MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlei 10728
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
eqlei (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)

Proof of Theorem eqlei
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 eleq1a 2906 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
43eqcoms 2828 . 2 (𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ ℝ)
5 letri3 10704 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
61, 5mpan 688 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
7 simpl 485 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
86, 7syl6bi 255 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
94, 8mpcom 38 1 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5042  cr 10514  cle 10654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-po 5450  df-so 5451  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659
This theorem is referenced by:  le2tri3i  10748  fldiv4lem1div2  13191  vdegp1bi  27306
  Copyright terms: Public domain W3C validator