MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdegp1bi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem vdegp1bi 29218
Description: The induction step for a vertex degree calculation, for example in the KΓΆnigsberg graph. If the degree of π‘ˆ in the edge set 𝐸 is 𝑃, then adding {π‘ˆ, 𝑋} to the edge set, where 𝑋 β‰  π‘ˆ, yields degree 𝑃 + 1. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vdegp1ai.vg 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vdegp1ai.u π‘ˆ ∈ 𝑉
vdegp1ai.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
vdegp1ai.w 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
vdegp1ai.d ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
vdegp1ai.vf (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
vdegp1bi.x 𝑋 ∈ 𝑉
vdegp1bi.xu 𝑋 β‰  π‘ˆ
vdegp1bi.f (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©)
Assertion
Ref Expression
vdegp1bi ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (𝑃 + 1)
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘₯)   𝐼(π‘₯)
Proof of Theorem vdegp1bi
StepHypRef Expression
1 prex 5422 . . 3 {π‘ˆ, 𝑋} ∈ V
2 vdegp1ai.vg . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3 vdegp1ai.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
4 vdegp1ai.w . . . . 5 𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2}
5 wrdf 14465 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼:(0..^(β™―β€˜πΌ))⟢{π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2})
65ffund 6711 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ Fun 𝐼)
74, 6mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ Fun 𝐼)
8 vdegp1ai.vf . . . . 5 (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉
98a1i 11 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
10 vdegp1bi.f . . . . 5 (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©)
11 wrdv 14475 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ 𝐼 ∈ Word V)
124, 11ax-mp 5 . . . . . 6 𝐼 ∈ Word V
13 cats1un 14667 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Word V ∧ {π‘ˆ, 𝑋} ∈ V) β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {π‘ˆ, 𝑋}⟩}))
1412, 13mpan 687 . . . . 5 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (𝐼 ++ βŸ¨β€œ{π‘ˆ, 𝑋}β€βŸ©) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {π‘ˆ, 𝑋}⟩}))
1510, 14eqtrid 2776 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨(β™―β€˜πΌ), {π‘ˆ, 𝑋}⟩}))
16 fvexd 6896 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ V)
17 wrdlndm 14476 . . . . 5 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
184, 17mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ (β™―β€˜πΌ) βˆ‰ dom 𝐼)
19 vdegp1ai.u . . . . 5 π‘ˆ ∈ 𝑉
2019a1i 11 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
21 vdegp1bi.x . . . . . 6 𝑋 ∈ 𝑉
2219, 21pm3.2i 470 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)
23 prelpwi 5437 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {π‘ˆ, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
2422, 23mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ {π‘ˆ, 𝑋} ∈ 𝒫 𝑉)
25 prid1g 4756 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑋})
2619, 25mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ π‘ˆ ∈ {π‘ˆ, 𝑋})
27 vdegp1bi.xu . . . . . . . 8 𝑋 β‰  π‘ˆ
2827necomi 2987 . . . . . . 7 π‘ˆ β‰  𝑋
29 hashprg 14351 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘ˆ β‰  𝑋 ↔ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) = 2))
3019, 21, 29mp2an 689 . . . . . . 7 (π‘ˆ β‰  𝑋 ↔ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) = 2)
3128, 30mpbi 229 . . . . . 6 (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) = 2
3231eqcomi 2733 . . . . 5 2 = (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋})
33 2re 12282 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
3433eqlei 11320 . . . . 5 (2 = (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}))
3532, 34mp1i 13 . . . 4 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ 2 ≀ (β™―β€˜{π‘ˆ, 𝑋}))
362, 3, 7, 9, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 35p1evtxdp1 29195 . . 3 ({π‘ˆ, 𝑋} ∈ V β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1))
371, 36ax-mp 5 . 2 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1)
38 fzofi 13935 . . . . 5 (0..^(β™―β€˜πΌ)) ∈ Fin
39 wrddm 14467 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Word {π‘₯ ∈ (𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}) ∣ (β™―β€˜π‘₯) ≀ 2} β†’ dom 𝐼 = (0..^(β™―β€˜πΌ)))
404, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 dom 𝐼 = (0..^(β™―β€˜πΌ))
4140eqcomi 2733 . . . . . 6 (0..^(β™―β€˜πΌ)) = dom 𝐼
422, 3, 41vtxdgfisnn0 29156 . . . . 5 (((0..^(β™―β€˜πΌ)) ∈ Fin ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0)
4338, 19, 42mp2an 689 . . . 4 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ β„•0
4443nn0rei 12479 . . 3 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ
45 1re 11210 . . 3 1 ∈ ℝ
46 rexadd 13207 . . 3 ((((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) + 1))
4744, 45, 46mp2an 689 . 2 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 1) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) + 1)
48 vdegp1ai.d . . 3 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) = 𝑃
4948oveq1i 7411 . 2 (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) + 1) = (𝑃 + 1)
5037, 47, 493eqtri 2756 1 ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (𝑃 + 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ‰ wnel 3038  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938  βˆ…c0 4314  π’« cpw 4594  {csn 4620  {cpr 4622  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  Fun wfun 6527  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8934  β„cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   ≀ cle 11245  2c2 12263  β„•0cn0 12468   +𝑒 cxad 13086  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  βŸ¨β€œcs1 14541  Vtxcvtx 28680  iEdgciedg 28681  VtxDegcvtxdg 29146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-xadd 13089  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-vtx 28682  df-iedg 28683  df-vtxdg 29147
This theorem is referenced by:  vdegp1ci  29219  konigsberglem1  29929  konigsberglem2  29930
  Copyright terms: Public domain W3C validator