334fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336335breq1d 5153 . . . 4 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
337332, 336rspc2va 3634 . . 3 (((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
33830, 125, 321, 337syl21anc 838 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
339320, 338eqbrtrrd 5167 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cun 3949  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  cfl 13830  abscabs 15273  Σcsu 15722  expce 16097  ψcchp 27136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-vma 27141  df-chp 27142
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