Theorem mrsubff 35628

Description: A substitution is a function from 𝑅 to 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (mCN‘𝑇) ∈ V
2		mrsubvr.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
3	2	fvexi 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	1, 3	unex 7686	. . . . . . . 8 ⊢ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V
5		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
6	5	frmdmnd 18775	. . . . . . . 8 ⊢ (((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V → (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd)
7	4, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑒 ∈ 𝑅)
9		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
10		mrsubvr.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
11	9, 2, 10	mrexval 35617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
13	8, 12	eleqtrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑒 ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
14		elpmi 8779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) → (𝑓:dom 𝑓⟶𝑅 ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑉))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑅)
16	15	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑅)
17	16	ffvelcdmda 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝑅)
18	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
19	17, 18	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑣) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
20		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ ¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
21	20	s1cld 14518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ ¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
22	19, 21	ifclda 4512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
23	22	fmpttd 7057	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → (𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)⟶Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
24		wrdco 14745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)⟶Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
25	13, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
26		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)))
27	5, 26	frmdbas 18768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
28	4, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)
29	28	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) = (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)))
30	29	gsumwcl 18755	. . . . . . 7 ⊢ (((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
31	7, 25, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
32	31, 12	eleqtrrd 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ 𝑅)
33	32	fmpttd 7057	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) → (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))):𝑅⟶𝑅)
34	10	fvexi 6845	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
35	34, 34	elmap 8805	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))):𝑅⟶𝑅)
36	33, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) → (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅))
37	36	fmpttd 7057	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
38		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
39	9, 2, 10, 38, 5	mrsubffval 35623	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))))
40	39	feq1d 6641	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅)))
41	37, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ifcif 4476   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↑_m cmap 8759   ↑_pm cpm 8760  Word cword 14427  ⟨“cs1 14510  Basecbs 17127   Σ_g cgsu 17351  Mndcmnd 18650  freeMndcfrmd 18763  mCNcmcn 35576  mVRcmvar 35577  mRExcmrex 35582  mRSubstcmrsub 35586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-word 14428  df-concat 14485  df-s1 14511  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-frmd 18765  df-mrex 35602  df-mrsub 35606

This theorem is referenced by:  mrsubrn  35629  mrsubff1  35630  mrsub0  35632  mrsubf  35633  mrsubccat  35634  mrsubcn  35635  elmrsubrn  35636  elmsubrn  35644  msubrn  35645  msubff  35646  msubff1  35672