pntpbnd1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pntpbnd1		Structured version Visualization version GIF version

Theorem pntpbnd1 27504

Description: Lemma for pntpbnd 27506. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x	⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntpbnd1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))

**Assertion**
Ref	Expression
pntpbnd1	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑛,𝑦,𝐾 𝜑,𝑛 𝑅,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦 𝑖,𝑎,𝑗,𝑛,𝑦,𝐴 𝑛,𝐸,𝑦 𝑖,𝑌,𝑗,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝐸(𝑖,𝑗,𝑎) 𝐾(𝑎) 𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎) 𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1 Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
2		ioossre 13375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
3		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
4	2, 3	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
7		2re 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		ioossre 13375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
9		pntpbnd1.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
10	8, 9	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
11		eliooord 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
13	12	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
14	10, 13	elrpd 12999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
15		rerpdivcl 12990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
16	7, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
17	16	reefcld 16061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
18	6, 17	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19		efgt0 16078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
21	20, 6	breqtrrdi 5152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
22		eliooord 13373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞))
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞))
24	23	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
25	5, 18, 4, 21, 24	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
26	5, 4, 25	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
27		flge0nn0 13789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
28	4, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
29		nn0p1nn 12488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
31		elfzuz 13488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
32		eluznn 12884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
33	30, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 13000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
35		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
36	35	pntrf 27481	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
37	36	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
39	33	peano2nnd 12210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
40	33, 39	nnmulcld 12246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
41	38, 40	nndivred 12247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
42	41	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
43	1, 42	fsumrecl 15707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
44	38	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
45		fveq2 6861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑛))
46	45	breq2d 5122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘𝑛)))
47	46	rspccva 3590	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅‘𝑛))
48	47	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅‘𝑛))
49	40	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
50	49	nnred 12208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
51	49	nngt0d 12242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
52		divge0 12059	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
53	44, 48, 50, 51, 52	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
54	1, 42, 53	fsumge0 15768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
55	43, 54	absidd 15396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
56	42, 53	absidd 15396	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
57	56	sumeq2dv 15675	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
58	55, 57	eqtr4d 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
59		fzfid 13945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
60	41	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
62	59, 61	fsumneg 15760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
63	38	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
64	63	renegcld 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -(𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
65	45	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘𝑛) ≤ 0))
66	65	rspccva 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ≤ 0)
67	66	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ≤ 0)
68	63	le0neg1d 11756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝑅‘𝑛)))
69	67, 68	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -(𝑅‘𝑛))
70	40	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
71	70	nnred 12208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
72	70	nngt0d 12242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
73		divge0 12059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-(𝑅‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝑅‘𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
74	64, 69, 71, 72, 73	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
75	38	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℂ)
76	40	nncnd 12209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
77	40	nnne0d 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ≠ 0)
78	75, 76, 77	divnegd 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
79	78	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
80	74, 79	breqtrrd 5138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
81	60	le0neg1d 11756	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
82	80, 81	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
83	60, 82	absnidd 15387	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
84	83	sumeq2dv 15675	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
85	59, 60	fsumrecl 15707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
86	60	renegcld 11612	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
87	59, 86, 80	fsumge0 15768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
88	87, 62	breqtrd 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
89	85	le0neg1d 11756	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
90	88, 89	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
91	85, 90	absnidd 15387	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
92	62, 84, 91	3eqtr4rd 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
93		pntpbnd1.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
94		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
95		2rp 12963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
96		rpaddcl 12982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
97	94, 95, 96	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
98	93, 97	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
99	98, 14	rpdivcld 13019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
100	99	rpred 13002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
101	100	reefcld 16061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
102		pnfxr 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
103		icossre 13396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
104	101, 102, 103	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
105		pntpbnd1.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
106	104, 105	sseldd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
107	106, 4	remulcld 11211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
108	4	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
109	108	mullidd 11199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
110		1red 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
111		efgt1 16091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
112	99, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
113		elicopnf 13413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
114	101, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
115	114	simplbda 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
116	105, 115	mpdan 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
117	110, 101, 106, 112, 116	ltletrd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
118		ltmul1 12039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
