Theorem eluzle 12916

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12909	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1147	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573   ≤ cle 11325  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  uztrn  12921  uzneg  12923  uzss  12926  uz11  12928  eluzp1l  12930  eluzadd  12932  eluzsub  12933  subeluzsub  12940  uzm1  12941  uzin  12943  uzind4  12971  uzwo  12976  uzsupss  13005  elfz5  13576  elfzle1  13587  elfzle2  13588  elfzle3  13590  elfz1uz  13654  uzsplit  13656  uzdisj  13657  uznfz  13667  elfz2nn0  13675  uzsubfz0  13693  nn0disj  13701  fzouzdisj  13752  fzoun  13753  fldiv4lem1div2uz2  13887  m1modge3gt1  13969  expmulnbnd  14284  seqcoll  14513  swrdlen2  14708  swrdfv2  14709  rexuzre  15401  rlimclim1  15591  isercoll  15716  iseralt  15733  o1fsum  15861  mertenslem1  15932  fprodeq0  16023  efcllem  16125  rpnnen2lem9  16270  smuval2  16528  smupvallem  16529  isprm7  16755  hashdvds  16822  pcmpt2  16940  pcfaclem  16945  pcfac  16946  vdwlem6  17033  ramtlecl  17047  prmlem1  17155  prmlem2  17167  znfld  21602  lmnn  25316  mbflimsup  25720  mbfi1fseqlem6  25775  dvfsumge  26082  plyco0  26251  coeeulem  26283  radcnvlem2  26475  log2tlbnd  27006  lgamgulmlem4  27093  lgamcvg2  27116  chtub  27274  chpval2  27280  chpchtsum  27281  bcmax  27340  bpos1lem  27344  bpos1  27345  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem6  27351  lgslem1  27359  lgsdirprm  27393  lgseisen  27441  dchrisumlema  27550  dchrisumlem2  27552  dchrisum0lem1  27578  axlowdimlem3  28977  axlowdimlem6  28980  axlowdimlem7  28981  axlowdimlem16  28990  axlowdimlem17  28991  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30396  minvecolem3  30908  minvecolem4  30912  breprexplemc  34609  subfacval3  35157  climuzcnv  35639  knoppndvlem6  36483  poimirlem29  37609  fdc  37705  aks4d1lem1  42019  aks4d1p1  42033  aks4d1p2  42034  aks4d1p3  42035  aks4d1p5  42037  aks4d1p6  42038  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p7  42040  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  aks6d1c7lem1  42137  aks6d1c7lem2  42138  aks6d1c7  42141  aks5lem6  42149  aks5lem8  42158  jm2.24nn  42916  jm2.23  42953  expdiophlem1  42978  hashnzfz2  44290  bccbc  44314  binomcxplemnn0  44318  ssinc  44989  ssdec  44990  fzdifsuc2  45225  uzfissfz  45241  iuneqfzuzlem  45249  ssuzfz  45264  uzublem  45345  uzinico  45478  fmul01lt1lem1  45505  climsuselem1  45528  climsuse  45529  limsupubuzlem  45633  limsupequzlem  45643  limsupmnfuzlem  45647  limsupre3uzlem  45656  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  iblspltprt  45894  itgspltprt  45900  stoweidlem11  45932  stirlinglem11  46005  fourierdlem79  46106  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  vonioolem1  46601  fmtnoprmfac1  47439  fmtnoprmfac2lem1  47440  lighneallem2  47480  lighneallem4a  47482  gboge9  47638  bgoldbnnsum3prm  47678  nnolog2flm1  48324