Theorem odngen 19646

Description: A cyclic subgroup of size (𝑂‘𝐴) has (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odngen	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	mptpreima 6240	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}
3	2	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}})
4		odhash.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		odhash.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		odhash.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	4, 5, 6, 7	odf1o2 19642	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9		f1ocnv 6834	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)))
10		f1of1 6820	. . . 4 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
11	8, 9, 10	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
12		ssrab2 4042	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
14	13	rabex 5310	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ∈ V
15	14	f1imaen 9013	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})
16		hasheni 14383	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
18	11, 12, 17	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
19		simpl1 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simpl2 1209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21		elfzoelz 13686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
22	21	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	4, 5, 7	cycsubg2cl 19281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25		fveqeq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
26	25	elrab3 3660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
27	24, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
28		simpl3 1210	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
29	4, 6, 5	odmulgeq 19626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
30	19, 20, 22, 28, 29	syl31anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
31	27, 30	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
32	31	rabbidva 3429	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1})
33	32	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
34		dfphi2 16832	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
35	34	3ad2ant3 1151	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
36	33, 35	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))
37	3, 18, 36	3eqtr3a 2828	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423   ⊆ wss 3913  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661   “ cima 5665  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ≈ cen 8939  0cc0 11099  1c1 11100  ℕcn 12232  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365   gcd cgcd 16551  ϕcphi 16822  Basecbs 17268  mrClscmrc 17634  Grpcgrp 18999  ._gcmg 19132  SubGrpcsubg 19185  odcod 19593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-phi 16824  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-0g 17493  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-od 19597

This theorem is referenced by:  proot1hash  43813