Theorem eluzle 12835

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12828	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1148	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544   ≤ cle 11249  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823

This theorem is referenced by:  uztrn  12840  uzneg  12842  uzss  12845  uz11  12847  eluzp1l  12849  eluzadd  12851  eluzsub  12852  subeluzsub  12859  uzm1  12860  uzin  12862  uzind4  12890  uzwo  12895  uzsupss  12924  elfz5  13493  elfzle1  13504  elfzle2  13505  elfzle3  13507  elfz1uz  13571  uzsplit  13573  uzdisj  13574  uznfz  13584  elfz2nn0  13592  uzsubfz0  13609  nn0disj  13617  fzouzdisj  13668  fzoun  13669  fldiv4lem1div2uz2  13801  m1modge3gt1  13883  expmulnbnd  14198  seqcoll  14425  swrdlen2  14610  swrdfv2  14611  rexuzre  15299  rlimclim1  15489  isercoll  15614  iseralt  15631  o1fsum  15759  mertenslem1  15830  fprodeq0  15919  efcllem  16021  rpnnen2lem9  16165  smuval2  16423  smupvallem  16424  isprm7  16645  hashdvds  16708  pcmpt2  16826  pcfaclem  16831  pcfac  16832  vdwlem6  16919  ramtlecl  16933  prmlem1  17041  prmlem2  17053  znfld  21116  lmnn  24780  mbflimsup  25183  mbfi1fseqlem6  25238  dvfsumge  25539  plyco0  25706  coeeulem  25738  radcnvlem2  25926  log2tlbnd  26450  lgamgulmlem4  26536  lgamcvg2  26559  chtub  26715  chpval2  26721  chpchtsum  26722  bcmax  26781  bpos1lem  26785  bpos1  26786  bposlem3  26789  bposlem4  26790  bposlem5  26791  bposlem6  26792  lgslem1  26800  lgsdirprm  26834  lgseisen  26882  dchrisumlema  26991  dchrisumlem2  26993  dchrisum0lem1  27019  axlowdimlem3  28233  axlowdimlem6  28236  axlowdimlem7  28237  axlowdimlem16  28246  axlowdimlem17  28247  dlwwlknondlwlknonf1olem1  29648  minvecolem3  30160  minvecolem4  30164  breprexplemc  33675  subfacval3  34211  climuzcnv  34687  knoppndvlem6  35441  poimirlem29  36565  fdc  36661  aks4d1lem1  40975  aks4d1p1  40989  aks4d1p2  40990  aks4d1p3  40991  aks4d1p5  40993  aks4d1p6  40994  aks4d1p7d1  40995  aks4d1p7  40996  aks4d1p8  41000  aks4d1p9  41001  jm2.24nn  41746  jm2.23  41783  expdiophlem1  41808  hashnzfz2  43128  bccbc  43152  binomcxplemnn0  43156  ssinc  43824  ssdec  43825  fzdifsuc2  44068  uzfissfz  44084  iuneqfzuzlem  44092  ssuzfz  44107  uzublem  44188  uzinico  44321  fmul01lt1lem1  44348  climsuselem1  44371  climsuse  44372  limsupubuzlem  44476  limsupequzlem  44486  limsupmnfuzlem  44490  limsupre3uzlem  44499  ioodvbdlimc1lem2  44696  ioodvbdlimc2lem  44698  iblspltprt  44737  itgspltprt  44743  stoweidlem11  44775  stirlinglem11  44848  fourierdlem79  44949  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  vonioolem1  45444  fmtnoprmfac1  46281  fmtnoprmfac2lem1  46282  lighneallem2  46322  lighneallem4a  46324  gboge9  46480  bgoldbnnsum3prm  46520  nnolog2flm1  47324