Theorem mrsubff 35548

Description: A substitution is a function from 𝑅 to 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (mCN‘𝑇) ∈ V
2		mrsubvr.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
3	2	fvexi 6831	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	1, 3	unex 7672	. . . . . . . 8 ⊢ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V
5		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
6	5	frmdmnd 18762	. . . . . . . 8 ⊢ (((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V → (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd)
7	4, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑒 ∈ 𝑅)
9		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
10		mrsubvr.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
11	9, 2, 10	mrexval 35537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
12	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
13	8, 12	eleqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑒 ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
14		elpmi 8765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) → (𝑓:dom 𝑓⟶𝑅 ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑉))
15	14	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑅)
16	15	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑅)
17	16	ffvelcdmda 7012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝑅)
18	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
19	17, 18	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑣) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
20		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ ¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
21	20	s1cld 14506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ ¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
22	19, 21	ifclda 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
23	22	fmpttd 7043	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → (𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)⟶Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
24		wrdco 14733	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)⟶Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
25	13, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
26		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)))
27	5, 26	frmdbas 18755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
28	4, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)
29	28	eqcomi 2740	. . . . . . . 8 ⊢ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) = (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)))
30	29	gsumwcl 18742	. . . . . . 7 ⊢ (((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
31	7, 25, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
32	31, 12	eleqtrrd 2834	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ 𝑅)
33	32	fmpttd 7043	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) → (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))):𝑅⟶𝑅)
34	10	fvexi 6831	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
35	34, 34	elmap 8790	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))):𝑅⟶𝑅)
36	33, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) → (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅))
37	36	fmpttd 7043	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
38		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
39	9, 2, 10, 38, 5	mrsubffval 35543	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))))
40	39	feq1d 6628	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅)))
41	37, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ifcif 4470   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5611   ∘ ccom 5615  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8745   ↑_pm cpm 8746  Word cword 14415  ⟨“cs1 14498  Basecbs 17115   Σ_g cgsu 17339  Mndcmnd 18637  freeMndcfrmd 18750  mCNcmcn 35496  mVRcmvar 35497  mRExcmrex 35502  mRSubstcmrsub 35506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-word 14416  df-concat 14473  df-s1 14499  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-frmd 18752  df-mrex 35522  df-mrsub 35526

This theorem is referenced by:  mrsubrn  35549  mrsubff1  35550  mrsub0  35552  mrsubf  35553  mrsubccat  35554  mrsubcn  35555  elmrsubrn  35556  elmsubrn  35564  msubrn  35565  msubff  35566  msubff1  35592