Theorem letri3 11259

Description: Trichotomy law. (Contributed by NM, 14-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letri3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem letri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttri3 11257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐴 < 𝐵 ∧ ¬ 𝐵 < 𝐴)))
2	1	biancomd 463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
3		lenlt 11252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4		lenlt 11252	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
6	3, 5	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
7	2, 6	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  eqlelt  11261  eqlei  11284  eqlei2  11285  letri3i  11290  letri3d  11316  lesub0  11695  eqord1  11706  lbreu  12133  nnle1eq1  12216  nn0le0eq0  12470  zextle  12607  uz11  12818  uzin  12833  uzwo  12870  qsqueeze  13161  elfz1eq  13496  faclbnd4lem4  14261  swrdccat3blem  14704  repswswrd  14749  sqeqd  15132  max0add  15276  fsum00  15764  reef11  16087  dvdsabseq  16283  nn0seqcvgd  16540  infpnlem1  16881  gzrngunit  21350  psrbaglesupp  21831  nmoeq0  24624  oprpiece1res2  24850  pcoval2  24916  minveclem7  25335  pjthlem1  25337  iblposlem  25693  dvferm  25892  dveq0  25905  dv11cn  25906  fta1blem  26076  dgrco  26181  aalioulem3  26242  logf1o2  26559  cxpsqrtlem  26611  ang180lem3  26721  chpeq0  27119  chteq0  27120  lgsdir  27243  lgsabs1  27247  minvecolem7  30812  pjhthlem1  31320  pjnormssi  32097  hstles  32160  stge1i  32167  stle0i  32168  stlesi  32170  cdj3lem1  32363  derangen  35159  bfplem2  37817  bfp  37818  acongeq  42972  jm2.26lem3  42990  dvconstbi  44323  zgeltp1eq  47310  zgtp1leeq  48510