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Theorem pntpbnd1 25566
Description: Lemma for pntpbnd 25568. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntpbnd1.2 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
pntpbnd1.c 𝐶 = (𝐴 + 2)
pntpbnd1.k (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
pntpbnd1.3 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑛,𝑦,𝐾   𝜑,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗,𝑛,𝑦   𝑖,𝑎,𝑗,𝑛,𝑦,𝐴   𝑛,𝐸,𝑦   𝑖,𝑌,𝑗,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑗,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑦,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12980 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
2 ioossre 12437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
3 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
42, 3sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
6 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
7 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
8 ioossre 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0(,)1) ⊆ ℝ
9 pntpbnd1.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
108, 9sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
11 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
1312simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 < 𝐸)
1410, 13elrpd 12067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
15 rerpdivcl 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
167, 14, 15sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
1716reefcld 15102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
186, 17syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
19 efgt0 15117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (exp‘(2 / 𝐸)))
2120, 6syl6breqr 4851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 𝑋)
22 eliooord 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
233, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑌 < +∞))
2423simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 < 𝑌)
255, 18, 4, 21, 24lttrd 10452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑌)
265, 4, 25ltled 10439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
27 flge0nn0 12829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑌) → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
284, 26, 27syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℕ0)
29 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ)
31 elfzuz 12545 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
32 eluznn 11959 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3330, 31, 32syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3433nnrpd 12068 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
35 pntpbnd.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
3635pntrf 25543 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
3736ffvelrni 6548 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3834, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
3933peano2nnd 11293 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
4033, 39nnmulcld 11325 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
4138, 40nndivred 11326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4241adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
431, 42fsumrecl 14752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
4438adantlr 706 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
45 fveq2 6375 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑛))
4645breq2d 4821 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅𝑛)))
4746rspccva 3460 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅𝑛))
4847adantll 705 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (𝑅𝑛))
4940adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
5049nnred 11291 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
5149nngt0d 11321 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
52 divge0 11146 . . . . . . 7 ((((𝑅𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑅𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5344, 48, 50, 51, 52syl22anc 867 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
541, 42, 53fsumge0 14813 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5543, 54absidd 14448 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5642, 53absidd 14448 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5756sumeq2dv 14720 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5855, 57eqtr4d 2802 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
59 fzfid 12980 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ∈ Fin)
6041adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
6160recnd 10322 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
6259, 61fsumneg 14805 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
6338adantlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
6463renegcld 10711 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -(𝑅𝑛) ∈ ℝ)
6545breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅𝑛) ≤ 0))
6665rspccva 3460 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ≤ 0)
6766adantll 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ≤ 0)
6863le0neg1d 10853 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(𝑅𝑛)))
6967, 68mpbid 223 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -(𝑅𝑛))
7040adantlr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
7170nnred 11291 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
7270nngt0d 11321 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))
73 divge0 11146 . . . . . . . . 9 (((-(𝑅𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝑅𝑛)) ∧ ((𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑛 · (𝑛 + 1)))) → 0 ≤ (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
7464, 69, 71, 72, 73syl22anc 867 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
7538recnd 10322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑛) ∈ ℂ)
7640nncnd 11292 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
7740nnne0d 11322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ≠ 0)
7875, 76, 77divnegd 11068 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
7978adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = (-(𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8074, 79breqtrrd 4837 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 0 ≤ -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8160le0neg1d 10853 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
8280, 81mpbird 248 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
8360, 82absnidd 14439 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8483sumeq2dv 14720 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8559, 60fsumrecl 14752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
8660renegcld 10711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) ∧ 𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → -((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
8759, 86, 80fsumge0 14813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))-((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8887, 62breqtrd 4835 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
8985le0neg1d 10853 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
9088, 89mpbird 248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ≤ 0)
9185, 90absnidd 14439 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = -Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
9262, 84, 913eqtr4rd 2810 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
93 pntpbnd1.c . . . . . . . . . . . . 13 𝐶 = (𝐴 + 2)
94 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
95 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
96 rpaddcl 12052 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
9794, 95, 96sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 2) ∈ ℝ+)
9893, 97syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
