Theorem mrsubff 33483

Description: A substitution is a function from 𝑅 to 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubvr.r	⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubvr.s	⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
mrsubff	⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))

Proof of Theorem mrsubff

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6796	. . . . . . . . 9 ⊢ (mCN‘𝑇) ∈ V
2		mrsubvr.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (mVR‘𝑇)
3	2	fvexi 6797	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	1, 3	unex 7605	. . . . . . . 8 ⊢ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V
5		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) = (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
6	5	frmdmnd 18507	. . . . . . . 8 ⊢ (((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V → (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd)
7	4, 6	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → (freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd)
8		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑒 ∈ 𝑅)
9		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mCN‘𝑇) = (mCN‘𝑇)
10		mrsubvr.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (mREx‘𝑇)
11	9, 2, 10	mrexval 33472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
12	11	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
13	8, 12	eleqtrd 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → 𝑒 ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
14		elpmi 8643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) → (𝑓:dom 𝑓⟶𝑅 ∧ dom 𝑓 ⊆ 𝑉))
15	14	simpld 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑅)
16	15	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → 𝑓:dom 𝑓⟶𝑅)
17	16	ffvelrnda 6970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝑅)
18	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → 𝑅 = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
19	17, 18	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → (𝑓‘𝑣) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
20		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ ¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
21	20	s1cld 14317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∧ ¬ 𝑣 ∈ dom 𝑓) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
22	19, 21	ifclda 4495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) ∧ 𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
23	22	fmpttd 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → (𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)⟶Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
24		wrdco 14553	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∧ (𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)⟶Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
25	13, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
26		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)))
27	5, 26	frmdbas 18500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
28	4, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))) = Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)
29	28	eqcomi 2748	. . . . . . . 8 ⊢ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) = (Base‘(freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)))
30	29	gsumwcl 18486	. . . . . . 7 ⊢ (((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) ∈ Mnd ∧ ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒) ∈ Word Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
31	7, 25, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ Word ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉))
32	31, 12	eleqtrrd 2843	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑅) → ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)) ∈ 𝑅)
33	32	fmpttd 6998	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) → (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))):𝑅⟶𝑅)
34	10	fvexi 6797	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
35	34, 34	elmap 8668	. . . 4 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))):𝑅⟶𝑅)
36	33, 35	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑊 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉)) → (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒))) ∈ (𝑅 ↑m 𝑅))
37	36	fmpttd 6998	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))
38		mrsubvr.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
39	9, 2, 10, 38, 5	mrsubffval 33478	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆 = (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))))
40	39	feq1d 6594	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → (𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅) ↔ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑pm 𝑉) ↦ (𝑒 ∈ 𝑅 ↦ ((freeMnd‘((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ ((mCN‘𝑇) ∪ 𝑉) ↦ if(𝑣 ∈ dom 𝑓, (𝑓‘𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ 𝑒)))):(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅)))
41	37, 40	mpbird 256	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑊 → 𝑆:(𝑅 ↑pm 𝑉)⟶(𝑅 ↑m 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3433   ∪ cun 3886   ⊆ wss 3888  ifcif 4460   ↦ cmpt 5158  dom cdm 5590   ∘ ccom 5594  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ↑_m cmap 8624   ↑_pm cpm 8625  Word cword 14226  ⟨“cs1 14309  Basecbs 16921   Σ_g cgsu 17160  Mndcmnd 18394  freeMndcfrmd 18495  mCNcmcn 33431  mVRcmvar 33432  mRExcmrex 33437  mRSubstcmrsub 33441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-hash 14054  df-word 14227  df-concat 14283  df-s1 14310  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-frmd 18497  df-mrex 33457  df-mrsub 33461

This theorem is referenced by:  mrsubrn  33484  mrsubff1  33485  mrsub0  33487  mrsubf  33488  mrsubccat  33489  mrsubcn  33490  elmrsubrn  33491  elmsubrn  33499  msubrn  33500  msubff  33501  msubff1  33527