MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1bi 29555
Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x 𝑋𝑉
vdegp1bi.xu 𝑋𝑈
vdegp1bi.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi
StepHypRef Expression
1 prex 5437 . . 3 {𝑈, 𝑋} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5 wrdf 14557 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
65ffund 6740 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10 vdegp1bi.f . . . . 5 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11 wrdv 14567 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 14759 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1412, 13mpan 690 . . . . 5 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1510, 14eqtrid 2789 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16 fvexd 6921 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17 wrdlndm 14568 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 𝑈𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈𝑉)
21 vdegp1bi.x . . . . . 6 𝑋𝑉
2219, 21pm3.2i 470 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑋𝑉)
23 prelpwi 5452 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25 prid1g 4760 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
2619, 25mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27 vdegp1bi.xu . . . . . . . 8 𝑋𝑈
2827necomi 2995 . . . . . . 7 𝑈𝑋
29 hashprg 14434 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → (𝑈𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
3019, 21, 29mp2an 692 . . . . . . 7 (𝑈𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
3128, 30mpbi 230 . . . . . 6 (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2
3231eqcomi 2746 . . . . 5 2 = (♯‘{𝑈, 𝑋})
33 2re 12340 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3433eqlei 11371 . . . . 5 (2 = (♯‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
3532, 34mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
362, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35p1evtxdp1 29532 . . 3 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
371, 36ax-mp 5 . 2 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
38 fzofi 14015 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin
39 wrddm 14559 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
404, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼))
4140eqcomi 2746 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐼)) = dom 𝐼
422, 3, 41vtxdgfisnn0 29493 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
4338, 19, 42mp2an 692 . . . 4 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
4443nn0rei 12537 . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
45 1re 11261 . . 3 1 ∈ ℝ
46 rexadd 13274 . . 3 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
4744, 45, 46mp2an 692 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
48 vdegp1ai.d . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
4948oveq1i 7441 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
5037, 47, 493eqtri 2769 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wnel 3046  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628  cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296  2c2 12321  0cn0 12526   +𝑒 cxad 13152  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  VtxDegcvtxdg 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-vtxdg 29484
This theorem is referenced by:  vdegp1ci  29556  konigsberglem1  30271  konigsberglem2  30272
  Copyright terms: Public domain W3C validator