Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubff 34170
Description: A substitution is a function from 𝑅 to 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mrsubvr.r 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
mrsubvr.s 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mrsubff (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff
Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6859 . . . . . . . . 9 (mCNβ€˜π‘‡) ∈ V
2 mrsubvr.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
32fvexi 6860 . . . . . . . . 9 𝑉 ∈ V
41, 3unex 7684 . . . . . . . 8 ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∈ V
5 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) = (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
65frmdmnd 18677 . . . . . . . 8 (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
74, 6mp1i 13 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ (freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd)
8 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ 𝑒 ∈ 𝑅)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mCNβ€˜π‘‡) = (mCNβ€˜π‘‡)
10 mrsubvr.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (mRExβ€˜π‘‡)
119, 2, 10mrexval 34159 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
138, 12eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ 𝑒 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
14 elpmi 8790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) β†’ (𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘… ∧ dom 𝑓 βŠ† 𝑉))
1514simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
1615ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ 𝑓:dom π‘“βŸΆπ‘…)
1716ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) β†’ (π‘“β€˜π‘£) ∈ 𝑅)
1812ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) β†’ 𝑅 = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
1917, 18eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) β†’ (π‘“β€˜π‘£) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
20 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) β†’ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
2120s1cld 14500 . . . . . . . . . 10 (((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) β†’ βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ© ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
2219, 21ifclda 4525 . . . . . . . . 9 ((((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
2322fmpttd 7067 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)):((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)⟢Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
24 wrdco 14729 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)):((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)⟢Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
2513, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
26 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)))
275, 26frmdbas 18670 . . . . . . . . . 10 (((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ∈ V β†’ (Baseβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
284, 27ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))) = Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)
2928eqcomi 2742 . . . . . . . 8 Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) = (Baseβ€˜(freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)))
3029gsumwcl 18657 . . . . . . 7 (((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) β†’ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
317, 25, 30syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉))
3231, 12eleqtrrd 2837 . . . . 5 (((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) β†’ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)) ∈ 𝑅)
3332fmpttd 7067 . . . 4 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))):π‘…βŸΆπ‘…)
3410fvexi 6860 . . . . 5 𝑅 ∈ V
3534, 34elmap 8815 . . . 4 ((𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))):π‘…βŸΆπ‘…)
3633, 35sylibr 233 . . 3 ((𝑇 ∈ π‘Š ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅))
3736fmpttd 7067 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
38 mrsubvr.s . . . 4 𝑆 = (mRSubstβ€˜π‘‡)
399, 2, 10, 38, 5mrsubffval 34165 . . 3 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)))))
4039feq1d 6657 . 2 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMndβ€˜((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉)) Ξ£g ((𝑣 ∈ ((mCNβ€˜π‘‡) βˆͺ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (π‘“β€˜π‘£), βŸ¨β€œπ‘£β€βŸ©)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅)))
4137, 40mpbird 257 1 (𝑇 ∈ π‘Š β†’ 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟢(𝑅 ↑m 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  ifcif 4490   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771   ↑pm cpm 8772  Word cword 14411  βŸ¨β€œcs1 14492  Basecbs 17091   Ξ£g cgsu 17330  Mndcmnd 18564  freeMndcfrmd 18665  mCNcmcn 34118  mVRcmvar 34119  mRExcmrex 34124  mRSubstcmrsub 34128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-frmd 18667  df-mrex 34144  df-mrsub 34148
This theorem is referenced by:  mrsubrn  34171  mrsubff1  34172  mrsub0  34174  mrsubf  34175  mrsubccat  34176  mrsubcn  34177  elmrsubrn  34178  elmsubrn  34186  msubrn  34187  msubff  34188  msubff1  34214
  Copyright terms: Public domain W3C validator