MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1bi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vdegp1bi 28784
Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the KΓΆnigsberg graph. If the degree of π‘ˆ in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {π‘ˆ, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 β‰  π‘ˆ, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vdegp1ai.u π‘ˆ ∈ 𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
vdegp1bi.x 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu 𝑋 β‰  π‘ˆ
vdegp1bi.f (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)
Proof of Theorem vdegp1bi
StepHypRef Expression
1 prex 5432 . . 3 {π‘ˆ, 𝑋} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
5 wrdf 14466 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼:(0..^(β™―β€˜πΌ))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
65ffund 6719 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
10 vdegp1bi.f . . . . 5 (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©)
11 wrdv 14476 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 14668 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {π‘ˆ, 𝑋} ∈ V) β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {π‘ˆ, 𝑋}⟩}))
1412, 13mpan 689 . . . . 5 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {π‘ˆ, 𝑋}⟩}))
1510, 14eqtrid 2785 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {π‘ˆ, 𝑋}⟩}))
16 fvexd 6904 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ V)
17 wrdlndm 14477 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 π‘ˆ ∈ 𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
21 vdegp1bi.x . . . . . 6 𝑋 ∈ 𝑉
2219, 21pm3.2i 472 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
23 prelpwi 5447 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {π‘ˆ, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ {π‘ˆ, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25 prid1g 4764 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑋})
2619, 25mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑋})
27 vdegp1bi.xu . . . . . . . 8 𝑋 β‰  π‘ˆ
2827necomi 2996 . . . . . . 7 π‘ˆ β‰  𝑋
29 hashprg 14352 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ β‰  𝑋 ↔ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) = 2))
3019, 21, 29mp2an 691 . . . . . . 7 (π‘ˆ β‰  𝑋 ↔ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) = 2)
3128, 30mpbi 229 . . . . . 6 (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) = 2
3231eqcomi 2742 . . . . 5 2 = (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋})
33 2re 12283 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3433eqlei 11321 . . . . 5 (2 = (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}))
3532, 34mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ 2 ≀ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}))
362, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35p1evtxdp1 28761 . . 3 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1))
371, 36ax-mp 5 . 2 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1)
38 fzofi 13936 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜πΌ)) ∈ Fin
39 wrddm 14468 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ dom 𝐼 = (0..^(β™―β€˜πΌ)))
404, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 dom 𝐼 = (0..^(β™―β€˜πΌ))
4140eqcomi 2742 . . . . . 6 (0..^(β™―β€˜πΌ)) = dom 𝐼
422, 3, 41vtxdgfisnn0 28722 . . . . 5 (((0..^(β™―β€˜πΌ)) ∈ Fin ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
4338, 19, 42mp2an 691 . . . 4 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0
4443nn0rei 12480 . . 3 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ
45 1re 11211 . . 3 1 ∈ ℝ
46 rexadd 13208 . . 3 ((((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) + 1))
4744, 45, 46mp2an 691 . 2 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) + 1)
48 vdegp1ai.d . . 3 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
4948oveq1i 7416 . 2 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) + 1) = (𝑃 + 1)
5037, 47, 493eqtri 2765 1 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (𝑃 + 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ‰ wnel 3047  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Fun wfun 6535  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ≀ cle 11246  2c2 12264  β„•0cn0 12469   +𝑒 cxad 13087  ..^cfzo 13624  β™―chash 14287  Word cword 14461   ++ cconcat 14517  βŸ¨β€œcs1 14542  Vtxcvtx 28246  iEdgciedg 28247  VtxDegcvtxdg 28712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-uz 12820  df-xadd 13090  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-vtx 28248  df-iedg 28249  df-vtxdg 28713
This theorem is referenced by:  vdegp1ci  28785  konigsberglem1  29495  konigsberglem2  29496
  Copyright terms: Public domain W3C validator