Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  issmflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issmflem 45042
Description: The predicate "𝐹 is a real-valued measurable function w.r.t. to the sigma-algebra 𝑆". A function is measurable iff the preimages of all open intervals unbounded below are in the subspace sigma-algebra induced by its domain. The domain of 𝐹 is required to be a subset of the underlying set of 𝑆. Definition 121C of [Fremlin1] p. 36, and Proposition 121B (i) of [Fremlin1] p. 35 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
issmflem.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
issmflem.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
issmflem (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž,π‘₯   𝐹,π‘Ž,π‘₯   𝑆,π‘Ž,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,π‘₯

Proof of Theorem issmflem
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
2 df-smblfn 45011 . . . . . . . . 9 SMblFn = (𝑠 ∈ SAlg ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)})
3 unieq 4881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ βˆͺ 𝑠 = βˆͺ 𝑆)
43oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) = (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
54rabeqdv 3425 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)} = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)})
6 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓) = (𝑆 β†Ύt dom 𝑓))
76eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓) ↔ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)))
87ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)))
98rabbidv 3418 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)} = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
105, 9eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑠) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑠 β†Ύt dom 𝑓)} = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
11 issmflem.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
12 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∈ V
1312rabex 5294 . . . . . . . . . 10 {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} ∈ V)
152, 10, 11, 14fvmptd3 6976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (SMblFnβ€˜π‘†) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (SMblFnβ€˜π‘†) = {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
171, 16eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
18 elrabi 3644 . . . . . 6 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
20 issmflem.d . . . . . . 7 𝐷 = dom 𝐹
21 elpmi2 43520 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2220, 21eqsstrid 3997 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2322adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
2419, 23syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
25 elpmi 8791 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆))
2619, 25syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„ ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆))
2726simpld 496 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2820feq2i 6665 . . . . . 6 (𝐹:π·βŸΆβ„ ↔ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„)
2928a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹:π·βŸΆβ„ ↔ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„))
3027, 29mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
31 cnveq 5834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 β†’ ◑𝑓 = ◑𝐹)
3231imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 β†’ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
33 dmeq 5864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐹 β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
3433oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐹 β†’ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3532, 34eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓) ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
3635ralbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
3736elrab 3650 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} ↔ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
3837simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
3917, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
4039adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
41 simpr 486 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
42 rspa 3234 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
4340, 41, 42syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
4430adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
45 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
46 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
4746rexrd 11212 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
4845, 47preimaioomnf 45034 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž})
4948eqcomd 2743 . . . . . . . 8 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
5044, 41, 49syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)))
5120oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)
5251a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
5350, 52eleq12d 2832 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
5443, 53mpbird 257 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5554ralrimiva 3144 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
5624, 30, 553jca 1129 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
5756ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) β†’ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
58 reex 11149 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
5958a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ ℝ ∈ V)
6011uniexd 7684 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
6160adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
62 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
63 fssxp 6701 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π·βŸΆβ„ β†’ 𝐹 βŠ† (𝐷 Γ— ℝ))
6463adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„) β†’ 𝐹 βŠ† (𝐷 Γ— ℝ))
65 xpss1 5657 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 β†’ (𝐷 Γ— ℝ) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
6665adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„) β†’ (𝐷 Γ— ℝ) βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
6764, 66sstrd 3959 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„) β†’ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
6867adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
69 dmss 5863 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† dom (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ))
70 dmxpss 6128 . . . . . . . . . . . . 13 dom (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ 𝑆
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) β†’ dom (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ 𝑆)
7269, 71sstrd 3959 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7372adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7420, 73eqsstrid 3997 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐹 βŠ† (βˆͺ 𝑆 Γ— ℝ)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
7568, 74syldan 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
76 elpm2r 8790 . . . . . . . 8 (((ℝ ∈ V ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ V) ∧ (𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
7759, 61, 62, 75, 76syl22anc 838 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
78773adantr3 1172 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆))
7920a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ 𝐷 = dom 𝐹)
8079oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
8149, 80eleq12d 2832 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ π‘Ž ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8281ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π·βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8382biimpd 228 . . . . . . . . 9 (𝐹:π·βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8483imp 408 . . . . . . . 8 ((𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
8584adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
86853adantr1 1170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹))
8778, 86jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝐹)))
8887, 37sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)})
8915eqcomd 2743 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} = (SMblFnβ€˜π‘†))
9089adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ {𝑓 ∈ (ℝ ↑pm βˆͺ 𝑆) ∣ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ (◑𝑓 β€œ (-∞(,)π‘Ž)) ∈ (𝑆 β†Ύt dom 𝑓)} = (SMblFnβ€˜π‘†))
9188, 90eleqtrd 2840 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
9291ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†)))
9357, 92impbid 211 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†) ↔ (𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆 ∧ 𝐹:π·βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < π‘Ž} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑pm cpm 8773  β„cr 11057  -∞cmnf 11194   < clt 11196  (,)cioo 13271   β†Ύt crest 17309  SAlgcsalg 44623  SMblFncsmblfn 45010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-smblfn 45011
This theorem is referenced by:  issmf  45043
  Copyright terms: Public domain W3C validator