Theorem eqlei2 11356

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
eqlei2	⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem eqlei2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		eleq1a 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		eqcom 2735	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
5		letri3 11330	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	1, 5	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
7	4, 6	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐴)
9	7, 8	biimtrdi 252	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴))
10	3, 9	mpcom 38	1 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ℝcr 11138   ≤ cle 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285

This theorem is referenced by:  usgruspgr  29006  konigsbergssiedgw  30073  fourierswlem  45618