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Theorem pntpbnd1 27474
Description: Lemma for pntpbnd 27476. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
pntpbnd1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
pntpbnd1.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘¦ ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1)))) ≀ 𝐴)
pntpbnd1.c 𝐢 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• ((π‘Œ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝑦,𝐾   πœ‘,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝑖,π‘Ž,𝑗,𝑛,𝑦,𝐴   𝑛,𝐸,𝑦   𝑖,π‘Œ,𝑗,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑖,𝑗,π‘Ž)   𝐢(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘Ž)   𝐾(π‘Ž)   𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)

Proof of Theorem pntpbnd1
Dummy variables π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13944 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) ∈ Fin)
2 ioossre 13391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) βŠ† ℝ
3 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
42, 3sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
5 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
6 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (expβ€˜(2 / 𝐸))
7 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
8 ioossre 13391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)1) βŠ† ℝ
9 pntpbnd1.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
108, 9sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
11 eliooord 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐸 ∈ (0(,)1) β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
1312simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐸)
1410, 13elrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
15 rerpdivcl 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
167, 14, 15sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
1716reefcld 16038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
186, 17eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
19 efgt0 16053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ β†’ 0 < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 0 < (expβ€˜(2 / 𝐸)))
2120, 6breqtrrdi 5183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑋)
22 eliooord 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞) β†’ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < +∞))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑋 < π‘Œ ∧ π‘Œ < +∞))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
255, 18, 4, 21, 24lttrd 11379 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < π‘Œ)
265, 4, 25ltled 11366 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ π‘Œ)
27 flge0nn0 13791 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘Œ) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
284, 26, 27syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0)
29 nn0p1nn 12515 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ β„•)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ β„•)
31 elfzuz 13503 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)))
32 eluznn 12906 . . . . . . . . . . 11 ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3330, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3433nnrpd 13020 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
35 pntpbnd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ ((Οˆβ€˜π‘Ž) βˆ’ π‘Ž))
3635pntrf 27451 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+βŸΆβ„
3736ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3834, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3933peano2nnd 12233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
4033, 39nnmulcld 12269 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
4138, 40nndivred 12270 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4241adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
431, 42fsumrecl 15686 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4438adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
45 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 β†’ (π‘…β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘›))
4645breq2d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘›)))
4746rspccva 3605 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘›))
4847adantll 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘›))
4940adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
5049nnred 12231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5149nngt0d 12265 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 < (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))
52 divge0 12087 . . . . . . 7 ((((π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘›)) ∧ ((𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) β†’ 0 ≀ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
5344, 48, 50, 51, 52syl22anc 836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
541, 42, 53fsumge0 15747 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
5543, 54absidd 15375 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
5642, 53absidd 15375 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
5756sumeq2dv 15655 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
5855, 57eqtr4d 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
59 fzfid 13944 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) ∈ Fin)
6041adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
6160recnd 11246 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ β„‚)
6259, 61fsumneg 15739 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))-((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) = -Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
6338adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
6463renegcld 11645 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ -(π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ)
6545breq1d 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 β†’ ((π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (π‘…β€˜π‘›) ≀ 0))
6665rspccva 3605 . . . . . . . . . . 11 ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘›) ≀ 0)
6766adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘›) ≀ 0)
6863le0neg1d 11789 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -(π‘…β€˜π‘›)))
6967, 68mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ -(π‘…β€˜π‘›))
7040adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„•)
7170nnred 12231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
7270nngt0d 12265 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 < (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))
73 divge0 12087 . . . . . . . . 9 (((-(π‘…β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(π‘…β€˜π‘›)) ∧ ((𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) β†’ 0 ≀ (-(π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
7464, 69, 71, 72, 73syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ (-(π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
7538recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘›) ∈ β„‚)
7640nncnd 12232 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) ∈ β„‚)
7740nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (𝑛 Β· (𝑛 + 1)) β‰  0)
7875, 76, 77divnegd 12007 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ -((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) = (-(π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
7978adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ -((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) = (-(π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
8074, 79breqtrrd 5169 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ 0 ≀ -((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
