Theorem tskinf 10763

Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
tskinf	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Proof of Theorem tskinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r111 9769	. . . 4 ⊢ 𝑅1:On–1-1→V
2		omsson 7855	. . . 4 ⊢ ω ⊆ On
3		omex 9637	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
4	3	f1imaen 9011	. . . 4 ⊢ ((𝑅1:On–1-1→V ∧ ω ⊆ On) → (𝑅1 “ ω) ≈ ω)
5	1, 2, 4	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝑅1 “ ω) ≈ ω
6	5	ensymi 8999	. 2 ⊢ ω ≈ (𝑅1 “ ω)
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
8		tskr1om 10761	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
9		ssdomg 8995	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇 → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇))
10	7, 8, 9	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇)
11		endomtr 9007	. 2 ⊢ ((ω ≈ (𝑅1 “ ω) ∧ (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
12	6, 10, 11	sylancr 586	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317   class class class wbr 5141   “ cima 5672  Oncon0 6357  –1-1→wf1 6533  ωcom 7851   ≈ cen 8935   ≼ cdom 8936  𝑅₁cr1 9756  Tarskictsk 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-r1 9758  df-tsk 10743

This theorem is referenced by:  tskpr  10764