MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvn2bss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvn2bss 25294
Description: An N-times differentiable point is an M-times differentiable point, if 𝑀𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvn2bss ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem dvn2bss
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 simp2 1137 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
3 elfznn0 13534 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
433ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5 elfzuz3 13438 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
653ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 uznn0sub 12802 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
9 dvnadd 25293 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
101, 2, 4, 8, 9syl22anc 837 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
114nn0cnd 12475 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12 elfzuz2 13446 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
13123ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
14 nn0uz 12805 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
1513, 14eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 12475 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1711, 16pncan3d 11515 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
1817fveq2d 6846 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1910, 18eqtrd 2776 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2019dmeqd 5861 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
21 cnex 11132 . . . . 5 ℂ ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ℂ ∈ V)
23 dvnf 25291 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
243, 23syl3an3 1165 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
25 dvnbss 25292 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
263, 25syl3an3 1165 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
27 elpmi 8784 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
28273ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
2928simprd 496 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom 𝐹𝑆)
3026, 29sstrd 3954 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)
31 elpm2r 8783 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
3222, 1, 24, 30, 31syl22anc 837 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
33 dvnbss 25292 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
341, 32, 8, 33syl3anc 1371 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
3520, 34eqsstrrd 3983 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {cpr 4588  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  pm cpm 8766  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  cmin 11385  0cn0 12413  cuz 12763  ...cfz 13424   D𝑛 cdvn 25228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232
This theorem is referenced by:  taylplem1  25722  taylply2  25727  taylply  25728  taylthlem1  25732  taylthlem2  25733
  Copyright terms: Public domain W3C validator