8160le0neg1d 11789 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
8280, 81mpbird 257 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ≀ 0)
8360, 82absnidd 15366 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = -((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
8483sumeq2dv 15655 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))-((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
8559, 60fsumrecl 15686 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
8660renegcld 11645 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ -((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
8759, 86, 80fsumge0 15747 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))-((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
8887, 62breqtrd 5167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ 0 ≀ -Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
8985le0neg1d 11789 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
9088, 89mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) ≀ 0)
9185, 90absnidd 15366 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = -Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
9262, 84, 913eqtr4rd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
93 pntpbnd1.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐢 = (𝐴 + 2)
94 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
95 2rp 12985 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
96 rpaddcl 13002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) β†’ (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
9794, 95, 96sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
9893, 97eqeltrid 2831 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
9998, 14rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 𝐸) ∈ ℝ+)
10099rpred 13022 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 𝐸) ∈ ℝ)
101100reefcld 16038 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐢 / 𝐸)) ∈ ℝ)
102 pnfxr 11272 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
103 icossre 13411 . . . . . . . . 9 (((expβ€˜(𝐢 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸))[,)+∞) βŠ† ℝ)
104101, 102, 103sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸))[,)+∞) βŠ† ℝ)
105 pntpbnd1.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸))[,)+∞))
106104, 105sseldd 3978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
107106, 4remulcld 11248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ ℝ)
1084recnd 11246 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
109108mullidd 11236 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· π‘Œ) = π‘Œ)
110 1red 11219 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
111 efgt1 16066 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 / 𝐸) ∈ ℝ+ β†’ 1 < (expβ€˜(𝐢 / 𝐸)))
11299, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 1 < (expβ€˜(𝐢 / 𝐸)))
113 elicopnf 13428 . . . . . . . . . . . . 13 ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸)) ∈ ℝ β†’ (𝐾 ∈ ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (expβ€˜(𝐢 / 𝐸)) ≀ 𝐾)))
114101, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (expβ€˜(𝐢 / 𝐸)) ≀ 𝐾)))
115114simplbda 499 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ ((expβ€˜(𝐢 / 𝐸))[,)+∞)) β†’ (expβ€˜(𝐢 / 𝐸)) ≀ 𝐾)
116105, 115mpdan 684 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐢 / 𝐸)) ≀ 𝐾)
117110, 101, 106, 112, 116ltletrd 11378 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 1 < 𝐾)
118 ltmul1 12068 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘Œ)) β†’ (1 < 𝐾 ↔ (1 Β· π‘Œ) < (𝐾 Β· π‘Œ)))
119110, 106, 4, 25, 118syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 < 𝐾 ↔ (1 Β· π‘Œ) < (𝐾 Β· π‘Œ)))
120117, 119mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 Β· π‘Œ) < (𝐾 Β· π‘Œ))
121109, 120eqbrtrrd 5165 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ < (𝐾 Β· π‘Œ))
1224, 107, 121ltled 11366 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ (𝐾 Β· π‘Œ))
123 flword2 13784 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ (𝐾 Β· π‘Œ) ∈ ℝ ∧ π‘Œ ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)))
1244, 107, 122, 123syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)))
125107flcld 13769 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ β„€)
126 uzid 12841 . . . . . 6 ((βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ β„€ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
127125, 126syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
128 elfzuzb 13501 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) ↔ ((βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) ∧ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))))
129124, 127, 128sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
130 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯) = (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)))
131130raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
132130raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
133131, 132orbi12d 915 . . . . . 6 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
134133imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ ((πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))))
135 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘š β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯) = (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š))
136135raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘š β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
137135raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘š β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
138136, 137orbi12d 915 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘š β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
139138imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))))
140 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘š + 1) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯) = (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1)))
141140raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘š + 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
142140raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘š + 1) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
143141, 142orbi12d 915 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘š + 1) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
144143imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))))
145 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯) = (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
146145raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
147145raleqdv 3319 . . . . . . 7 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
148146, 147orbi12d 915 . . . . . 6 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
149148imbi2d 340 . . . . 5 (π‘₯ = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ ((πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘₯)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)) ↔ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))))
150 elfzle3 13513 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ))
151 elfzel2 13505 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„€)
152151zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
153152ltp1d 12148 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) < ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))
154 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ ℝ)
155152, 154syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ ℝ)
