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Theorem pntpbnd1 25849

Description: Lemma for pntpbnd 25851. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pntpbnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x	⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
pntpbnd1.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3	⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))

**Assertion**
Ref	Expression
pntpbnd1	⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups: 𝑖,𝑗,𝑛,𝑦,𝐾 𝜑,𝑛 𝑅,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦 𝑖,𝑎,𝑗,𝑛,𝑦,𝐴 𝑛,𝐸,𝑦 𝑖,𝑌,𝑗,𝑛,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎) 𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎) 𝑅(𝑎) 𝐸(𝑖,𝑗,𝑎) 𝐾(𝑎) 𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎) 𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1 Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
2		ioossre 12653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
3		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
4	2, 3	sseldi 3891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		0red 10495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
7		2re 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		ioossre 12653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
9		pntpbnd1.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
10	8, 9	sseldi 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
11		eliooord 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
13	12	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
14	10, 13	elrpd 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
15		rerpdivcl 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ⁺) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
16	7, 14, 15	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
17	16	reefcld 15279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
18	6, 17	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
19		efgt0 15294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
21	20, 6	syl6breqr 5008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑋)
22		eliooord 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞))
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ∧ 𝑌 < +∞))
24	23	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
25	5, 18, 4, 21, 24	lttrd 10653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑌)
26	5, 4, 25	ltled 10640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
27		flge0nn0 13045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
28	4, 26, 27	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀)
29		nn0p1nn 11789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ₀ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
31		elfzuz 12759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
32		eluznn 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
33	30, 31, 32	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
34	33	nnrpd 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ⁺)
35		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ⁺ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
36	35	pntrf 25826	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅:ℝ⁺⟶ℝ
37	36	ffvelrni 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
39	33	peano2nnd 11508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
40	33, 39	nnmulcld 11543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
41	38, 40	nndivred 11544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
42	41	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
43	1, 42	fsumrecl 14929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
44	38	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
45		fveq2 6543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑛))
46	45	breq2d 4978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘𝑛)))
47	46	rspccva 3558	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅‘𝑛))
48	47	adantll 710	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅‘𝑛))
49	40	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
50	49	nnred 11506	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
51	49	nngt0d 11539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
52		divge0 11362	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
53	44, 48, 50, 51, 52	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
54	1, 42, 53	fsumge0 14988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
55	43, 54	absidd 14621	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
56	42, 53	absidd 14621	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
57	56	sumeq2dv 14898	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
58	55, 57	eqtr4d 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
59		fzfid 13196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
60	41	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
61	60	recnd 10520	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
62	59, 61	fsumneg 14980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
63	38	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
64	63	renegcld 10920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -(𝑅‘𝑛) ∈ ℝ)
65	45	breq1d 4976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘𝑛) ≤ 0))
66	65	rspccva 3558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ≤ 0)
67	66	adantll 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ≤ 0)
68	63	le0neg1d 11064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝑅‘𝑛)))
69	67, 68	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -(𝑅‘𝑛))
70	40	adantlr 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
71	70	nnred 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
72	70	nngt0d 11539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
73		divge0 11362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-(𝑅‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝑅‘𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
74	64, 69, 71, 72, 73	syl22anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
75	38	recnd 10520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑛) ∈ ℂ)
76	40	nncnd 11507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
77	40	nnne0d 11540	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ≠ 0)
