MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzle 11943
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 11936 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
21simp3bi 1178 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2157   class class class wbr 4843  cfv 6101  cle 10364  cz 11666  cuz 11930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931
This theorem is referenced by:  uztrn  11947  uzneg  11949  uzss  11951  uz11  11953  eluzp1l  11955  subeluzsub  11961  uzm1  11962  uzin  11964  uzind4  11990  uzwo  11996  uzsupss  12025  elfz5  12588  elfzle1  12598  elfzle2  12599  elfzle3  12601  elfz1uz  12664  uzsplit  12666  uzdisj  12667  uznfz  12677  elfz2nn0  12685  uzsubfz0  12702  nn0disj  12710  fzouzdisj  12759  fzoun  12760  fldiv4lem1div2uz2  12892  m1modge3gt1  12972  expmulnbnd  13250  seqcoll  13497  swrdlen2  13698  swrdfv2  13699  rexuzre  14433  rlimclim1  14617  isercoll  14739  iseralt  14756  o1fsum  14883  mertenslem1  14953  fprodeq0  15042  efcllem  15144  rpnnen2lem9  15287  smuval2  15539  smupvallem  15540  isprm7  15753  hashdvds  15813  pcmpt2  15930  pcfaclem  15935  pcfac  15936  vdwlem6  16023  ramtlecl  16037  prmlem1  16142  prmlem2  16154  znfld  20230  lmnn  23389  mbflimsup  23774  mbfi1fseqlem6  23828  dvfsumge  24126  plyco0  24289  coeeulem  24321  radcnvlem2  24509  log2tlbnd  25024  lgamgulmlem4  25110  lgamcvg2  25133  chtub  25289  chpval2  25295  chpchtsum  25296  bcmax  25355  bpos1lem  25359  bpos1  25360  bposlem3  25363  bposlem4  25364  bposlem5  25365  bposlem6  25366  lgslem1  25374  lgsdirprm  25408  lgseisen  25456  m1lgs  25465  dchrisumlema  25529  dchrisumlem2  25531  dchrisum0lem1  25557  axlowdimlem3  26181  axlowdimlem6  26184  axlowdimlem7  26185  axlowdimlem16  26194  axlowdimlem17  26195  dlwwlknondlwlknonf1olem1  27734  dlwwlknonclwlknonf1olem1OLD  27735  minvecolem3  28257  minvecolem4  28261  breprexplemc  31230  subfacval3  31688  climuzcnv  32080  knoppndvlem6  33016  poimirlem29  33927  fdc  34028  jm2.24nn  38311  jm2.23  38348  expdiophlem1  38373  hashnzfz2  39302  bccbc  39326  binomcxplemnn0  39330  ssinc  40023  ssdec  40024  fzdifsuc2  40269  uzfissfz  40286  iuneqfzuzlem  40294  ssuzfz  40309  uzublem  40400  uzinico  40531  fmul01lt1lem1  40560  climsuselem1  40583  climsuse  40584  limsupubuzlem  40688  limsupequzlem  40698  limsupmnfuzlem  40702  limsupre3uzlem  40711  ioodvbdlimc1lem2  40891  ioodvbdlimc2lem  40893  iblspltprt  40932  itgspltprt  40938  stoweidlem11  40971  stirlinglem11  41044  fourierdlem79  41145  fourierdlem103  41169  fourierdlem104  41170  vonioolem1  41640  fmtnoprmfac1  42259  fmtnoprmfac2lem1  42260  lighneallem2  42305  lighneallem4a  42307  gboge9  42434  bgoldbnnsum3prm  42474  nnolog2flm1  43183
  Copyright terms: Public domain W3C validator