156152, 155ltnled 11365 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) < ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ↔ Β¬ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ)))
157153, 156mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ Β¬ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ≀ (βŒŠβ€˜π‘Œ))
158150, 157pm2.21dd 194 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)
159158rgen 3057 . . . . . . 7 βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0
160159olci 863 . . . . . 6 (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)
1611602a1i 12 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜π‘Œ))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
162 elfzofz 13654 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)..^(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
163 elfzp12 13586 . . . . . . . . . . 11 ((βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) ↔ (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∨ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))))
164124, 163syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) ↔ (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∨ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))))
165162, 164imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)..^(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∨ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))))
166165imp 406 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)..^(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∨ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))))
16730nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ ℝ+)
16836ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ∈ ℝ)
169167, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ∈ ℝ)
1705, 169letrid 11370 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ∨ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ≀ 0))
171170adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ∨ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ≀ 0))
172 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘š + 1) = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))
173172oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1)) = (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)))
1744flcld 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„€)
175174peano2zd 12673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ β„€)
176 fzsn 13549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ β„€ β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) = {((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)})
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) = {((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)})
178173, 177sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1)) = {((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)})
179178raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ {((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)}0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
180 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ V
181 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ (π‘…β€˜π‘–) = (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)))
182181breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ 0 ≀ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))))
183180, 182ralsn 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘– ∈ {((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)}0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ 0 ≀ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)))
184179, 183bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ 0 ≀ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))))
185178raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘– ∈ {((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)} (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
186181breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ ((π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ≀ 0))
187180, 186ralsn 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘– ∈ {((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)} (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ≀ 0)
188185, 187bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ≀ 0))
189184, 188orbi12d 915 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) ↔ (0 ≀ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ∨ (π‘…β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) ≀ 0)))
190171, 189mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
191190a1d 25 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ)) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
192 elfzuz 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)))
193192adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)))
194 eluzfz2 13515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) β†’ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š))
195193, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š))
196 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = π‘š β†’ (π‘…β€˜π‘–) = (π‘…β€˜π‘š))
197196breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘š β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘š)))
198197rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘š)))
199195, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘š)))
200 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• ((π‘Œ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐸))
201200adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• ((π‘Œ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐸))
202 eluznn 12906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ β„• ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1))) β†’ π‘š ∈ β„•)
20330, 192, 202syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
204203adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
205 elfzle1 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ≀ π‘š)
206205adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ≀ π‘š)
207 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ π‘š ∈ β„€)
208 zltp1le 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((βŒŠβ€˜π‘Œ) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) < π‘š ↔ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ≀ π‘š))
209174, 207, 208syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) < π‘š ↔ ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ≀ π‘š))
210206, 209mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βŒŠβ€˜π‘Œ) < π‘š)
211 fllt 13777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘Œ < π‘š ↔ (βŒŠβ€˜π‘Œ) < π‘š))
2124, 207, 211syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘Œ < π‘š ↔ (βŒŠβ€˜π‘Œ) < π‘š))
213210, 212mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ π‘Œ < π‘š)
214 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))
215214adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))
216 flge 13776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 Β· π‘Œ) ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
217107, 207, 216syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ π‘š ≀ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
218215, 217mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ))
219213, 218jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘Œ < π‘š ∧ π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
220219adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))) β†’ (π‘Œ < π‘š ∧ π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
2219ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))) β†’ 𝐸 ∈ (0(,)1))
2223ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋(,)+∞))
223 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))))
