Theorem tskinf 10742

Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskinf	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Proof of Theorem tskinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r111 9735	. . . 4 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
2		omsson 7854	. . . 4 ⊢ ω ⊆ On
3		omex 9600	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4	3	f1imaen 9002	. . . 4 ⊢ ((𝑅1:On–1-1→V ∧ ω ⊆ On) → (𝑅1 “ ω) ≈ ω)
5	1, 2, 4	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝑅1 “ ω) ≈ ω
6	5	ensymi 8989	. 2 ⊢ ω ≈ (𝑅1 “ ω)
7		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
8		tskr1om 10740	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
9		ssdomg 8985	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇 → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇))
10	7, 8, 9	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇)
11		endomtr 8997	. 2 ⊢ ((ω ≈ (𝑅1 “ ω) ∧ (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
12	6, 10, 11	sylancr 598	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   class class class wbr 5105   “ cima 5655  Oncon0 6350  –1-1→wf1 6522  ωcom 7850   ≈ cen 8928   ≼ cdom 8929  𝑅₁cr1 9722  Tarskictsk 10721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-r1 9724  df-tsk 10722

This theorem is referenced by:  tskpr  10743