Theorem eluzle 12782

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12775	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1147	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  uztrn  12787  uzneg  12789  uzss  12792  uz11  12794  eluzp1l  12796  eluzadd  12798  eluzsub  12799  subeluzsub  12806  uzm1  12807  uzin  12809  uzind4  12841  uzwo  12846  uzsupss  12875  ge2halflem1  13044  elfz5  13453  elfzle1  13464  elfzle2  13465  elfzle3  13467  elfz1uz  13531  uzsplit  13533  uzdisj  13534  uznfz  13547  elfz2nn0  13555  uzsubfz0  13573  nn0disj  13581  fzouzdisj  13632  fzoun  13633  fldiv4lem1div2uz2  13774  m1modge3gt1  13859  expmulnbnd  14176  seqcoll  14405  swrdlen2  14601  swrdfv2  14602  rexuzre  15295  rlimclim1  15487  isercoll  15610  iseralt  15627  o1fsum  15755  mertenslem1  15826  fprodeq0  15917  efcllem  16019  rpnnen2lem9  16166  smuval2  16428  smupvallem  16429  isprm7  16654  hashdvds  16721  pcmpt2  16840  pcfaclem  16845  pcfac  16846  vdwlem6  16933  ramtlecl  16947  prmlem1  17054  prmlem2  17066  znfld  21446  lmnn  25139  mbflimsup  25543  mbfi1fseqlem6  25597  dvfsumge  25904  plyco0  26073  coeeulem  26105  radcnvlem2  26299  log2tlbnd  26831  lgamgulmlem4  26918  lgamcvg2  26941  chtub  27099  chpval2  27105  chpchtsum  27106  bcmax  27165  bpos1lem  27169  bpos1  27170  bposlem3  27173  bposlem4  27174  bposlem5  27175  bposlem6  27176  lgslem1  27184  lgsdirprm  27218  lgseisen  27266  dchrisumlema  27375  dchrisumlem2  27377  dchrisum0lem1  27403  axlowdimlem3  28847  axlowdimlem6  28850  axlowdimlem7  28851  axlowdimlem16  28860  axlowdimlem17  28861  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30266  minvecolem3  30778  minvecolem4  30782  breprexplemc  34596  subfacval3  35149  climuzcnv  35631  knoppndvlem6  36478  poimirlem29  37616  fdc  37712  aks4d1lem1  42023  aks4d1p1  42037  aks4d1p2  42038  aks4d1p3  42039  aks4d1p5  42041  aks4d1p6  42042  aks4d1p7d1  42043  aks4d1p7  42044  aks4d1p8  42048  aks4d1p9  42049  aks6d1c7lem1  42141  aks6d1c7lem2  42142  aks6d1c7  42145  aks5lem6  42153  aks5lem8  42162  jm2.24nn  42921  jm2.23  42958  expdiophlem1  42983  hashnzfz2  44283  bccbc  44307  binomcxplemnn0  44311  ssinc  45054  ssdec  45055  fzdifsuc2  45281  uzfissfz  45295  iuneqfzuzlem  45303  ssuzfz  45318  uzublem  45399  uzinico  45530  fmul01lt1lem1  45555  climsuselem1  45578  climsuse  45579  limsupubuzlem  45683  limsupequzlem  45693  limsupmnfuzlem  45697  limsupre3uzlem  45706  ioodvbdlimc1lem2  45903  ioodvbdlimc2lem  45905  iblspltprt  45944  itgspltprt  45950  stoweidlem11  45982  stirlinglem11  46055  fourierdlem79  46156  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  vonioolem1  46651  2ltceilhalf  47302  ceilhalfnn  47310  fmtnoprmfac1  47539  fmtnoprmfac2lem1  47540  lighneallem2  47580  lighneallem4a  47582  gboge9  47738  bgoldbnnsum3prm  47778  nnolog2flm1  48552