22435, 221, 6, 222, 204, 220, 223pntpbnd1a 27473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘š) / π‘š)) ≀ 𝐸)
225 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = π‘š β†’ (π‘Œ < 𝑦 ↔ π‘Œ < π‘š))
226 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = π‘š β†’ (𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ) ↔ π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)))
227225, 226anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = π‘š β†’ ((π‘Œ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ↔ (π‘Œ < π‘š ∧ π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ))))
228 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = π‘š β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜π‘š))
229 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = π‘š β†’ 𝑦 = π‘š)
230228, 229oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = π‘š β†’ ((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦) = ((π‘…β€˜π‘š) / π‘š))
231230fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = π‘š β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) = (absβ€˜((π‘…β€˜π‘š) / π‘š)))
232231breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = π‘š β†’ ((absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘š) / π‘š)) ≀ 𝐸))
233227, 232anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘š β†’ (((π‘Œ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐸) ↔ ((π‘Œ < π‘š ∧ π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘š) / π‘š)) ≀ 𝐸)))
234233rspcev 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘š ∈ β„• ∧ ((π‘Œ < π‘š ∧ π‘š ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘š) / π‘š)) ≀ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• ((π‘Œ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐸))
235204, 220, 224, 234syl12anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„• ((π‘Œ < 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (𝐾 Β· π‘Œ)) ∧ (absβ€˜((π‘…β€˜π‘¦) / 𝑦)) ≀ 𝐸))
236201, 235mtand 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))))
237236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘š)) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))))
238203nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
23936ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜π‘š) ∈ ℝ)
240238, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ∈ ℝ)
241240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ∈ ℝ)
242241recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ∈ β„‚)
243242subid1d 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘š) βˆ’ 0) = (π‘…β€˜π‘š))
244203peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
245244nnrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ+)
24636ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘š + 1) ∈ ℝ+ β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∈ ℝ)
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∈ ℝ)
248247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∈ ℝ)
249 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
250 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
251 letric 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ ∧ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∨ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0))
252250, 247, 251sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∨ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0))
253252ord 861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0))
254253imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1))) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)
255254adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)
256248, 249, 241, 255lesub2dd 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘š) βˆ’ 0) ≀ ((π‘…β€˜π‘š) βˆ’ (π‘…β€˜(π‘š + 1))))
257243, 256eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ ((π‘…β€˜π‘š) βˆ’ (π‘…β€˜(π‘š + 1))))
258 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘š))
259241, 258absidd 15375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) = (π‘…β€˜π‘š))
260248, 249, 241, 255, 258letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ (π‘…β€˜π‘š))
261248, 241, 260abssuble0d 15385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))) = ((π‘…β€˜π‘š) βˆ’ (π‘…β€˜(π‘š + 1))))
262257, 259, 2613brtr4d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) ∧ Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))))
263262expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘š)) β†’ (Β¬ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))))
264237, 263mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ 0 ≀ (π‘…β€˜π‘š)) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))
265264ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘š) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1))))
266199, 265syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1))))
267 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š + 1) ∈ V
268 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (π‘…β€˜π‘–) = (π‘…β€˜(π‘š + 1)))
269268breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1))))
270267, 269ralsn 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)}0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))
271266, 270imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) β†’ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)}0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
272271ancld 550 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)}0 ≀ (π‘…β€˜π‘–))))
273 fzsuc 13554 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1)) = ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) βˆͺ {(π‘š + 1)}))
274193, 273syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1)) = ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) βˆͺ {(π‘š + 1)}))
275274raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) βˆͺ {(π‘š + 1)})0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
276 ralunb 4186 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘– ∈ ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) βˆͺ {(π‘š + 1)})0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)}0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
277275, 276bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∧ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)}0 ≀ (π‘…β€˜π‘–))))
278272, 277sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) β†’ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–)))
279196breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = π‘š β†’ ((π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (π‘…β€˜π‘š) ≀ 0))
280279rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ 0))
281195, 280syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ 0))
282236adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (π‘…β€˜π‘š) ≀ 0) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))))
283253con1d 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0 β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1))))
284283imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))
285284adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ 0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))
286240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ∈ ℝ)
287286renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ -(π‘…β€˜π‘š) ∈ ℝ)
288247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∈ ℝ)
289287, 288addge02d 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (0 ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ↔ -(π‘…β€˜π‘š) ≀ ((π‘…β€˜(π‘š + 1)) + -(π‘…β€˜π‘š))))
290285, 289mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ -(π‘…β€˜π‘š) ≀ ((π‘…β€˜(π‘š + 1)) + -(π‘…β€˜π‘š)))
