MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgcn 23276
Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
tgcn.3 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
tgcn.4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
tgcn (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑦)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 tgcn.4 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
3 iscn 23259 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (topGen‘𝐵))
6 topontop 22935 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝐾 ∈ Top)
72, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Top)
85, 7eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
9 tgclb 22993 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
108, 9sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ TopBases)
11 bastg 22989 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
1312, 5sseqtrrd 4037 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
14 ssralv 4064 . . . . 5 (𝐵𝐾 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
165eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐾𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
17 eltg3 22985 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ TopBases → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
1916, 18bitrd 279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐾 ↔ ∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧)))
20 ssralv 4064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
21 topontop 22935 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
23 iunopn 22920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) → 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
2423ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∀𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2620, 25sylan9r 508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
27 imaeq2 6076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹 𝑧))
28 imauni 7266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 𝑧) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦)
2927, 28eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = 𝑦𝑧 (𝐹𝑦))
3029eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
3130imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) ↔ (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 𝑦𝑧 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
3226, 31syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3332expimpd 453 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3433exlimdv 1931 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧(𝑧𝐵𝑥 = 𝑧) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3519, 34sylbid 240 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐾 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
3635imp 406 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
3736ralrimdva 3152 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
38 imaeq2 6076 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
3938eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4039cbvralvw 3235 . . . . 5 (∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)
4137, 40imbitrdi 251 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 → ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4215, 41impbid 212 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
4342anbi2d 630 . 2 (𝜑 → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
444, 43bitrd 279 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   cuni 4912   ciun 4996  ccnv 5688  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  topGenctg 17484  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  TopBasesctb 22968   Cn ccn 23248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251
This theorem is referenced by:  subbascn  23278  txcnmpt  23648  ismtyhmeolem  37791
  Copyright terms: Public domain W3C validator