Theorem tgqioo2 45560

Description: Every open set of reals is the (countable) union of open interval with rational bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgqioo2.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
tgqioo2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
tgqioo2	⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

Distinct variable group:   𝐴,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐽(𝑞)

Proof of Theorem tgqioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		tgqioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
4	3	tgqioo 24821	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
5	2, 4, 3	3eqtri 2769	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7	1, 6	eleqtrd 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
8		iooex 13410	. . . 4 ⊢ (,) ∈ V
9		imaexg 7935	. . . 4 ⊢ ((,) ∈ V → ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V)
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
11		eltg3 22969	. . 3 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V → (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞)))
12	10, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))
13	7, 12	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞(𝑞 ⊆ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ 𝐴 = ∪ 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∪ cuni 4907   × cxp 5683  ran crn 5686   “ cima 5688  ‘cfv 6561  ℚcq 12990  (,)cioo 13387  topGenctg 17482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  46813