78	75, 76, 77	divnegd 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
79	78	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
80	74, 79	breqtrrd 4994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
81	60	le0neg1d 11064	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
82	80, 81	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
83	60, 82	absnidd 14612	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
84	83	sumeq2dv 14898	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
85	59, 60	fsumrecl 14929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
86	60	renegcld 10920	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
87	59, 86, 80	fsumge0 14988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
88	87, 62	breqtrd 4992	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
89	85	le0neg1d 11064	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
90	88, 89	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
91	85, 90	absnidd 14612	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
92	62, 84, 91	3eqtr4rd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
93		pntpbnd1.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 2)
94		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ⁺)
95		2rp 12249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
96		rpaddcl 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ⁺ ∧ 2 ∈ ℝ⁺) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
97	94, 95, 96	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ⁺)
98	93, 97	syl5eqel 2887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ⁺)
99	98, 14	rpdivcld 12303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺)
100	99	rpred 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
101	100	reefcld 15279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
102		pnfxr 10546	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
103		icossre 12672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
104	101, 102, 103	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
105		pntpbnd1.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
106	104, 105	sseldd 3894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
107	106, 4	remulcld 10522	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
108	4	recnd 10520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
109	108	mulid2d 10510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
110		1red 10493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
111		efgt1 15307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ⁺ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
112	99, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
113		elicopnf 12688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
114	101, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
115	114	simplbda 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
116	105, 115	mpdan 683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
117	110, 101, 106, 112, 116	ltletrd 10652	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
118		ltmul1 11343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
119	110, 106, 4, 25, 118	syl112anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
120	117, 119	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌))
121	109, 120	eqbrtrrd 4990	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝐾 · 𝑌))
122	4, 107, 121	ltled 10640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
123		flword2 13038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)))
124	4, 107, 122, 123	syl3anc 1364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)))
125	107	flcld 13023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
126		uzid 12113	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
127	125, 126	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
128		elfzuzb 12757	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)) ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
129	124, 127, 128	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
130		oveq2 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)))
131	130	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
132	130	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
133	131, 132	orbi12d 913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
134	133	imbi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
135		oveq2 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
136	135	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
137	135	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
138	136, 137	orbi12d 913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
139	138	imbi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
140		oveq2 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)))
141	140	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
142	140	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
143	141, 142	orbi12d 913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
144	143	imbi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
145		oveq2 7029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
146	145	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
147	145	raleqdv 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
148	146, 147	orbi12d 913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
149	148	imbi2d 342	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
150		elfzle3 12768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
151		elfzel2 12761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
152	151	zred 11941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
153	152	ltp1d 11423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
154		peano2re 10665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
155	152, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
156	152, 155	ltnled 10639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) ↔ ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
157	153, 156	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
158	150, 157	pm2.21dd 196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (𝑅‘𝑖) ≤ 0)
159	158	rgen 3115	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0
160	159	olci 861	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)
