Theorem odngen 19552

Description: A cyclic subgroup of size (𝑂‘𝐴) has (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odngen	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	mptpreima 6202	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}
3	2	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}})
4		odhash.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		odhash.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		odhash.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	4, 5, 6, 7	odf1o2 19548	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9		f1ocnv 6792	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)))
10		f1of1 6779	. . . 4 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
12		ssrab2 4020	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
14	13	rabex 5280	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ∈ V
15	14	f1imaen 8964	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})
16		hasheni 14310	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
18	11, 12, 17	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
19		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simpl2 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21		elfzoelz 13613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	4, 5, 7	cycsubg2cl 19186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25		fveqeq2 6849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
26	25	elrab3 3635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
28		simpl3 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
29	4, 6, 5	odmulgeq 19532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
30	19, 20, 22, 28, 29	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
31	27, 30	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
32	31	rabbidva 3395	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1})
33	32	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
34		dfphi2 16744	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
35	34	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
36	33, 35	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))
37	3, 18, 36	3eqtr3a 2795	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ≈ cen 8890  0cc0 11038  1c1 11039  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292   gcd cgcd 16463  ϕcphi 16734  Basecbs 17179  mrClscmrc 17545  Grpcgrp 18909  ._gcmg 19043  SubGrpcsubg 19096  odcod 19499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-phi 16736  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-od 19503

This theorem is referenced by:  proot1hash  43623