MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdegp1bi 27025
Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u 𝑈𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x 𝑋𝑉
vdegp1bi.xu 𝑋𝑈
vdegp1bi.f (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi
StepHypRef Expression
1 prex 5190 . . 3 {𝑈, 𝑋} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5 wrdf 13680 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
65ffund 6350 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtx‘𝐹) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10 vdegp1bi.f . . . . 5 (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11 wrdv 13691 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 13917 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1412, 13mpan 677 . . . . 5 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
1510, 14syl5eq 2826 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16 fvexd 6516 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17 wrdlndm 13693 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 𝑈𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈𝑉)
21 vdegp1bi.x . . . . . 6 𝑋𝑉
2219, 21pm3.2i 463 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑋𝑉)
23 prelpwi 5197 . . . . 5 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25 prid1g 4571 . . . . 5 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
2619, 25mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27 vdegp1bi.xu . . . . . . . 8 𝑋𝑈
2827necomi 3021 . . . . . . 7 𝑈𝑋
29 hashprg 13572 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑉𝑋𝑉) → (𝑈𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
3019, 21, 29mp2an 679 . . . . . . 7 (𝑈𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
3128, 30mpbi 222 . . . . . 6 (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2
3231eqcomi 2787 . . . . 5 2 = (♯‘{𝑈, 𝑋})
33 2re 11517 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3433eqlei 10552 . . . . 5 (2 = (♯‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
3532, 34mp1i 13 . . . 4 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
362, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35p1evtxdp1 27002 . . 3 ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
371, 36ax-mp 5 . 2 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
38 fzofi 13160 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin
39 wrddm 13682 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
404, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼))
4140eqcomi 2787 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝐼)) = dom 𝐼
422, 3, 41vtxdgfisnn0 26963 . . . . 5 (((0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
4338, 19, 42mp2an 679 . . . 4 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
4443nn0rei 11722 . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
45 1re 10441 . . 3 1 ∈ ℝ
46 rexadd 12445 . . 3 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
4744, 45, 46mp2an 679 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
48 vdegp1ai.d . . 3 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
4948oveq1i 6988 . 2 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
5037, 47, 493eqtri 2806 1 ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wnel 3073  {crab 3092  Vcvv 3415  cdif 3828  cun 3829  c0 4180  𝒫 cpw 4423  {csn 4442  {cpr 4444  cop 4448   class class class wbr 4930  dom cdm 5408  Fun wfun 6184  cfv 6190  (class class class)co 6978  Fincfn 8308  cr 10336  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340  cle 10477  2c2 11498  0cn0 11710   +𝑒 cxad 12325  ..^cfzo 12852  chash 13508  Word cword 13675   ++ cconcat 13736  ⟨“cs1 13761  Vtxcvtx 26487  iEdgciedg 26488  VtxDegcvtxdg 26953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-dju 9126  df-card 9164  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-n0 11711  df-xnn0 11783  df-z 11797  df-uz 12062  df-xadd 12328  df-fz 12712  df-fzo 12853  df-hash 13509  df-word 13676  df-concat 13737  df-s1 13762  df-vtx 26489  df-iedg 26490  df-vtxdg 26954
This theorem is referenced by:  vdegp1ci  27026  konigsberglem1  27787  konigsberglem2  27788
  Copyright terms: Public domain W3C validator