MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcn 23261
Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
tgcn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 iscn 23244 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
6 topontop 22920 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
85, 7eqeltrrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
9 tgclb 22978 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
108, 9sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
11 bastg 22974 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1312, 5sseqtrrd 4020 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
14 ssralv 4051 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
165eleq2d 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐾𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
17 eltg3 22970 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1916, 18bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
20 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
21 topontop 22920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
23 iunopn 22905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
2423ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2620, 25sylan9r 508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
27 imaeq2 6073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
28 imauni 7267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦)
2927, 28eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
3029eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ↔ (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
3226, 31syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3332expimpd 453 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3433exlimdv 1932 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3519, 34sylbid 240 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐾 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3635imp 406 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
3736ralrimdva 3153 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
38 imaeq2 6073 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
3938eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4039cbvralvw 3236 . . . . 5 (∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
4137, 40imbitrdi 251 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4215, 41impbid 212 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4342anbi2d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
444, 43bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wral 3060  wss 3950   cuni 4906   ciun 4990  ccnv 5683  cima 5687  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  topGenctg 17483  Topctop 22900  TopOnctopon 22917  TopBasesctb 22953   Cn ccn 23233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cn 23236
This theorem is referenced by:  subbascn  23263  txcnmpt  23633  ismtyhmeolem  37812
  Copyright terms: Public domain W3C validator