161	160	2a1i 12	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
162		elfzofz 12908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
163		elfzp12 12841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ_≥‘(⌊‘𝑌)) → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
164	124, 163	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
165	162, 164	syl5ib 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
166	165	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
167	30	nnrpd 12284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ⁺)
168	36	ffvelrni 6720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
170	5, 169	letrid 10644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
171	170	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
172		oveq1 7028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
173	172	oveq2d 7037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)))
174	4	flcld 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
175	174	peano2zd 11944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
176		fzsn 12804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
178	173, 177	sylan9eqr 2853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
179	178	raleqdv 3375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
180		ovex 7053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ V
181		fveq2 6543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
182	181	breq2d 4978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
183	180, 182	ralsn 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
184	179, 183	syl6bb 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
185	178	raleqdv 3375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0))
186	181	breq1d 4976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
187	180, 186	ralsn 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)
188	185, 187	syl6bb 288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
189	184, 188	orbi12d 913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0) ↔ (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)))
190	171, 189	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
191	190	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
192		elfzuz 12759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
193	192	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)))
194		eluzfz2 12770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
195	193, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
196		fveq2 6543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑚))
197	196	breq2d 4978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)))
198	197	rspcv 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘𝑚)))
199	195, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘𝑚)))
200		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
202		eluznn 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
203	30, 192, 202	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
204	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
205		elfzle1 12765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
207		elfzelz 12763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
208		zltp1le 11886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
209	174, 207, 208	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
210	206, 209	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑚)
211		fllt 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
212	4, 207, 211	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
213	210, 212	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑚)
214		elfzle2 12766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
215	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
216		flge 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
217	107, 207, 216	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
218	215, 217	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))
219	213, 218	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
220	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → (𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
221	9	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
222	3	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
223		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
224	35, 221, 6, 222, 204, 220, 223	pntpbnd1a 25848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)
225		breq2 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (𝑌 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑚))
226		breq1 4969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
227	225, 226	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
228		fveq2 6543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑚))
229		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → 𝑦 = 𝑚)
230	228, 229	oveq12d 7039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → ((𝑅‘𝑦) / 𝑦) = ((𝑅‘𝑚) / 𝑚))
231	230	fveq2d 6547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)))
232	231	breq1d 4976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → ((abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸))
233	227, 232	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑚 → (((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)))
234	233	rspcev 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑚 ∧ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
235	204, 220, 224, 234	syl12anc 833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
236	201, 235	mtand 812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
237	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)) → ¬ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
238	203	nnrpd 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℝ⁺)
239	36	ffvelrni 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
240	238, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
242	241	recnd 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℂ)
243	242	subid1d 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅‘𝑚) − 0) = (𝑅‘𝑚))
244	203	peano2nnd 11508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
245	244	nnrpd 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ⁺)
246	36	ffvelrni 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑚 + 1) ∈ ℝ⁺ → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
