Theorem eluzle 12782

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12775	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1147	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-neg 11384  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  uztrn  12787  uzneg  12789  uzss  12792  uz11  12794  eluzp1l  12796  eluzadd  12798  eluzsub  12799  subeluzsub  12806  uzm1  12807  uzin  12809  uzind4  12841  uzwo  12846  uzsupss  12875  ge2halflem1  13044  elfz5  13453  elfzle1  13464  elfzle2  13465  elfzle3  13467  elfz1uz  13531  uzsplit  13533  uzdisj  13534  uznfz  13547  elfz2nn0  13555  uzsubfz0  13573  nn0disj  13581  fzouzdisj  13632  fzoun  13633  fldiv4lem1div2uz2  13774  m1modge3gt1  13859  expmulnbnd  14176  seqcoll  14405  swrdlen2  14601  swrdfv2  14602  rexuzre  15295  rlimclim1  15487  isercoll  15610  iseralt  15627  o1fsum  15755  mertenslem1  15826  fprodeq0  15917  efcllem  16019  rpnnen2lem9  16166  smuval2  16428  smupvallem  16429  isprm7  16654  hashdvds  16721  pcmpt2  16840  pcfaclem  16845  pcfac  16846  vdwlem6  16933  ramtlecl  16947  prmlem1  17054  prmlem2  17066  znfld  21502  lmnn  25196  mbflimsup  25600  mbfi1fseqlem6  25654  dvfsumge  25961  plyco0  26130  coeeulem  26162  radcnvlem2  26356  log2tlbnd  26888  lgamgulmlem4  26975  lgamcvg2  26998  chtub  27156  chpval2  27162  chpchtsum  27163  bcmax  27222  bpos1lem  27226  bpos1  27227  bposlem3  27230  bposlem4  27231  bposlem5  27232  bposlem6  27233  lgslem1  27241  lgsdirprm  27275  lgseisen  27323  dchrisumlema  27432  dchrisumlem2  27434  dchrisum0lem1  27460  axlowdimlem3  28924  axlowdimlem6  28927  axlowdimlem7  28928  axlowdimlem16  28937  axlowdimlem17  28938  dlwwlknondlwlknonf1olem1  30343  minvecolem3  30855  minvecolem4  30859  breprexplemc  34616  subfacval3  35169  climuzcnv  35651  knoppndvlem6  36498  poimirlem29  37636  fdc  37732  aks4d1lem1  42043  aks4d1p1  42057  aks4d1p2  42058  aks4d1p3  42059  aks4d1p5  42061  aks4d1p6  42062  aks4d1p7d1  42063  aks4d1p7  42064  aks4d1p8  42068  aks4d1p9  42069  aks6d1c7lem1  42161  aks6d1c7lem2  42162  aks6d1c7  42165  aks5lem6  42173  aks5lem8  42182  jm2.24nn  42941  jm2.23  42978  expdiophlem1  43003  hashnzfz2  44303  bccbc  44327  binomcxplemnn0  44331  ssinc  45074  ssdec  45075  fzdifsuc2  45301  uzfissfz  45315  iuneqfzuzlem  45323  ssuzfz  45338  uzublem  45419  uzinico  45550  fmul01lt1lem1  45575  climsuselem1  45598  climsuse  45599  limsupubuzlem  45703  limsupequzlem  45713  limsupmnfuzlem  45717  limsupre3uzlem  45726  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem11  46002  stirlinglem11  46075  fourierdlem79  46176  fourierdlem103  46200  fourierdlem104  46201  vonioolem1  46671  2ltceilhalf  47322  ceilhalfnn  47330  fmtnoprmfac1  47559  fmtnoprmfac2lem1  47560  lighneallem2  47600  lighneallem4a  47602  gboge9  47758  bgoldbnnsum3prm  47798  nnolog2flm1  48572