119	110, 106, 4, 25, 118	syl112anc 1376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
120	117, 119	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌))
121	109, 120	eqbrtrrd 5134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝐾 · 𝑌))
122	4, 107, 121	ltled 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
123		flword2 13782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)))
124	4, 107, 122, 123	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)))
125	107	flcld 13767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
126		uzid 12815	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
127	125, 126	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
128		elfzuzb 13486	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)) ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
129	124, 127, 128	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
130		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)))
131	130	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
132	130	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
133	131, 132	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
134	133	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
135		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
136	135	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
137	135	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
138	136, 137	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
139	138	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
140		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)))
141	140	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
142	140	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
143	141, 142	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
144	143	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
145		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
146	145	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
147	145	raleqdv 3301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
148	146, 147	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
149	148	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
150		elfzle3 13498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
151		elfzel2 13490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
152	151	zred 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
153	152	ltp1d 12120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
154		peano2re 11354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
155	152, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
156	152, 155	ltnled 11328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) ↔ ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
157	153, 156	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
158	150, 157	pm2.21dd 195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (𝑅‘𝑖) ≤ 0)
159	158	rgen 3047	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0
160	159	olci 866	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)
161	160	2a1i 12	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
162		elfzofz 13643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
163		elfzp12 13571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)) → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
164	124, 163	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
165	162, 164	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
166	165	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
167	30	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ⁺)
168	36	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
170	5, 169	letrid 11333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
171	170	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
172		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
173	172	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)))
174	4	flcld 13767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
175	174	peano2zd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
176		fzsn 13534	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
178	173, 177	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
179	178	raleqdv 3301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
180		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ V
181		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
182	181	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
183	180, 182	ralsn 4648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
184	179, 183	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
185	178	raleqdv 3301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0))
186	181	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
187	180, 186	ralsn 4648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)
188	185, 187	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
189	184, 188	orbi12d 918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)))
190	171, 189	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
191	190	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
192		elfzuz 13488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
193	192	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
194		eluzfz2 13500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
195	193, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
196		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑚))
197	196	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)))
198	197	rspcv 3587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘𝑚)))
199	195, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘𝑚)))
200		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
201	200	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
202		eluznn 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
203	30, 192, 202	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
204	203	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
205		elfzle1 13495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
206	205	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
207		elfzelz 13492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
208		zltp1le 12590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
209	174, 207, 208	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
210	206, 209	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑚)
211		fllt 13775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
212	4, 207, 211	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
213	210, 212	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑚)
214		elfzle2 13496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
215	214	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
216		flge 13774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
217	107, 207, 216	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
218	215, 217	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))
219	213, 218	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
220	219	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → (𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
221	9	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
222	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
223		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
224	35, 221, 6, 222, 204, 220, 223	pntpbnd1a 27503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)
225		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (𝑌 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑚))
226		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
227	225, 226	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
228		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑚))
229		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → 𝑦 = 𝑚)
230	228, 229	oveq12d 7408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → ((𝑅‘𝑦) / 𝑦) = ((𝑅‘𝑚) / 𝑚))
231	230	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)))
232	231	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → ((abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸))
233	227, 232	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)))
234	233	rspcev 3591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
235	204, 220, 224, 234	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
236	201, 235	mtand 815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
237	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)) → ¬ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
238	203	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
239	36	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
240	238, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
241	240	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
