Theorem vdegp1bi 29518

Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the Königsberg graph. If the degree of 𝑈 in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {𝑈, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 ≠ 𝑈, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdegp1ai.vg	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vdegp1ai.u	⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
vdegp1ai.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vdegp1ai.w	⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
vdegp1ai.d	⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
vdegp1ai.vf	⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
vdegp1bi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu	⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
vdegp1bi.f	⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)

Assertion

Ref	Expression
vdegp1bi	⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem vdegp1bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 5387	. . 3 ⊢ {𝑈, 𝑋} ∈ V
2		vdegp1ai.vg	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vdegp1ai.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vdegp1ai.w	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2}
5		wrdf 14459	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼:(0..^(♯‘𝐼))⟶{𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2})
6	5	ffund 6674	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → Fun 𝐼)
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → Fun 𝐼)
8		vdegp1ai.vf	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐹) = 𝑉
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
10		vdegp1bi.f	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩)
11		wrdv 14470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → 𝐼 ∈ Word V)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 ∈ Word V
13		cats1un 14662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Word V ∧ {𝑈, 𝑋} ∈ V) → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
14	12, 13	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (𝐼 ++ ⟨“{𝑈, 𝑋}”⟩) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
15	10, 14	eqtrid 2776	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨(♯‘𝐼), {𝑈, 𝑋}⟩}))
16		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∈ V)
17		wrdlndm 14471	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
18	4, 17	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → (♯‘𝐼) ∉ dom 𝐼)
19		vdegp1ai.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ 𝑉
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ 𝑉)
21		vdegp1bi.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
22	19, 21	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
23		prelpwi 5402	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
24	22, 23	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25		prid1g 4720	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
26	19, 25	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑋})
27		vdegp1bi.xu	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑈
28	27	necomi 2979	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 ≠ 𝑋
29		hashprg 14336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2))
30	19, 21, 29	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ≠ 𝑋 ↔ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2)
31	28, 30	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (♯‘{𝑈, 𝑋}) = 2
32	31	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ 2 = (♯‘{𝑈, 𝑋})
33		2re 12236	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
34	33	eqlei 11260	. . . . 5 ⊢ (2 = (♯‘{𝑈, 𝑋}) → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
35	32, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → 2 ≤ (♯‘{𝑈, 𝑋}))
36	2, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35	p1evtxdp1 29495	. . 3 ⊢ ({𝑈, 𝑋} ∈ V → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
37	1, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1)
38		fzofi 13915	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin
39		wrddm 14462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Word {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (♯‘𝑥) ≤ 2} → dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼)))
40	4, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom 𝐼 = (0..^(♯‘𝐼))
41	40	eqcomi 2738	. . . . . 6 ⊢ (0..^(♯‘𝐼)) = dom 𝐼
42	2, 3, 41	vtxdgfisnn0 29456	. . . . 5 ⊢ (((0..^(♯‘𝐼)) ∈ Fin ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0)
43	38, 19, 42	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℕ0
44	43	nn0rei 12429	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ
45		1re 11150	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
46		rexadd 13168	. . 3 ⊢ ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1))
47	44, 45, 46	mp2an 692	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1)
48		vdegp1ai.d	. . 3 ⊢ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 𝑃
49	48	oveq1i 7379	. 2 ⊢ (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) + 1) = (𝑃 + 1)
50	37, 47, 49	3eqtri 2756	1 ⊢ ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (𝑃 + 1)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∉ wnel 3029  {crab 3402  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  {cpr 4587  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   ≤ cle 11185  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418   +_𝑒 cxad 13046  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454   ++ cconcat 14511  ⟨“cs1 14536  Vtxcvtx 28976  iEdgciedg 28977  VtxDegcvtxdg 29446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-xadd 13049  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537  df-vtx 28978  df-iedg 28979  df-vtxdg 29447

This theorem is referenced by:  vdegp1ci  29519  konigsberglem1  30231  konigsberglem2  30232