Theorem eqlei 11260

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 23-May-1999.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei	⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqlei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eleq1a 2823	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	eqcoms 2737	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letri3 11235	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	1, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 ≤ 𝐵)
8	6, 7	biimtrdi 253	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
9	4, 8	mpcom 38	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  le2tri3i  11280  fldiv4lem1div2  13775  vdegp1bi  29441