Theorem eluzle 12257

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12250	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1143	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355   ≤ cle 10676  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245

This theorem is referenced by:  uztrn  12262  uzneg  12264  uzss  12266  uz11  12268  eluzp1l  12270  subeluzsub  12276  uzm1  12277  uzin  12279  uzind4  12307  uzwo  12312  uzsupss  12341  elfz5  12901  elfzle1  12911  elfzle2  12912  elfzle3  12914  elfz1uz  12978  uzsplit  12980  uzdisj  12981  uznfz  12991  elfz2nn0  12999  uzsubfz0  13016  nn0disj  13024  fzouzdisj  13074  fzoun  13075  fldiv4lem1div2uz2  13207  m1modge3gt1  13287  expmulnbnd  13597  seqcoll  13823  swrdlen2  14022  swrdfv2  14023  rexuzre  14712  rlimclim1  14902  isercoll  15024  iseralt  15041  o1fsum  15168  mertenslem1  15240  fprodeq0  15329  efcllem  15431  rpnnen2lem9  15575  smuval2  15831  smupvallem  15832  isprm7  16052  hashdvds  16112  pcmpt2  16229  pcfaclem  16234  pcfac  16235  vdwlem6  16322  ramtlecl  16336  prmlem1  16441  prmlem2  16453  znfld  20707  lmnn  23866  mbflimsup  24267  mbfi1fseqlem6  24321  dvfsumge  24619  plyco0  24782  coeeulem  24814  radcnvlem2  25002  log2tlbnd  25523  lgamgulmlem4  25609  lgamcvg2  25632  chtub  25788  chpval2  25794  chpchtsum  25795  bcmax  25854  bpos1lem  25858  bpos1  25859  bposlem3  25862  bposlem4  25863  bposlem5  25864  bposlem6  25865  lgslem1  25873  lgsdirprm  25907  lgseisen  25955  dchrisumlema  26064  dchrisumlem2  26066  dchrisum0lem1  26092  axlowdimlem3  26730  axlowdimlem6  26733  axlowdimlem7  26734  axlowdimlem16  26743  axlowdimlem17  26744  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28143  minvecolem3  28653  minvecolem4  28657  breprexplemc  31903  subfacval3  32436  climuzcnv  32914  knoppndvlem6  33856  poimirlem29  34936  fdc  35035  jm2.24nn  39576  jm2.23  39613  expdiophlem1  39638  hashnzfz2  40673  bccbc  40697  binomcxplemnn0  40701  ssinc  41373  ssdec  41374  fzdifsuc2  41597  uzfissfz  41614  iuneqfzuzlem  41622  ssuzfz  41637  uzublem  41724  uzinico  41856  fmul01lt1lem1  41885  climsuselem1  41908  climsuse  41909  limsupubuzlem  42013  limsupequzlem  42023  limsupmnfuzlem  42027  limsupre3uzlem  42036  ioodvbdlimc1lem2  42237  ioodvbdlimc2lem  42239  iblspltprt  42278  itgspltprt  42284  stoweidlem11  42316  stirlinglem11  42389  fourierdlem79  42490  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  vonioolem1  42982  fmtnoprmfac1  43747  fmtnoprmfac2lem1  43748  lighneallem2  43791  lighneallem4a  43793  gboge9  43949  bgoldbnnsum3prm  43989  nnolog2flm1  44670