242	241	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℂ)
243	242	subid1d 11529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅‘𝑚) − 0) = (𝑅‘𝑚))
244	203	peano2nnd 12210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
245	244	nnrpd 13000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ⁺)
246	36	ffvelcdmi 7058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
247	245, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
248	247	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
249		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
250		0re 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
251		letric 11281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
252	250, 247, 251	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
253	252	ord 864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
254	253	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
255	254	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
256	248, 249, 241, 255	lesub2dd 11802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅‘𝑚) − 0) ≤ ((𝑅‘𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
257	243, 256	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
258		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ≤ (𝑅‘𝑚))
259	241, 258	absidd 15396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) = (𝑅‘𝑚))
260	248, 249, 241, 255, 258	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝑅‘𝑚))
261	248, 241, 260	abssuble0d 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))) = ((𝑅‘𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
262	257, 259, 261	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
263	262	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))))
264	237, 263	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
265	264	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅‘𝑚) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
266	199, 265	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
267		ovex 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 + 1) ∈ V
268		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘(𝑚 + 1)))
269	268	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
270	267, 269	ralsn 4648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
271	266, 270	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
272	271	ancld 550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖))))
273		fzsuc 13539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
274	193, 273	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
275	274	raleqdv 3301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
276		ralunb 4163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
277	275, 276	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖))))
278	272, 277	sylibrd 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
279	196	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘𝑚) ≤ 0))
280	279	rspcv 3587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘𝑚) ≤ 0))
281	195, 280	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘𝑚) ≤ 0))
282	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅‘𝑚) ≤ 0) → ¬ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
283	253	con1d 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
284	283	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
285	284	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
286	240	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
287	286	renegcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
288	247	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
289	287, 288	addge02d 11774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ↔ -(𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅‘𝑚))))
290	285, 289	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅‘𝑚)))
291	288	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
292	286	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℂ)
293	291, 292	negsubd 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅‘𝑚)) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))
294	290, 293	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))
295		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ≤ 0)
296	286, 295	absnidd 15387	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) = -(𝑅‘𝑚))
297		0red 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ∈ ℝ)
298	286, 297, 288, 295, 285	letrd 11338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
299	286, 288, 298	abssubge0d 15407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))
300	294, 296, 299	3brtr4d 5142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
301	300	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅‘𝑚) ≤ 0) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))))
302	282, 301	mt3d 148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅‘𝑚) ≤ 0) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
303	302	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
304	281, 303	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
305	268	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
306	267, 305	ralsn 4648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
307	304, 306	imbitrrdi 252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0))
308	307	ancld 550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
309	274	raleqdv 3301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
310		ralunb 4163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0))
311	309, 310	bitrdi 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
312	308, 311	sylibrd 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
313	278, 312	orim12d 966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
314	191, 313	jaodan 959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
315	166, 314	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
316	315	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
317	316	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
318	134, 139, 144, 149, 161, 317	fzind2 13753	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
319	129, 318	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
320	58, 92, 319	mpjaodan 960	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
321		pntpbnd1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
322		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑛))
323		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → 𝑦 = 𝑛)
324		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 + 1) = (𝑛 + 1))
325	323, 324	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 · (𝑦 + 1)) = (𝑛 · (𝑛 + 1)))
326	322, 325	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
327	326	cbvsumv 15669	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))
328		oveq1 7397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑖...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗))
329	328	sumeq1d 15673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
330	327, 329	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
331	330	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
332	331	breq1d 5120	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
333		oveq2 7398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
334	333	sumeq1d 15673	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
335	334	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336	335	breq1d 5120	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
337	332, 336	rspc2va 3603	. . 3 ⊢ (((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338	30, 125, 321, 337	syl21anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
339	320, 338	eqbrtrrd 5134	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∀wral 3045 ∃wrex 3054 ∪ cun 3915 ⊆ wss 3917 {csn 4592 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 + caddc 11078 · cmul 11080 +∞cpnf 11212 ℝ^*cxr 11214 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 -cneg 11413 / cdiv 11842 ℕcn 12193 2c2 12248 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 ℤ_≥cuz 12800 ℝ⁺crp 12958 (,)cioo 13313 [,)cico 13315 ...cfz 13475 ..^cfzo 13622 ⌊cfl 13759 abscabs 15207 Σcsu 15659 expce 16034 ψcchp 27010

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-dju 9861 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ioc 13318 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-shft 15040 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-limsup 15444 df-clim 15461 df-rlim 15462 df-sum 15660 df-ef 16040 df-e 16041 df-sin 16042 df-cos 16043 df-pi 16045 df-dvds 16230 df-gcd 16472 df-prm 16649 df-pc 16815 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-limc 25774 df-dv 25775 df-log 26472 df-vma 27015 df-chp 27016

This theorem is referenced by: pntpbnd2 27505

W3C validator