Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmflem 45443
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all open intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (i) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmflem.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
issmflem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,π‘₯

Proof of Theorem issmflem
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
2 df-smblfn 45412 . . . . . . . . 9 SMblFn = (𝑠 ∈ SAlg ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)})
3 unieq 4920 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑠 = βˆͺ 𝑆)
43oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) = (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
54rabeqdv 3448 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)} = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)})
6 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓) = (𝑆 β†Ύt dom 𝑓))
76eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓) ↔ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)))
87ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)))
98rabbidv 3441 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)} = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
105, 9eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)} = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
11 issmflem.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
12 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∈ V
1312rabex 5333 . . . . . . . . . 10 {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} ∈ V)
152, 10, 11, 14fvmptd3 7022 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (SMblFnβ€˜π‘†) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (SMblFnβ€˜π‘†) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
171, 16eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
18 elrabi 3678 . . . . . 6 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
20 issmflem.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
21 elpmi2 43924 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2220, 21eqsstrid 4031 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2322adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2419, 23syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
25 elpmi 8840 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆))
2619, 25syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆))
2726simpld 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2820feq2i 6710 . . . . . 6 (𝐹:π·βŸΆβ„ ↔ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2928a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹:π·βŸΆβ„ ↔ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„))
3027, 29mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
31 cnveq 5874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
3231imaeq1d 6059 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
33 dmeq 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
3433oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3532, 34eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓) ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
3635ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
3736elrab 3684 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
3837simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3917, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
4039adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
41 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
42 rspa 3246 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
4340, 41, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
4430adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
45 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
46 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
4746rexrd 11264 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
4845, 47preimaioomnf 45435 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
4948eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
5044, 41, 49syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
5120oveq2i 7420 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)
5251a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
5350, 52eleq12d 2828 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
5443, 53mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5554ralrimiva 3147 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5624, 30, 553jca 1129 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5756ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
58 reex 11201 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ ℝ ∈ V)
6011uniexd 7732 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
6160adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
62 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
63 fssxp 6746 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π·βŸΆβ„ β†’ 𝐹 βŠ† (𝐷 Γ— ℝ))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„) β†’ 𝐹 βŠ† (𝐷 Γ— ℝ))
65 xpss1 5696 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (𝐷 Γ— ℝ) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
6665adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„) β†’ (𝐷 Γ— ℝ) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
6764, 66sstrd 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„) β†’ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
6867adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
69 dmss 5903 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† dom (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
70 dmxpss 6171 . . . . . . . . . . . . 13 dom (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ 𝑆
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) β†’ dom (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ 𝑆)
7269, 71sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7372adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7420, 73eqsstrid 4031 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7568, 74syldan 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
76 elpm2r 8839 . . . . . . . 8 (((ℝ ∈ V ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
7759, 61, 62, 75, 76syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
78773adantr3 1172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
7920a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐷 = dom 𝐹)
8079oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
8149, 80eleq12d 2828 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8281ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π·βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8382biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝐹:π·βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8483imp 408 . . . . . . . 8 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
8584adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
86853adantr1 1170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
8778, 86jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8887, 37sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
8915eqcomd 2739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} = (SMblFnβ€˜π‘†))
9089adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} = (SMblFnβ€˜π‘†))
9188, 90eleqtrd 2836 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
9291ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)))
9357, 92impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑pm cpm 8821  β„cr 11109  -∞cmnf 11246   < clt 11248  (,)cioo 13324   β†Ύt crest 17366  SAlgcsalg 45024  SMblFncsmblfn 45411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-smblfn 45412
This theorem is referenced by:  issmf  45444
  Copyright terms: Public domain W3C validator