MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskinf 10180
Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 9188 . . . 4 𝑅1:On–1-1→V
2 omsson 7564 . . . 4 ω ⊆ On
3 omex 9090 . . . . 5 ω ∈ V
43f1imaen 8554 . . . 4 ((𝑅1:On–1-1→V ∧ ω ⊆ On) → (𝑅1 “ ω) ≈ ω)
51, 2, 4mp2an 691 . . 3 (𝑅1 “ ω) ≈ ω
65ensymi 8542 . 2 ω ≈ (𝑅1 “ ω)
7 simpl 486 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
8 tskr1om 10178 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
9 ssdomg 8538 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇 → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇))
107, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇)
11 endomtr 8550 . 2 ((ω ≈ (𝑅1 “ ω) ∧ (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
126, 10, 11sylancr 590 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111  wne 2987  Vcvv 3441  wss 3881  c0 4243   class class class wbr 5030  cima 5522  Oncon0 6159  1-1wf1 6321  ωcom 7560  cen 8489  cdom 8490  𝑅1cr1 9175  Tarskictsk 10159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-r1 9177  df-tsk 10160
This theorem is referenced by:  tskpr  10181
  Copyright terms: Public domain W3C validator