MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskinf 9988
Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 8997 . . . 4 𝑅1:On–1-1→V
2 omsson 7399 . . . 4 ω ⊆ On
3 omex 8899 . . . . 5 ω ∈ V
43f1imaen 8367 . . . 4 ((𝑅1:On–1-1→V ∧ ω ⊆ On) → (𝑅1 “ ω) ≈ ω)
51, 2, 4mp2an 680 . . 3 (𝑅1 “ ω) ≈ ω
65ensymi 8355 . 2 ω ≈ (𝑅1 “ ω)
7 simpl 475 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
8 tskr1om 9986 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
9 ssdomg 8351 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇 → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇))
107, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇)
11 endomtr 8363 . 2 ((ω ≈ (𝑅1 “ ω) ∧ (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
126, 10, 11sylancr 579 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wcel 2051  wne 2962  Vcvv 3410  wss 3824  c0 4173   class class class wbr 4926  cima 5407  Oncon0 6027  1-1wf1 6183  ωcom 7395  cen 8302  cdom 8303  𝑅1cr1 8984  Tarskictsk 9967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-r1 8986  df-tsk 9968
This theorem is referenced by:  tskpr  9989
  Copyright terms: Public domain W3C validator