Theorem eqlei 11362

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei	⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eleq1a 2824	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	eqcoms 2736	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letri3 11337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	1, 5	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8	6, 7	biimtrdi 252	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
9	4, 8	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ℝcr 11145   ≤ cle 11287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292

This theorem is referenced by:  le2tri3i  11382  fldiv4lem1div2  13842  vdegp1bi  29371