MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvn2bss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvn2bss 25174
Description: An N-times differentiable point is an M-times differentiable point, if 𝑀𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dvn2bss ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))

Proof of Theorem dvn2bss
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 simp2 1136 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
3 elfznn0 13428 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
433ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5 elfzuz3 13332 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
653ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 uznn0sub 12696 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
9 dvnadd 25173 . . . . 5 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
101, 2, 4, 8, 9syl22anc 836 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
114nn0cnd 12374 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
12 elfzuz2 13340 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
13123ad2ant3 1134 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
14 nn0uz 12699 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
1513, 14eleqtrrdi 2848 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 12374 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
1711, 16pncan3d 11414 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
1817fveq2d 6815 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
1910, 18eqtrd 2776 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2019dmeqd 5834 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
21 cnex 11031 . . . . 5 ℂ ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ℂ ∈ V)
23 dvnf 25171 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
243, 23syl3an3 1164 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
25 dvnbss 25172 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
263, 25syl3an3 1164 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
27 elpmi 8683 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
28273ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹𝑆))
2928simprd 496 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom 𝐹𝑆)
3026, 29sstrd 3940 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)
31 elpm2r 8682 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ ∧ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
3222, 1, 24, 30, 31syl22anc 836 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
33 dvnbss 25172 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
341, 32, 8, 33syl3anc 1370 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
3520, 34eqsstrrd 3969 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3440  wss 3896  {cpr 4572  dom cdm 5607  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  pm cpm 8665  cc 10948  cr 10949  0cc0 10950   + caddc 10953  cmin 11284  0cn0 12312  cuz 12661  ...cfz 13318   D𝑛 cdvn 25108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-map 8666  df-pm 8667  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-fi 9246  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-4 12117  df-5 12118  df-6 12119  df-7 12120  df-8 12121  df-9 12122  df-n0 12313  df-z 12399  df-dec 12517  df-uz 12662  df-q 12768  df-rp 12810  df-xneg 12927  df-xadd 12928  df-xmul 12929  df-icc 13165  df-fz 13319  df-seq 13801  df-exp 13862  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-struct 16922  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-plusg 17049  df-mulr 17050  df-starv 17051  df-tset 17055  df-ple 17056  df-ds 17058  df-unif 17059  df-rest 17207  df-topn 17208  df-topgen 17228  df-psmet 20669  df-xmet 20670  df-met 20671  df-bl 20672  df-mopn 20673  df-fbas 20674  df-fg 20675  df-cnfld 20678  df-top 22123  df-topon 22140  df-topsp 22162  df-bases 22176  df-cld 22250  df-ntr 22251  df-cls 22252  df-nei 22329  df-lp 22367  df-perf 22368  df-cnp 22459  df-haus 22546  df-fil 23077  df-fm 23169  df-flim 23170  df-flf 23171  df-xms 23553  df-ms 23554  df-limc 25110  df-dv 25111  df-dvn 25112
This theorem is referenced by:  taylplem1  25602  taylply2  25607  taylply  25608  taylthlem1  25612  taylthlem2  25613
  Copyright terms: Public domain W3C validator