Theorem tskinf 10680

Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskinf	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Proof of Theorem tskinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r111 9687	. . . 4 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
2		omsson 7812	. . . 4 ⊢ ω ⊆ On
3		omex 9552	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4	3	f1imaen 8954	. . . 4 ⊢ ((𝑅1:On–1-1→V ∧ ω ⊆ On) → (𝑅1 “ ω) ≈ ω)
5	1, 2, 4	mp2an 692	. . 3 ⊢ (𝑅1 “ ω) ≈ ω
6	5	ensymi 8941	. 2 ⊢ ω ≈ (𝑅1 “ ω)
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
8		tskr1om 10678	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
9		ssdomg 8937	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇 → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇))
10	7, 8, 9	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇)
11		endomtr 8949	. 2 ⊢ ((ω ≈ (𝑅1 “ ω) ∧ (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
12	6, 10, 11	sylancr 587	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285   class class class wbr 5098   “ cima 5627  Oncon0 6317  –1-1→wf1 6489  ωcom 7808   ≈ cen 8880   ≼ cdom 8881  𝑅₁cr1 9674  Tarskictsk 10659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-r1 9676  df-tsk 10660

This theorem is referenced by:  tskpr  10681