MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odngen 18304
Description: A cyclic subgroup of size (𝑂𝐴) has (ϕ‘(𝑂𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odngen ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2800 . . . 4 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴))
21mptpreima 5848 . . 3 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}
32fveq2i 6415 . 2 (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}})
4 odhash.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2800 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 odhash.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
7 odhash.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
84, 5, 6, 7odf1o2 18300 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9 f1ocnv 6369 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)))
10 f1of1 6356 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
118, 9, 103syl 18 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
12 ssrab2 3884 . . 3 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13 fvex 6425 . . . . . 6 (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
1413rabex 5008 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ∈ V
1514f1imaen 8258 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})
16 hasheni 13387 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} → (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1715, 16syl 17 . . 3 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1811, 12, 17sylancl 581 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
19 simpl1 1243 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpl2 1245 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
21 elfzoelz 12724 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
234, 5, 7cycsubg2cl 17944 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1491 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25 fveqeq2 6421 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(.g𝐺)𝐴) → ((𝑂𝑥) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2625elrab3 3559 . . . . . . 7 ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2724, 26syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
28 simpl3 1247 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
294, 6, 5odmulgeq 18286 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3019, 20, 22, 28, 29syl31anc 1493 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3127, 30bitrd 271 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3231rabbidva 3373 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1})
3332fveq2d 6416 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
34 dfphi2 15811 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
35343ad2ant3 1166 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
3633, 35eqtr4d 2837 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
373, 18, 363eqtr3a 2858 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3094  wss 3770  {csn 4369   class class class wbr 4844  cmpt 4923  ccnv 5312  cima 5316  1-1wf1 6099  1-1-ontowf1o 6101  cfv 6102  (class class class)co 6879  cen 8193  0cc0 10225  1c1 10226  cn 11313  cz 11665  ..^cfzo 12719  chash 13369   gcd cgcd 15550  ϕcphi 15801  Basecbs 16183  mrClscmrc 16557  Grpcgrp 17737  .gcmg 17855  SubGrpcsubg 17900  odcod 18256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-sup 8591  df-inf 8592  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-n0 11580  df-xnn0 11652  df-z 11666  df-uz 11930  df-rp 12074  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-mod 12923  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-dvds 15319  df-gcd 15551  df-phi 15803  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-0g 16416  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-grp 17740  df-minusg 17741  df-sbg 17742  df-mulg 17856  df-subg 17903  df-od 18260
This theorem is referenced by:  proot1hash  38558
  Copyright terms: Public domain W3C validator