9998, 14rpdivcld 12087 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+)
10099rpred 12070 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
101100reefcld 15102 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
102 pnfxr 10346 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
103 icossre 12456 . . . . . . . . 9 (((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
104101, 102, 103sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ⊆ ℝ)
105 pntpbnd1.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
106104, 105sseldd 3762 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
107106, 4remulcld 10324 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ)
1084recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
109108mulid2d 10312 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝑌) = 𝑌)
110 1red 10294 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
111 efgt1 15130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ+ → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
11299, 111syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
113 elicopnf 12472 . . . . . . . . . . . . 13 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
114101, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝐾 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)))
115114simplbda 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐾 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
116105, 115mpdan 678 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝐾)
117110, 101, 106, 112, 116ltletrd 10451 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝐾)
118 ltmul1 11127 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑌)) → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
119110, 106, 4, 25, 118syl112anc 1493 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < 𝐾 ↔ (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌)))
120117, 119mpbid 223 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝑌) < (𝐾 · 𝑌))
121109, 120eqbrtrrd 4833 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 < (𝐾 · 𝑌))
1224, 107, 121ltled 10439 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌))
123 flword2 12822 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝐾 · 𝑌)) → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)))
1244, 107, 122, 123syl3anc 1490 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)))
125107flcld 12807 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ)
126 uzid 11901 . . . . . 6 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
127125, 126syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
128 elfzuzb 12543 . . . . 5 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)) ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
129124, 127, 128sylanbrc 578 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
130 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)))
131130raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖)))
132130raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0))
133131, 132orbi12d 942 . . . . . 6 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
134133imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘𝑌) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
135 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑚 → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
136135raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖)))
137135raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0))
138136, 137orbi12d 942 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑚 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0)))
139138imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = 𝑚 → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0))))
140 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)))
141140raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖)))
142140raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))
143141, 142orbi12d 942 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
144143imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
145 oveq2 6850 . . . . . . . 8 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
146145raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖)))
147145raleqdv 3292 . . . . . . 7 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0))
148146, 147orbi12d 942 . . . . . 6 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
149148imbi2d 331 . . . . 5 (𝑥 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑥)(𝑅𝑖) ≤ 0)) ↔ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
150 elfzle3 12554 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
151 elfzel2 12547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
152151zred 11729 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) ∈ ℝ)
153152ltp1d 11208 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1))
154 peano2re 10463 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑌) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
155152, 154syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ)
156152, 155ltnled 10438 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ((⌊‘𝑌) < ((⌊‘𝑌) + 1) ↔ ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌)))
157153, 156mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → ¬ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ (⌊‘𝑌))
158150, 157pm2.21dd 186 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌)) → (𝑅𝑖) ≤ 0)
159158rgen 3069 . . . . . . 7 𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0
160159olci 892 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0)
1611602a1i 12 . . . . 5 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘𝑌))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
162 elfzofz 12693 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
163 elfzp12 12626 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑌)) → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
164124, 163syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) ↔ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
165162, 164syl5ib 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))))
166165imp 395 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))))
16730nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+)
16836ffvelrni 6548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
169167, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∈ ℝ)
1705, 169letrid 10443 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
171170adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
172 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (𝑚 + 1) = ((⌊‘𝑌) + 1))
173172oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = (⌊‘𝑌) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)))
1744flcld 12807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘𝑌) ∈ ℤ)
175174peano2zd 11732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ)
176 fzsn 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℤ → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((⌊‘𝑌) + 1)...((⌊‘𝑌) + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
178173, 177sylan9eqr 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = {((⌊‘𝑌) + 1)})
179178raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖)))
180 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘𝑌) + 1) ∈ V
181 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑅𝑖) = (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
182181breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
183180, 182ralsn 4379 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)))
184179, 183syl6bb 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1))))
185178raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0))
186181breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
187180, 186ralsn 4379 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {((⌊‘𝑌) + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)
188185, 187syl6bb 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0))
