MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqlei Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlei 11348
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
eqlei (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)

Proof of Theorem eqlei
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 eleq1a 2824 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝐵 = 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
43eqcoms 2736 . 2 (𝐴 = 𝐵𝐵 ∈ ℝ)
5 letri3 11323 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
61, 5mpan 689 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
7 simpl 482 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
86, 7biimtrdi 252 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
94, 8mpcom 38 1 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5142  cr 11131  cle 11273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278
This theorem is referenced by:  le2tri3i  11368  fldiv4lem1div2  13828  vdegp1bi  29344
  Copyright terms: Public domain W3C validator