247	245, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
248	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
249		0red 10495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
250		0re 10494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ ℝ
251		letric 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
252	250, 247, 251	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
253	252	ord 859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
254	253	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
255	254	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
256	248, 249, 241, 255	lesub2dd 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅‘𝑚) − 0) ≤ ((𝑅‘𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
257	243, 256	eqbrtrrd 4990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
258		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ≤ (𝑅‘𝑚))
259	241, 258	absidd 14621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) = (𝑅‘𝑚))
260	248, 249, 241, 255, 258	letrd 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝑅‘𝑚))
261	248, 241, 260	abssuble0d 14631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))) = ((𝑅‘𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
262	257, 259, 261	3brtr4d 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅‘𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
263	262	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))))
264	237, 263	mt3d 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅‘𝑚)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
265	264	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅‘𝑚) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
266	199, 265	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
267		ovex 7053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 + 1) ∈ V
268		fveq2 6543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘(𝑚 + 1)))
269	268	breq2d 4978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → (0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
270	267, 269	ralsn 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
271	266, 270	syl6ibr 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
272	271	ancld 551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖))))
273		fzsuc 12809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘((⌊‘𝑌) + 1)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
274	193, 273	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
275	274	raleqdv 3375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
276		ralunb 4092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
277	275, 276	syl6bb 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅‘𝑖))))
278	272, 277	sylibrd 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖)))
279	196	breq1d 4976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑚 → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘𝑚) ≤ 0))
280	279	rspcv 3555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘𝑚) ≤ 0))
281	195, 280	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘𝑚) ≤ 0))
282	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅‘𝑚) ≤ 0) → ¬ (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
283	253	con1d 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
284	283	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
285	284	adantrl 712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
286	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
287	286	renegcld 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅‘𝑚) ∈ ℝ)
288	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
289	287, 288	addge02d 11082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ↔ -(𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅‘𝑚))))
290	285, 289	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅‘𝑚)))
291	288	recnd 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
292	286	recnd 10520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ∈ ℂ)
293	291, 292	negsubd 10856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅‘𝑚)) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))
294	290, 293	breqtrd 4992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅‘𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))
295		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ≤ 0)
296	286, 295	absnidd 14612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) = -(𝑅‘𝑚))
297		0red 10495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ∈ ℝ)
298	286, 297, 288, 295, 285	letrd 10649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘𝑚) ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
299	286, 288, 298	abssubge0d 14630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))
300	294, 296, 299	3brtr4d 4998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚))))
301	300	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅‘𝑚) ≤ 0) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → (abs‘(𝑅‘𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅‘𝑚)))))
302	282, 301	mt3d 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅‘𝑚) ≤ 0) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
303	302	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅‘𝑚) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
304	281, 303	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
305	268	breq1d 4976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
306	267, 305	ralsn 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
307	304, 306	syl6ibr 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0))
308	307	ancld 551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
309	274	raleqdv 3375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
310		ralunb 4092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0))
311	309, 310	syl6bb 288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
312	308, 311	sylibrd 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
313	278, 312	orim12d 959	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
314	191, 313	jaodan 952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
315	166, 314	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
316	315	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
