Theorem odngen 19504

Description: A cyclic subgroup of size (𝑂‘𝐴) has (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odngen	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	mptpreima 6194	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}
3	2	fveq2i 6835	. 2 ⊢ (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}})
4		odhash.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		odhash.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		odhash.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	4, 5, 6, 7	odf1o2 19500	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9		f1ocnv 6784	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)))
10		f1of1 6771	. . . 4 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
11	8, 9, 10	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
12		ssrab2 4030	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13		fvex 6845	. . . . . 6 ⊢ (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
14	13	rabex 5282	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ∈ V
15	14	f1imaen 8952	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})
16		hasheni 14269	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
18	11, 12, 17	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
19		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21		elfzoelz 13573	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	4, 5, 7	cycsubg2cl 19138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25		fveqeq2 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
26	25	elrab3 3645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
28		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
29	4, 6, 5	odmulgeq 19484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
30	19, 20, 22, 28, 29	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
31	27, 30	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
32	31	rabbidva 3403	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1})
33	32	fveq2d 6836	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
34		dfphi2 16699	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
35	34	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
36	33, 35	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))
37	3, 18, 36	3eqtr3a 2793	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397   ⊆ wss 3899  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  –1-1→wf1 6487  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ≈ cen 8878  0cc0 11024  1c1 11025  ℕcn 12143  ℤcz 12486  ..^cfzo 13568  ♯chash 14251   gcd cgcd 16419  ϕcphi 16689  Basecbs 17134  mrClscmrc 17500  Grpcgrp 18861  ._gcmg 18995  SubGrpcsubg 19048  odcod 19451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-phi 16691  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-od 19455

This theorem is referenced by:  proot1hash  43379