Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgqioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgqioo2 42124
 Description: Every open set of reals is the (countable) union of open interval with rational bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
tgqioo2.1 𝐽 = (topGen‘ran (,))
tgqioo2.2 (𝜑𝐴𝐽)
Assertion
Ref Expression
tgqioo2 (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑞))
Distinct variable group:   𝐴,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞)

Proof of Theorem tgqioo2
StepHypRef Expression
1 tgqioo2.2 . . 3 (𝜑𝐴𝐽)
2 tgqioo2.1 . . . . 5 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 eqid 2822 . . . . . 6 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
43tgqioo 23403 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
52, 4, 33eqtri 2849 . . . 4 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
71, 6eleqtrd 2916 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
8 iooex 12749 . . . 4 (,) ∈ V
9 imaexg 7606 . . . 4 ((,) ∈ V → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V)
108, 9ax-mp 5 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
11 eltg3 21565 . . 3 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑞)))
1210, 11ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑞))
137, 12sylib 221 1 (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = 𝑞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4813   × cxp 5530  ran crn 5533   “ cima 5535  ‘cfv 6334  ℚcq 12336  (,)cioo 12726  topGenctg 16702 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-ioo 12730  df-topgen 16708  df-bases 21549 This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  43370
 Copyright terms: Public domain W3C validator