Theorem vdegp1bi 28193

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1bi.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bi	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5377	. . 3 ⊢ {𝑈, 𝑋} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14322	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6655	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1bi.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11		wrdv 14332	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
14	12, 13	mpan 687	. . . . 5 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16		fvexd 6840	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14333	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		vdegp1bi.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
22	19, 21	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
23		prelpwi 5392	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25		prid1g 4708	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
26	19, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27		vdegp1bi.xu	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
28	27	necomi 2995	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
29		hashprg 14210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
30	19, 21, 29	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
31	28, 30	mpbi 229	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2
32	31	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ 2 = (♯‘{𝑈, 𝑋})
33		2re 12148	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	eqlei 11186	. . . . 5 ⊢ (2 = (♯‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
35	32, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
36	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35	p1evtxdp1 28170	. . 3 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
37	1, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
38		fzofi 13795	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin
39		wrddm 14324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼))
41	40	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) = dom 𝐼
42	2, 3, 41	vtxdgfisnn0 28131	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
43	38, 19, 42	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
44	43	nn0rei 12345	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
45		1re 11076	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
46		rexadd 13067	. . 3 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
47	44, 45, 46	mp2an 689	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
48		vdegp1ai.d	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
49	48	oveq1i 7347	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
50	37, 47, 49	3eqtri 2768	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ∉ wnel 3046  {crab 3403  Vcvv 3441   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896  ∅c0 4269  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  {cpr 4575  ⟨cop 4579   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  Fun wfun 6473  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  ℝcr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   + caddc 10975   ≤ cle 11111  2c2 12129  ℕ₀cn0 12334   +_𝑒 cxad 12947  ..^cfzo 13483  ♯chash 14145  Word cword 14317   ++ cconcat 14373  ⟨“cs1 14399  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656  VtxDegcvtxdg 28121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-oadd 8371  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-dju 9758  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-xadd 12950  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-s1 14400  df-vtx 27657  df-iedg 27658  df-vtxdg 28122

This theorem is referenced by:  vdegp1ci  28194  konigsberglem1  28904  konigsberglem2  28905