Theorem odngen 19784

Description: A cyclic subgroup of size (𝑂‘𝐴) has (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odngen	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	mptpreima 6238	. . 3 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}
3	2	fveq2i 6886	. 2 ⊢ (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}})
4		odhash.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
6		odhash.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		odhash.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	4, 5, 6, 7	odf1o2 19780	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9		f1ocnv 6835	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)))
10		f1of1 6821	. . . 4 ⊢ (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂‘𝐴)) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
11	8, 9, 10	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)))
12		ssrab2 4028	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13		fvex 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
14	13	rabex 5300	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ∈ V
15	14	f1imaen 9037	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})
16		hasheni 14485	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
17	15, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂‘𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
18	11, 12, 17	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(◡(𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)})) = (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}))
19		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20		simpl2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
21		elfzoelz 13786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
23	4, 5, 7	cycsubg2cl 19419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25		fveqeq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) → ((𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
26	25	elrab3 3646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
27	24, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴)))
28		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
29	4, 6, 5	odmulgeq 19764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
30	19, 20, 22, 28, 29	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
31	27, 30	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴))) → ((𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
32	31	rabbidva 3419	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1})
33	32	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
34		dfphi2 16944	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
35	34	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1}))
36	33, 35	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∣ (𝑦(.g‘𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))
37	3, 18, 36	3eqtr3a 2820	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂‘𝑥) = (𝑂‘𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  –1-1→wf1 6534  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ≈ cen 8963  0cc0 11193  1c1 11194  ℕcn 12328  ℤcz 12686  ..^cfzo 13781  ♯chash 14467   gcd cgcd 16657  ϕcphi 16934  Basecbs 17380  mrClscmrc 17746  Grpcgrp 19137  ._gcmg 19270  SubGrpcsubg 19323  odcod 19731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-phi 16936  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-od 19735

This theorem is used by:  proot1hash  44181