Theorem vdegp1bi 30000

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1bi.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bi	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5403	. . 3 ⊢ {𝑈, 𝑋} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14586	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6708	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1bi.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11		wrdv 14597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
14	12, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16		fvexd 6894	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14598	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		vdegp1bi.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
22	19, 21	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
23		prelpwi 5422	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
24	22, 23	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25		prid1g 4721	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
26	19, 25	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27		vdegp1bi.xu	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
28	27	necomi 3009	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
29		hashprg 14462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
30	19, 21, 29	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
31	28, 30	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2
32	31	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ 2 = (♯‘{𝑈, 𝑋})
33		2re 12342	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	eqlei 11347	. . . . 5 ⊢ (2 = (♯‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
35	32, 34	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
36	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35	p1evtxdp1 29977	. . 3 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
37	1, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
38		fzofi 14041	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin
39		wrddm 14589	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼))
41	40	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) = dom 𝐼
42	2, 3, 41	vtxdgfisnn0 29938	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
43	38, 19, 42	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
44	43	nn0rei 12542	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
45		1re 11235	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
46		rexadd 13287	. . 3 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
47	44, 45, 46	mp2an 705	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
48		vdegp1ai.d	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
49	48	oveq1i 7424	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
50	37, 47, 49	3eqtri 2787	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∉ wnel 3061  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   ≤ cle 11271  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531   +_𝑒 cxad 13164  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397  Word cword 14581   ++ cconcat 14638  ⟨“cs1 14665  Vtxcvtx 29456  iEdgciedg 29457  VtxDegcvtxdg 29928

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-xadd 13167  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-vtx 29458  df-iedg 29459  df-vtxdg 29929

This theorem is used by:  vdegp1ci  30001  konigsberglem1  30735  konigsberglem2  30736