Theorem eqlei2 11322

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei2	⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem eqlei2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eleq1a 2829	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		eqcom 2740	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
5		letri3 11296	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	1, 5	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	4, 6	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
8		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	7, 8	syl6bi 253	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	3, 9	mpcom 38	1 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ℝcr 11106   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by:  usgruspgr  28428  konigsbergssiedgw  29493  fourierswlem  44933