MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odngen 19486
Description: A cyclic subgroup of size (𝑂𝐴) has (ϕ‘(𝑂𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odngen ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . 4 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴))
21mptpreima 6236 . . 3 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}
32fveq2i 6893 . 2 (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}})
4 odhash.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2730 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 odhash.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
7 odhash.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
84, 5, 6, 7odf1o2 19482 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9 f1ocnv 6844 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)))
10 f1of1 6831 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
118, 9, 103syl 18 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
12 ssrab2 4076 . . 3 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13 fvex 6903 . . . . . 6 (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
1413rabex 5331 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ∈ V
1514f1imaen 9014 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})
16 hasheni 14312 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} → (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1715, 16syl 17 . . 3 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1811, 12, 17sylancl 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
19 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpl2 1190 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
21 elfzoelz 13636 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
234, 5, 7cycsubg2cl 19126 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25 fveqeq2 6899 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(.g𝐺)𝐴) → ((𝑂𝑥) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2625elrab3 3683 . . . . . . 7 ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2724, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
28 simpl3 1191 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
294, 6, 5odmulgeq 19466 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3019, 20, 22, 28, 29syl31anc 1371 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3127, 30bitrd 278 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3231rabbidva 3437 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1})
3332fveq2d 6894 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
34 dfphi2 16711 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
35343ad2ant3 1133 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
3633, 35eqtr4d 2773 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
373, 18, 363eqtr3a 2794 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  {crab 3430  wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5674  cima 5678  1-1wf1 6539  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542  (class class class)co 7411  cen 8938  0cc0 11112  1c1 11113  cn 12216  cz 12562  ..^cfzo 13631  chash 14294   gcd cgcd 16439  ϕcphi 16701  Basecbs 17148  mrClscmrc 17531  Grpcgrp 18855  .gcmg 18986  SubGrpcsubg 19036  odcod 19433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-phi 16703  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-od 19437
This theorem is referenced by:  proot1hash  42244
  Copyright terms: Public domain W3C validator