189184, 188orbi12d 942 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0) ↔ (0 ≤ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ∨ (𝑅‘((⌊‘𝑌) + 1)) ≤ 0)))
190171, 189mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))
191190a1d 25 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 = (⌊‘𝑌)) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
192 elfzuz 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
193192adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)))
194 eluzfz2 12556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
195193, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚))
196 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑚 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑚))
197196breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑚 → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅𝑚)))
198197rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → 0 ≤ (𝑅𝑚)))
199195, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → 0 ≤ (𝑅𝑚)))
200 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
201200adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
202 eluznn 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
20330, 192, 202syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
204203adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
205 elfzle1 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
206205adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚)
207 elfzelz 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ∈ ℤ)
208 zltp1le 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((⌊‘𝑌) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
209174, 207, 208syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((⌊‘𝑌) < 𝑚 ↔ ((⌊‘𝑌) + 1) ≤ 𝑚))
210206, 209mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (⌊‘𝑌) < 𝑚)
211 fllt 12815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
2124, 207, 211syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚 ↔ (⌊‘𝑌) < 𝑚))
213210, 212mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑌 < 𝑚)
214 elfzle2 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
215214adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)))
216 flge 12814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 · 𝑌) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
217107, 207, 216syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
218215, 217mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))
219213, 218jca 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
220219adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → (𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
2219ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
2223ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → 𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
223 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
22435, 221, 6, 222, 204, 220, 223pntpbnd1a 25565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)
225 breq2 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑚 → (𝑌 < 𝑦𝑌 < 𝑚))
226 breq1 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑚 → (𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌) ↔ 𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
227225, 226anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑚 → ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ↔ (𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌))))
228 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑚 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑚))
229 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑚𝑦 = 𝑚)
230228, 229oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑚 → ((𝑅𝑦) / 𝑦) = ((𝑅𝑚) / 𝑚))
231230fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑚 → (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) = (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)))
232231breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑚 → ((abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸))
233227, 232anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑚 → (((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸) ↔ ((𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)))
234233rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((𝑌 < 𝑚𝑚 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑚) / 𝑚)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
235204, 220, 224, 234syl12anc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))) → ∃𝑦 ∈ ℕ ((𝑌 < 𝑦𝑦 ≤ (𝐾 · 𝑌)) ∧ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐸))
236201, 235mtand 850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ¬ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
237236adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅𝑚)) → ¬ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
238203nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
23936ffvelrni 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
240238, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
241240adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
242241recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅𝑚) ∈ ℂ)
243242subid1d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅𝑚) − 0) = (𝑅𝑚))
244203peano2nnd 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
245244nnrpd 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
24636ffvelrni 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑚 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
247245, 246syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
248247adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
249 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
250 0re 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℝ
251 letric 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
252250, 247, 251sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∨ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
253252ord 890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
254253imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
255254adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
256248, 249, 241, 255lesub2dd 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → ((𝑅𝑚) − 0) ≤ ((𝑅𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
257243, 256eqbrtrrd 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅𝑚) ≤ ((𝑅𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
258 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → 0 ≤ (𝑅𝑚))
259241, 258absidd 14448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅𝑚)) = (𝑅𝑚))
260248, 249, 241, 255, 258letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ (𝑅𝑚))
261248, 241, 260abssuble0d 14458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))) = ((𝑅𝑚) − (𝑅‘(𝑚 + 1))))
262257, 259, 2613brtr4d 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (0 ≤ (𝑅𝑚) ∧ ¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
263262expr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅𝑚)) → (¬ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))))
264237, 263mt3d 142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ 0 ≤ (𝑅𝑚)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
265264ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (0 ≤ (𝑅𝑚) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
266199, 265syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
267 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 + 1) ∈ V
268 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (𝑅𝑖) = (𝑅‘(𝑚 + 1)))
269268breq2d 4821 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑚 + 1) → (0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
270267, 269ralsn 4379 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
271266, 270syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖)))
272271ancld 546 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖))))
