Theorem eluzle 12244

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12237	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1144	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324   ≤ cle 10665  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232

This theorem is referenced by:  uztrn  12249  uzneg  12251  uzss  12253  uz11  12255  eluzp1l  12257  subeluzsub  12263  uzm1  12264  uzin  12266  uzind4  12294  uzwo  12299  uzsupss  12328  elfz5  12894  elfzle1  12905  elfzle2  12906  elfzle3  12908  elfz1uz  12972  uzsplit  12974  uzdisj  12975  uznfz  12985  elfz2nn0  12993  uzsubfz0  13010  nn0disj  13018  fzouzdisj  13068  fzoun  13069  fldiv4lem1div2uz2  13201  m1modge3gt1  13281  expmulnbnd  13592  seqcoll  13818  swrdlen2  14013  swrdfv2  14014  rexuzre  14704  rlimclim1  14894  isercoll  15016  iseralt  15033  o1fsum  15160  mertenslem1  15232  fprodeq0  15321  efcllem  15423  rpnnen2lem9  15567  smuval2  15821  smupvallem  15822  isprm7  16042  hashdvds  16102  pcmpt2  16219  pcfaclem  16224  pcfac  16225  vdwlem6  16312  ramtlecl  16326  prmlem1  16433  prmlem2  16445  znfld  20252  lmnn  23867  mbflimsup  24270  mbfi1fseqlem6  24324  dvfsumge  24625  plyco0  24789  coeeulem  24821  radcnvlem2  25009  log2tlbnd  25531  lgamgulmlem4  25617  lgamcvg2  25640  chtub  25796  chpval2  25802  chpchtsum  25803  bcmax  25862  bpos1lem  25866  bpos1  25867  bposlem3  25870  bposlem4  25871  bposlem5  25872  bposlem6  25873  lgslem1  25881  lgsdirprm  25915  lgseisen  25963  dchrisumlema  26072  dchrisumlem2  26074  dchrisum0lem1  26100  axlowdimlem3  26738  axlowdimlem6  26741  axlowdimlem7  26742  axlowdimlem16  26751  axlowdimlem17  26752  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28149  minvecolem3  28659  minvecolem4  28663  breprexplemc  32013  subfacval3  32549  climuzcnv  33027  knoppndvlem6  33969  poimirlem29  35086  fdc  35183  jm2.24nn  39900  jm2.23  39937  expdiophlem1  39962  hashnzfz2  41025  bccbc  41049  binomcxplemnn0  41053  ssinc  41723  ssdec  41724  fzdifsuc2  41942  uzfissfz  41958  iuneqfzuzlem  41966  ssuzfz  41981  uzublem  42067  uzinico  42197  fmul01lt1lem1  42226  climsuselem1  42249  climsuse  42250  limsupubuzlem  42354  limsupequzlem  42364  limsupmnfuzlem  42368  limsupre3uzlem  42377  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  stoweidlem11  42653  stirlinglem11  42726  fourierdlem79  42827  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  vonioolem1  43319  fmtnoprmfac1  44082  fmtnoprmfac2lem1  44083  lighneallem2  44124  lighneallem4a  44126  gboge9  44282  bgoldbnnsum3prm  44322  nnolog2flm1  45004