291288recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ∈ β„‚)
292286recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ∈ β„‚)
293291, 292negsubd 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ ((π‘…β€˜(π‘š + 1)) + -(π‘…β€˜π‘š)) = ((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))
294290, 293breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ -(π‘…β€˜π‘š) ≀ ((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))
295 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ 0)
296286, 295absnidd 15366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) = -(π‘…β€˜π‘š))
297 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ 0 ∈ ℝ)
298286, 297, 288, 295, 285letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (π‘…β€˜π‘š) ≀ (π‘…β€˜(π‘š + 1)))
299286, 288, 298abssubge0d 15384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))) = ((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))
300294, 296, 2993brtr4d 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 ∧ Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)) β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š))))
301300expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (π‘…β€˜π‘š) ≀ 0) β†’ (Β¬ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0 β†’ (absβ€˜(π‘…β€˜π‘š)) ≀ (absβ€˜((π‘…β€˜(π‘š + 1)) βˆ’ (π‘…β€˜π‘š)))))
302282, 301mt3d 148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) ∧ (π‘…β€˜π‘š) ≀ 0) β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)
303302ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘š) ≀ 0 β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0))
304281, 303syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 β†’ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0))
305268breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (π‘š + 1) β†’ ((π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0))
306267, 305ralsn 4680 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)} (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (π‘…β€˜(π‘š + 1)) ≀ 0)
307304, 306imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 β†’ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)} (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
308307ancld 550 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ∧ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)} (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
309274raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ βˆ€π‘– ∈ ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) βˆͺ {(π‘š + 1)})(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
310 ralunb 4186 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘– ∈ ((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š) βˆͺ {(π‘š + 1)})(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ∧ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)} (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
311309, 310bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ↔ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 ∧ βˆ€π‘– ∈ {(π‘š + 1)} (π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
312308, 311sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0 β†’ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
313278, 312orim12d 961 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
314191, 313jaodan 954 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘Œ) ∨ π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
315166, 314syldan 590 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)..^(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))) β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
316315expcom 413 . . . . . 6 (π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)..^(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))))
317316a2d 29 . . . . 5 (π‘š ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)..^(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ ((πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...π‘š)(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(π‘š + 1))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))))
318134, 139, 144, 149, 161, 317fzind2 13756 . . . 4 ((βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ ((βŒŠβ€˜π‘Œ)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))) β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0)))
319129, 318mpcom 38 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))0 ≀ (π‘…β€˜π‘–) ∨ βˆ€π‘– ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(π‘…β€˜π‘–) ≀ 0))
32058, 92, 319mpjaodan 955 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
321 pntpbnd1.2 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘¦ ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1)))) ≀ 𝐴)
322 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (π‘…β€˜π‘¦) = (π‘…β€˜π‘›))
323 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛 β†’ 𝑦 = 𝑛)
324 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 + 1) = (𝑛 + 1))
325323, 324oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 β†’ (𝑦 Β· (𝑦 + 1)) = (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))
326322, 325oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 β†’ ((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1))) = ((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
327326cbvsumv 15648 . . . . . . 7 Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))
328 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ (𝑖...𝑗) = (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗))
329328sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
330327, 329eqtrid 2778 . . . . . 6 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
331330fveq2d 6889 . . . . 5 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘¦ ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1)))) = (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
332331breq1d 5151 . . . 4 (𝑖 = ((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘¦ ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1)))) ≀ 𝐴 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝐴))
333 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑗 = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗) = (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ))))
334333sumeq1d 15653 . . . . . 6 (𝑗 = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1))))
335334fveq2d 6889 . . . . 5 (𝑗 = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) = (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))))
336335breq1d 5151 . . . 4 (𝑗 = (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) β†’ ((absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...𝑗)((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝐴 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝐴))
337332, 336rspc2va 3618 . . 3 (((((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1) ∈ β„• ∧ (βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)) ∈ β„€) ∧ βˆ€π‘– ∈ β„• βˆ€π‘— ∈ β„€ (absβ€˜Ξ£π‘¦ ∈ (𝑖...𝑗)((π‘…β€˜π‘¦) / (𝑦 Β· (𝑦 + 1)))) ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝐴)
33830, 125, 321, 337syl21anc 835 . 2 (πœ‘ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝐴)
339320, 338eqbrtrrd 5165 1 (πœ‘ β†’ Σ𝑛 ∈ (((βŒŠβ€˜π‘Œ) + 1)...(βŒŠβ€˜(𝐾 Β· π‘Œ)))(absβ€˜((π‘…β€˜π‘›) / (𝑛 Β· (𝑛 + 1)))) ≀ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  ...cfz 13490  ..^cfzo 13633  βŒŠcfl 13761  abscabs 15187  Ξ£csu 15638  expce 16011  Οˆcchp 26980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-e 16018  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-pc 16779  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-vma 26985  df-chp 26986
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