Theorem f1imaen 8290

Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1imaen.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1imaen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1imaen.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		f1imaeng 8288	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)
3	1, 2	mp3an3 1578	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875   “ cima 5349  –1-1→wf1 6124   ≈ cen 8225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-er 8014  df-en 8229

This theorem is referenced by:  ssenen  8409  fin4en1  9453  tskinf  9913  tskuni  9927  isercoll  14782  phimullem  15862  odngen  18350  erdsze2lem2  31728