Theorem f1imaen 9026

Description: If a function is one-to-one, then the image of a subset of its domain under it is equinumerous to the subset. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1imaen.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1imaen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1imaen.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		f1imaeng 9024	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)
3	1, 2	mp3an3 1447	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   “ cima 5675  –1-1→wf1 6539   ≈ cen 8950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8716  df-en 8954

This theorem is referenced by:  ssenen  9165  fin4en1  10318  tskinf  10778  tskuni  10792  isercoll  15632  phimullem  16733  odngen  19516  erdsze2lem2  34737