Theorem tgqioo2 45999

Description: Every open set of reals is the (countable) union of open interval with rational bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgqioo2.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
tgqioo2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
tgqioo2	⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞)

Proof of Theorem tgqioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		tgqioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
4	3	tgqioo 24790	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5	2, 4, 3	3eqtri 2767	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7	1, 6	eleqtrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
8		iooex 13319	. . . 4 ⊢ (,) ∈ V
9		imaexg 7860	. . . 4 ⊢ ((,) ∈ V → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
11		eltg3 22952	. . 3 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))
13	7, 12	sylib 219	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4845   × cxp 5623  ran crn 5626   “ cima 5628  ‘cfv 6492  ℚcq 12896  (,)cioo 13296  topGenctg 17398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-ioo 13300  df-topgen 17404  df-bases 22936

This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  47248