Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fvex 6859 |
. . . . . . . . 9
β’
(mCNβπ) β
V |
2 | | mrsubvr.v |
. . . . . . . . . 10
β’ π = (mVRβπ) |
3 | 2 | fvexi 6860 |
. . . . . . . . 9
β’ π β V |
4 | 1, 3 | unex 7684 |
. . . . . . . 8
β’
((mCNβπ) βͺ
π) β
V |
5 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’
(freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) = (freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) |
6 | 5 | frmdmnd 18677 |
. . . . . . . 8
β’
(((mCNβπ)
βͺ π) β V β
(freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) β Mnd) |
7 | 4, 6 | mp1i 13 |
. . . . . . 7
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β (freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) β Mnd) |
8 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β π β π
) |
9 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(mCNβπ) =
(mCNβπ) |
10 | | mrsubvr.r |
. . . . . . . . . . 11
β’ π
= (mRExβπ) |
11 | 9, 2, 10 | mrexval 34159 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β π
= Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
12 | 11 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β π
= Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
13 | 8, 12 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β π β Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
14 | | elpmi 8790 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π
βpm π) β (π:dom πβΆπ
β§ dom π β π)) |
15 | 14 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π
βpm π) β π:dom πβΆπ
) |
16 | 15 | ad3antlr 730 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β§ π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) β π:dom πβΆπ
) |
17 | 16 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β§ π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) β§ π£ β dom π) β (πβπ£) β π
) |
18 | 12 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β§ π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) β§ π£ β dom π) β π
= Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
19 | 17, 18 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β§ π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) β§ π£ β dom π) β (πβπ£) β Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
20 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β§ π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) β§ Β¬ π£ β dom π) β π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) |
21 | 20 | s1cld 14500 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β§ π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) β§ Β¬ π£ β dom π) β β¨βπ£ββ© β Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
22 | 19, 21 | ifclda 4525 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β§ π£ β ((mCNβπ) βͺ π)) β if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©) β Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
23 | 22 | fmpttd 7067 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β (π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)):((mCNβπ) βͺ π)βΆWord ((mCNβπ) βͺ π)) |
24 | | wrdco 14729 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β Word ((mCNβπ) βͺ π) β§ (π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)):((mCNβπ) βͺ π)βΆWord ((mCNβπ) βͺ π)) β ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π) β Word Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
25 | 13, 23, 24 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π) β Word Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
26 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(Baseβ(freeMndβ((mCNβπ) βͺ π))) =
(Baseβ(freeMndβ((mCNβπ) βͺ π))) |
27 | 5, 26 | frmdbas 18670 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((mCNβπ)
βͺ π) β V β
(Baseβ(freeMndβ((mCNβπ) βͺ π))) = Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
28 | 4, 27 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
β’
(Baseβ(freeMndβ((mCNβπ) βͺ π))) = Word ((mCNβπ) βͺ π) |
29 | 28 | eqcomi 2742 |
. . . . . . . 8
β’ Word
((mCNβπ) βͺ π) =
(Baseβ(freeMndβ((mCNβπ) βͺ π))) |
30 | 29 | gsumwcl 18657 |
. . . . . . 7
β’
(((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) β Mnd β§ ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π) β Word Word ((mCNβπ) βͺ π)) β ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π)) β Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
31 | 7, 25, 30 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π)) β Word ((mCNβπ) βͺ π)) |
32 | 31, 12 | eleqtrrd 2837 |
. . . . 5
β’ (((π β π β§ π β (π
βpm π)) β§ π β π
) β ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π)) β π
) |
33 | 32 | fmpttd 7067 |
. . . 4
β’ ((π β π β§ π β (π
βpm π)) β (π β π
β¦ ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π))):π
βΆπ
) |
34 | 10 | fvexi 6860 |
. . . . 5
β’ π
β V |
35 | 34, 34 | elmap 8815 |
. . . 4
β’ ((π β π
β¦ ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π))) β (π
βm π
) β (π β π
β¦ ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π))):π
βΆπ
) |
36 | 33, 35 | sylibr 233 |
. . 3
β’ ((π β π β§ π β (π
βpm π)) β (π β π
β¦ ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π))) β (π
βm π
)) |
37 | 36 | fmpttd 7067 |
. 2
β’ (π β π β (π β (π
βpm π) β¦ (π β π
β¦ ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π)))):(π
βpm π)βΆ(π
βm π
)) |
38 | | mrsubvr.s |
. . . 4
β’ π = (mRSubstβπ) |
39 | 9, 2, 10, 38, 5 | mrsubffval 34165 |
. . 3
β’ (π β π β π = (π β (π
βpm π) β¦ (π β π
β¦ ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π))))) |
40 | 39 | feq1d 6657 |
. 2
β’ (π β π β (π:(π
βpm π)βΆ(π
βm π
) β (π β (π
βpm π) β¦ (π β π
β¦ ((freeMndβ((mCNβπ) βͺ π)) Ξ£g ((π£ β ((mCNβπ) βͺ π) β¦ if(π£ β dom π, (πβπ£), β¨βπ£ββ©)) β π)))):(π
βpm π)βΆ(π
βm π
))) |
41 | 37, 40 | mpbird 257 |
1
β’ (π β π β π:(π
βpm π)βΆ(π
βm π
)) |