Theorem vdegp1bi 29573

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1bi.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bi	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5452	. . 3 ⊢ {𝑈, 𝑋} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14567	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6751	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1bi.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11		wrdv 14577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
14	12, 13	mpan 689	. . . . 5 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16		fvexd 6935	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14578	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		vdegp1bi.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
22	19, 21	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
23		prelpwi 5467	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25		prid1g 4785	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
26	19, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27		vdegp1bi.xu	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
28	27	necomi 3001	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
29		hashprg 14444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
30	19, 21, 29	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
31	28, 30	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2
32	31	eqcomi 2749	. . . . 5 ⊢ 2 = (♯‘{𝑈, 𝑋})
33		2re 12367	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	eqlei 11400	. . . . 5 ⊢ (2 = (♯‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
35	32, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
36	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35	p1evtxdp1 29550	. . 3 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
37	1, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
38		fzofi 14025	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin
39		wrddm 14569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼))
41	40	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) = dom 𝐼
42	2, 3, 41	vtxdgfisnn0 29511	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
43	38, 19, 42	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
44	43	nn0rei 12564	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
45		1re 11290	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
46		rexadd 13294	. . 3 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
47	44, 45, 46	mp2an 691	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
48		vdegp1ai.d	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
49	48	oveq1i 7458	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
50	37, 47, 49	3eqtri 2772	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∉ wnel 3052  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {csn 4648  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553   +_𝑒 cxad 13173  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562   ++ cconcat 14618  ⟨“cs1 14643  Vtxcvtx 29031  iEdgciedg 29032  VtxDegcvtxdg 29501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-xadd 13176  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-vtx 29033  df-iedg 29034  df-vtxdg 29502

This theorem is referenced by:  vdegp1ci  29574  konigsberglem1  30284  konigsberglem2  30285