Theorem tgqioo2 46774

Description: Every open set of reals is the (countable) union of open interval with rational bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgqioo2.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
tgqioo2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
tgqioo2	⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞)

Proof of Theorem tgqioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		tgqioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
4	3	tgqioo 25152	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5	2, 4, 3	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7	1, 6	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
8		iooex 13529	. . . 4 ⊢ (,) ∈ V
9		imaexg 7952	. . . 4 ⊢ ((,) ∈ V → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
11		eltg3 23313	. . 3 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))
13	7, 12	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   × cxp 5654  ran crn 5657   “ cima 5659  ‘cfv 6561  ℚcq 13105  (,)cioo 13506  topGenctg 17640

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-q 13106  df-ioo 13510  df-topgen 17646  df-bases 23297

This theorem is used by:  smfpimbor1lem1  48023