Theorem f1imaen 8939

Description: If a function is one-to-one, then the image of a subset of its domain under it is equinumerous to the subset. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
f1imaen.1	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
f1imaen	⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1imaen.1	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ V
2		f1imaeng 8936	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)
3	1, 2	mp3an3 1452	1 ⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 “ 𝐶) ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   “ cima 5617  –1-1→wf1 6478   ≈ cen 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870

This theorem is referenced by:  ssenen  9064  fin4en1  10200  tskinf  10660  tskuni  10674  isercoll  15575  phimullem  16690  odngen  19489  erdsze2lem2  35248