273 fzsuc 12595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (ℤ‘((⌊‘𝑌) + 1)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
274193, 273syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1)) = ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)}))
275274raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅𝑖)))
276 ralunb 3956 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖)))
277275, 276syl6bb 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)}0 ≤ (𝑅𝑖))))
278272, 277sylibrd 250 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖)))
279196breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑚 → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅𝑚) ≤ 0))
280279rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (𝑅𝑚) ≤ 0))
281195, 280syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (𝑅𝑚) ≤ 0))
282236adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅𝑚) ≤ 0) → ¬ (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
283253con1d 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1))))
284283imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
285284adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
286240adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ∈ ℝ)
287286renegcld 10711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅𝑚) ∈ ℝ)
288247adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
289287, 288addge02d 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (0 ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ↔ -(𝑅𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅𝑚))))
290285, 289mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅𝑚)))
291288recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
292286recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ∈ ℂ)
293291, 292negsubd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → ((𝑅‘(𝑚 + 1)) + -(𝑅𝑚)) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))
294290, 293breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → -(𝑅𝑚) ≤ ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))
295 simprl 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ≤ 0)
296286, 295absnidd 14439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅𝑚)) = -(𝑅𝑚))
297 0red 10297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → 0 ∈ ℝ)
298286, 297, 288, 295, 285letrd 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (𝑅𝑚) ≤ (𝑅‘(𝑚 + 1)))
299286, 288, 298abssubge0d 14457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))) = ((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))
300294, 296, 2993brtr4d 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ ((𝑅𝑚) ≤ 0 ∧ ¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)) → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚))))
301300expr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅𝑚) ≤ 0) → (¬ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0 → (abs‘(𝑅𝑚)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑚 + 1)) − (𝑅𝑚)))))
302282, 301mt3d 142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) ∧ (𝑅𝑚) ≤ 0) → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
303302ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((𝑅𝑚) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
304281, 303syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
305268breq1d 4819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑚 + 1) → ((𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0))
306267, 305ralsn 4379 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (𝑅‘(𝑚 + 1)) ≤ 0)
307304, 306syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0))
308307ancld 546 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0)))
309274raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ ∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅𝑖) ≤ 0))
310 ralunb 3956 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑖 ∈ ((((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚) ∪ {(𝑚 + 1)})(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0))
311309, 310syl6bb 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0 ↔ (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 ∧ ∀𝑖 ∈ {(𝑚 + 1)} (𝑅𝑖) ≤ 0)))
312308, 311sylibrd 250 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0 → ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))
313278, 312orim12d 987 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
314191, 313jaodan 980 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 = (⌊‘𝑌) ∨ 𝑚 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
315166, 314syldan 585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))) → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
316315expcom 402 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → ((∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0) → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
317316a2d 29 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((⌊‘𝑌)..^(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → ((𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑚)(𝑅𝑖) ≤ 0)) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(𝑚 + 1))(𝑅𝑖) ≤ 0))))
318134, 139, 144, 149, 161, 317fzind2 12794 . . . 4 ((⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ((⌊‘𝑌)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))) → (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0)))
319129, 318mpcom 38 . . 3 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))0 ≤ (𝑅𝑖) ∨ ∀𝑖 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(𝑅𝑖) ≤ 0))
32058, 92, 319mpjaodan 981 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
321 pntpbnd1.2 . . 3 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴)
322 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑛))
323 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛𝑦 = 𝑛)
324 oveq1 6849 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 + 1) = (𝑛 + 1))
325323, 324oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑛 → (𝑦 · (𝑦 + 1)) = (𝑛 · (𝑛 + 1)))
326322, 325oveq12d 6860 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
327326cbvsumv 14713 . . . . . . 7 Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))
328 oveq1 6849 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (𝑖...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗))
329328sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
330327, 329syl5eq 2811 . . . . . 6 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
331330fveq2d 6379 . . . . 5 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
332331breq1d 4819 . . . 4 (𝑖 = ((⌊‘𝑌) + 1) → ((abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
333 oveq2 6850 . . . . . . 7 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗) = (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌))))
334333sumeq1d 14718 . . . . . 6 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
335334fveq2d 6379 . . . . 5 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
336335breq1d 4819 . . . 4 (𝑗 = (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴))
337332, 336rspc2va 3475 . . 3 (((((⌊‘𝑌) + 1) ∈ ℕ ∧ (⌊‘(𝐾 · 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑦 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑦) / (𝑦 · (𝑦 + 1)))) ≤ 𝐴) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
33830, 125, 321, 337syl21anc 866 . 2 (𝜑 → (abs‘Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
339320, 338eqbrtrrd 4833 1 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (((⌊‘𝑌) + 1)...(⌊‘(𝐾 · 𝑌)))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  cun 3730  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  (,)cioo 12377  [,)cico 12379  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cfl 12799  abscabs 14261  Σcsu 14703  expce 15076  ψcchp 25110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-e 15083  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-pc 15823  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-vma 25115  df-chp 25116
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