Theorem tgqioo2 45586

Description: Every open set of reals is the (countable) union of open interval with rational bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgqioo2.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
tgqioo2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
tgqioo2	⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞)

Proof of Theorem tgqioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		tgqioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
4	3	tgqioo 24713	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5	2, 4, 3	3eqtri 2758	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7	1, 6	eleqtrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
8		iooex 13265	. . . 4 ⊢ (,) ∈ V
9		imaexg 7843	. . . 4 ⊢ ((,) ∈ V → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
11		eltg3 22875	. . 3 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))
13	7, 12	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4859   × cxp 5614  ran crn 5617   “ cima 5619  ‘cfv 6481  ℚcq 12843  (,)cioo 13242  topGenctg 17338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-ioo 13246  df-topgen 17344  df-bases 22859

This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  46835