MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzle 12248
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 12241 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
21simp3bi 1142 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108   class class class wbr 5057  cfv 6348  cle 10668  cz 11973  cuz 12235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7151  df-neg 10865  df-z 11974  df-uz 12236
This theorem is referenced by:  uztrn  12253  uzneg  12255  uzss  12257  uz11  12259  eluzp1l  12261  subeluzsub  12267  uzm1  12268  uzin  12270  uzind4  12298  uzwo  12303  uzsupss  12332  elfz5  12892  elfzle1  12902  elfzle2  12903  elfzle3  12905  elfz1uz  12969  uzsplit  12971  uzdisj  12972  uznfz  12982  elfz2nn0  12990  uzsubfz0  13007  nn0disj  13015  fzouzdisj  13065  fzoun  13066  fldiv4lem1div2uz2  13198  m1modge3gt1  13278  expmulnbnd  13588  seqcoll  13814  swrdlen2  14014  swrdfv2  14015  rexuzre  14704  rlimclim1  14894  isercoll  15016  iseralt  15033  o1fsum  15160  mertenslem1  15232  fprodeq0  15321  efcllem  15423  rpnnen2lem9  15567  smuval2  15823  smupvallem  15824  isprm7  16044  hashdvds  16104  pcmpt2  16221  pcfaclem  16226  pcfac  16227  vdwlem6  16314  ramtlecl  16328  prmlem1  16433  prmlem2  16445  znfld  20699  lmnn  23858  mbflimsup  24259  mbfi1fseqlem6  24313  dvfsumge  24611  plyco0  24774  coeeulem  24806  radcnvlem2  24994  log2tlbnd  25515  lgamgulmlem4  25601  lgamcvg2  25624  chtub  25780  chpval2  25786  chpchtsum  25787  bcmax  25846  bpos1lem  25850  bpos1  25851  bposlem3  25854  bposlem4  25855  bposlem5  25856  bposlem6  25857  lgslem1  25865  lgsdirprm  25899  lgseisen  25947  dchrisumlema  26056  dchrisumlem2  26058  dchrisum0lem1  26084  axlowdimlem3  26722  axlowdimlem6  26725  axlowdimlem7  26726  axlowdimlem16  26735  axlowdimlem17  26736  dlwwlknondlwlknonf1olem1  28135  minvecolem3  28645  minvecolem4  28649  breprexplemc  31896  subfacval3  32429  climuzcnv  32907  knoppndvlem6  33849  poimirlem29  34913  fdc  35012  jm2.24nn  39547  jm2.23  39584  expdiophlem1  39609  hashnzfz2  40644  bccbc  40668  binomcxplemnn0  40672  ssinc  41344  ssdec  41345  fzdifsuc2  41567  uzfissfz  41584  iuneqfzuzlem  41592  ssuzfz  41607  uzublem  41694  uzinico  41826  fmul01lt1lem1  41855  climsuselem1  41878  climsuse  41879  limsupubuzlem  41983  limsupequzlem  41993  limsupmnfuzlem  41997  limsupre3uzlem  42006  ioodvbdlimc1lem2  42207  ioodvbdlimc2lem  42209  iblspltprt  42248  itgspltprt  42254  stoweidlem11  42287  stirlinglem11  42360  fourierdlem79  42461  fourierdlem103  42485  fourierdlem104  42486  vonioolem1  42953  fmtnoprmfac1  43718  fmtnoprmfac2lem1  43719  lighneallem2  43762  lighneallem4a  43764  gboge9  43920  bgoldbnnsum3prm  43960  nnolog2flm1  44641
  Copyright terms: Public domain W3C validator