Theorem eluzle 12745

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12738	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1147	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481   ≤ cle 11147  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-neg 11347  df-z 12469  df-uz 12733

This theorem is referenced by:  uztrn  12750  uzneg  12752  uzss  12755  uz11  12757  eluzp1l  12759  eluzadd  12761  eluzsub  12762  subeluzsub  12769  uzm1  12770  uzin  12772  uzind4  12804  uzwo  12809  uzsupss  12838  ge2halflem1  13007  elfz5  13416  elfzle1  13427  elfzle2  13428  elfzle3  13430  elfz1uz  13494  uzsplit  13496  uzdisj  13497  uznfz  13510  elfz2nn0  13518  uzsubfz0  13536  nn0disj  13544  fzouzdisj  13595  fzoun  13596  fldiv4lem1div2uz2  13740  m1modge3gt1  13825  expmulnbnd  14142  seqcoll  14371  swrdlen2  14568  swrdfv2  14569  rexuzre  15260  rlimclim1  15452  isercoll  15575  iseralt  15592  o1fsum  15720  mertenslem1  15791  fprodeq0  15882  efcllem  15984  rpnnen2lem9  16131  smuval2  16393  smupvallem  16394  isprm7  16619  hashdvds  16686  pcmpt2  16805  pcfaclem  16810  pcfac  16811  vdwlem6  16898  ramtlecl  16912  prmlem1  17019  prmlem2  17031  znfld  21497  lmnn  25190  mbflimsup  25594  mbfi1fseqlem6  25648  dvfsumge  25955  plyco0  26124  coeeulem  26156  radcnvlem2  26350  log2tlbnd  26882  lgamgulmlem4  26969  lgamcvg2  26992  chtub  27150  chpval2  27156  chpchtsum  27157  bcmax  27216  bpos1lem  27220  bpos1  27221  bposlem3  27224  bposlem4  27225  bposlem5  27226  bposlem6  27227  lgslem1  27235  lgsdirprm  27269  lgseisen  27317  dchrisumlema  27426  dchrisumlem2  27428  dchrisum0lem1  27454  axlowdimlem3  28922  axlowdimlem6  28925  axlowdimlem7  28926  axlowdimlem16  28935  axlowdimlem17  28936  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30344  minvecolem3  30856  minvecolem4  30860  breprexplemc  34645  subfacval3  35233  climuzcnv  35715  knoppndvlem6  36561  poimirlem29  37699  fdc  37795  aks4d1lem1  42165  aks4d1p1  42179  aks4d1p2  42180  aks4d1p3  42181  aks4d1p5  42183  aks4d1p6  42184  aks4d1p7d1  42185  aks4d1p7  42186  aks4d1p8  42190  aks4d1p9  42191  aks6d1c7lem1  42283  aks6d1c7lem2  42284  aks6d1c7  42287  aks5lem6  42295  aks5lem8  42304  jm2.24nn  43062  jm2.23  43099  expdiophlem1  43124  hashnzfz2  44424  bccbc  44448  binomcxplemnn0  44452  ssinc  45194  ssdec  45195  fzdifsuc2  45421  uzfissfz  45435  iuneqfzuzlem  45443  ssuzfz  45458  uzublem  45538  uzinico  45669  fmul01lt1lem1  45694  climsuselem1  45717  climsuse  45718  limsupubuzlem  45820  limsupequzlem  45830  limsupmnfuzlem  45834  limsupre3uzlem  45843  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042  iblspltprt  46081  itgspltprt  46087  stoweidlem11  46119  stirlinglem11  46192  fourierdlem79  46293  fourierdlem103  46317  fourierdlem104  46318  vonioolem1  46788  2ltceilhalf  47438  ceilhalfnn  47446  fmtnoprmfac1  47675  fmtnoprmfac2lem1  47676  lighneallem2  47716  lighneallem4a  47718  gboge9  47874  bgoldbnnsum3prm  47914  nnolog2flm1  48701