317	316	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅‘𝑖) ≤ 0)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))))
318	134, 139, 144, 149, 161, 317	fzind2 13010	. . . 4 ⊢ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0)))
319	129, 318	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅‘𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅‘𝑖) ≤ 0))
320	58, 92, 319	mpjaodan 953	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
321		pntpbnd1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
322		fveq2 6543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑛))
323		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → 𝑦 = 𝑛)
324		oveq1 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 + 1) = (𝑛 + 1))
325	323, 324	oveq12d 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 · (𝑦 + 1)) = (𝑛 · (𝑛 + 1)))
326	322, 325	oveq12d 7039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = ((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
327	326	cbvsumv 14891	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))
328		oveq1 7028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑖...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗))
329	328	sumeq1d 14896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
330	327, 329	syl5eq 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
331	330	fveq2d 6547	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
332	331	breq1d 4976	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
333		oveq2 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
334	333	sumeq1d 14896	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
335	334	fveq2d 6547	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336	335	breq1d 4976	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
337	332, 336	rspc2va 3573	. . 3 ⊢ (((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
338	30, 125, 321, 337	syl21anc 834	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
339	320, 338	eqbrtrrd 4990	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 842 = wceq 1522 ∈ wcel 2081 ∀wral 3105 ∃wrex 3106 ∪ cun 3861 ⊆ wss 3863 {csn 4476 class class class wbr 4966 ↦ cmpt 5045 ‘cfv 6230 (class class class)co 7021 ℝcr 10387 0cc0 10388 1c1 10389 + caddc 10391 · cmul 10393 +∞cpnf 10523 ℝ^*cxr 10525 < clt 10526 ≤ cle 10527 − cmin 10722 -cneg 10723 / cdiv 11150 ℕcn 11491 2c2 11545 ℕ₀cn0 11750 ℤcz 11834 ℤ_≥cuz 12098 ℝ⁺crp 12244 (,)cioo 12593 [,)cico 12595 ...cfz 12747 ..^cfzo 12888 ⌊cfl 13015 abscabs 14432 Σcsu 14881 expce 15253 ψcchp 25357

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1777 ax-4 1791 ax-5 1888 ax-6 1947 ax-7 1992 ax-8 2083 ax-9 2091 ax-10 2112 ax-11 2126 ax-12 2141 ax-13 2344 ax-ext 2769 ax-rep 5086 ax-sep 5099 ax-nul 5106 ax-pow 5162 ax-pr 5226 ax-un 7324 ax-inf2 8955 ax-cnex 10444 ax-resscn 10445 ax-1cn 10446 ax-icn 10447 ax-addcl 10448 ax-addrcl 10449 ax-mulcl 10450 ax-mulrcl 10451 ax-mulcom 10452 ax-addass 10453 ax-mulass 10454 ax-distr 10455 ax-i2m1 10456 ax-1ne0 10457 ax-1rid 10458 ax-rnegex 10459 ax-rrecex 10460 ax-cnre 10461 ax-pre-lttri 10462 ax-pre-lttrn 10463 ax-pre-ltadd 10464 ax-pre-mulgt0 10465 ax-pre-sup 10466 ax-addf 10467 ax-mulf 10468

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1525 df-fal 1535 df-ex 1762 df-nf 1766 df-sb 2043 df-mo 2576 df-eu 2612 df-clab 2776 df-cleq 2788 df-clel 2863 df-nfc 2935 df-ne 2985 df-nel 3091 df-ral 3110 df-rex 3111 df-reu 3112 df-rmo 3113 df-rab 3114 df-v 3439 df-sbc 3710 df-csb 3816 df-dif 3866 df-un 3868 df-in 3870 df-ss 3878 df-pss 3880 df-nul 4216 df-if 4386 df-pw 4459 df-sn 4477 df-pr 4479 df-tp 4481 df-op 4483 df-uni 4750 df-int 4787 df-iun 4831 df-iin 4832 df-br 4967 df-opab 5029 df-mpt 5046 df-tr 5069 df-id 5353 df-eprel 5358 df-po 5367 df-so 5368 df-fr 5407 df-se 5408 df-we 5409 df-xp 5454 df-rel 5455 df-cnv 5456 df-co 5457 df-dm 5458 df-rn 5459 df-res 5460 df-ima 5461 df-pred 6028 df-ord 6074 df-on 6075 df-lim 6076 df-suc 6077 df-iota 6194 df-fun 6232 df-fn 6233 df-f 6234 df-f1 6235 df-fo 6236 df-f1o 6237 df-fv 6238 df-isom 6239 df-riota 6982 df-ov 7024 df-oprab 7025 df-mpo 7026 df-of 7272 df-om 7442 df-1st 7550 df-2nd 7551 df-supp 7687 df-wrecs 7803 df-recs 7865 df-rdg 7903 df-1o 7958 df-2o 7959 df-oadd 7962 df-er 8144 df-map 8263 df-pm 8264 df-ixp 8316 df-en 8363 df-dom 8364 df-sdom 8365 df-fin 8366 df-fsupp 8685 df-fi 8726 df-sup 8757 df-inf 8758 df-oi 8825 df-dju 9181 df-card 9219 df-pnf 10528 df-mnf 10529 df-xr 10530 df-ltxr 10531 df-le 10532 df-sub 10724 df-neg 10725 df-div 11151 df-nn 11492 df-2 11553 df-3 11554 df-4 11555 df-5 11556 df-6 11557 df-7 11558 df-8 11559 df-9 11560 df-n0 11751 df-z 11835 df-dec 11953 df-uz 12099 df-q 12203 df-rp 12245 df-xneg 12362 df-xadd 12363 df-xmul 12364 df-ioo 12597 df-ioc 12598 df-ico 12599 df-icc 12600 df-fz 12748 df-fzo 12889 df-fl 13017 df-mod 13093 df-seq 13225 df-exp 13285 df-fac 13489 df-bc 13518 df-hash 13546 df-shft 14265 df-cj 14297 df-re 14298 df-im 14299 df-sqrt 14433 df-abs 14434 df-limsup 14667 df-clim 14684 df-rlim 14685 df-sum 14882 df-ef 15259 df-e 15260 df-sin 15261 df-cos 15262 df-pi 15264 df-dvds 15446 df-gcd 15682 df-prm 15850 df-pc 16008 df-struct 16319 df-ndx 16320 df-slot 16321 df-base 16323 df-sets 16324 df-ress 16325 df-plusg 16412 df-mulr 16413 df-starv 16414 df-sca 16415 df-vsca 16416 df-ip 16417 df-tset 16418 df-ple 16419 df-ds 16421 df-unif 16422 df-hom 16423 df-cco 16424 df-rest 16530 df-topn 16531 df-0g 16549 df-gsum 16550 df-topgen 16551 df-pt 16552 df-prds 16555 df-xrs 16609 df-qtop 16614 df-imas 16615 df-xps 16617 df-mre 16691 df-mrc 16692 df-acs 16694 df-mgm 17686 df-sgrp 17728 df-mnd 17739 df-submnd 17780 df-mulg 17987 df-cntz 18193 df-cmn 18640 df-psmet 20224 df-xmet 20225 df-met 20226 df-bl 20227 df-mopn 20228 df-fbas 20229 df-fg 20230 df-cnfld 20233 df-top 21191 df-topon 21208 df-topsp 21230 df-bases 21243 df-cld 21316 df-ntr 21317 df-cls 21318 df-nei 21395 df-lp 21433 df-perf 21434 df-cn 21524 df-cnp 21525 df-haus 21612 df-tx 21859 df-hmeo 22052 df-fil 22143 df-fm 22235 df-flim 22236 df-flf 22237 df-xms 22618 df-ms 22619 df-tms 22620 df-cncf 23174 df-limc 24152 df-dv 24153 df-log 24826 df-vma 25362 df-chp 25363

This theorem is referenced by: pntpbnd2 25850

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