Theorem eqlei2 11357

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei2	⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem eqlei2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eleq1a 2820	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		eqcom 2732	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
5		letri3 11331	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	1, 5	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	4, 6	bitrid 282	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
8		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	7, 8	biimtrdi 252	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	3, 9	mpcom 38	1 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ℝcr 11139   ≤ cle 11281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286

This theorem is referenced by:  usgruspgr  29065  konigsbergssiedgw  30132  fourierswlem  45756