Theorem tskinf 10884

Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskinf	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Proof of Theorem tskinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r111 9812	. . . 4 ⊢ 𝑅1:On⟶1-1V
2		omsson 7908	. . . 4 ⊢ ω ⊆ On
3		omex 9674	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4	3	f1imaen 9075	. . . 4 ⊢ ((𝑅1:On⟶1-1V ∧ ω ⊆ On) → (𝑅1 “ ω) ≈ ω)
5	1, 2, 4	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝑅1 “ ω) ≈ ω
6	5	ensymi 9062	. 2 ⊢ ω ≈ (𝑅1 “ ω)
7		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
8		tskr1om 10882	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
9		ssdomg 9058	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇 → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇))
10	7, 8, 9	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇)
11		endomtr 9070	. 2 ⊢ ((ω ≈ (𝑅1 “ ω) ∧ (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
12	6, 10, 11	sylancr 599	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   “ cima 5659  Oncon0 6383  ⟶1-1wf1 6558  ωcom 7904   ≈ cen 9001   ≼ cdom 9002  𝑅₁cr1 9796  Tarskictsk 10863

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-r1 9798  df-tsk 10864

This theorem is used by:  tskpr  10885