MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcn 21385
Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
tgcn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 iscn 21368 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
41, 2, 3syl2anc 580 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
6 topontop 21046 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
85, 7eqeltrrd 2879 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
9 tgclb 21103 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
108, 9sylibr 226 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
11 bastg 21099 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1312, 5sseqtr4d 3838 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
14 ssralv 3862 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
165eleq2d 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐾𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
17 eltg3 21095 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1916, 18bitrd 271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
20 ssralv 3862 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
21 topontop 21046 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
23 iunopn 21031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
2423ex 402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2620, 25sylan9r 505 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
27 imaeq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
28 imauni 6732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦)
2927, 28syl6eq 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
3029eleq1d 2863 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
3130imbi2d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ↔ (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
3226, 31syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3332expimpd 446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3433exlimdv 2029 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3519, 34sylbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐾 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3635imp 396 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
3736ralrimdva 3150 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
38 imaeq2 5679 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
3938eleq1d 2863 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4039cbvralv 3354 . . . . 5 (∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
4137, 40syl6ib 243 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4215, 41impbid 204 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4342anbi2d 623 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
444, 43bitrd 271 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wral 3089  wss 3769   cuni 4628   ciun 4710  ccnv 5311  cima 5315  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  topGenctg 16413  Topctop 21026  TopOnctopon 21043  TopBasesctb 21078   Cn ccn 21357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-topgen 16419  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-cn 21360
This theorem is referenced by:  subbascn  21387  txcnmpt  21756  ismtyhmeolem  34090
  Copyright terms: Public domain W3C validator