MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskinf 10793
Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝑇)

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 9799 . . . 4 𝑅1:On–1-1β†’V
2 omsson 7874 . . . 4 Ο‰ βŠ† On
3 omex 9667 . . . . 5 Ο‰ ∈ V
43f1imaen 9037 . . . 4 ((𝑅1:On–1-1β†’V ∧ Ο‰ βŠ† On) β†’ (𝑅1 β€œ Ο‰) β‰ˆ Ο‰)
51, 2, 4mp2an 691 . . 3 (𝑅1 β€œ Ο‰) β‰ˆ Ο‰
65ensymi 9025 . 2 Ο‰ β‰ˆ (𝑅1 β€œ Ο‰)
7 simpl 482 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ 𝑇 ∈ Tarski)
8 tskr1om 10791 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅1 β€œ Ο‰) βŠ† 𝑇)
9 ssdomg 9021 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski β†’ ((𝑅1 β€œ Ο‰) βŠ† 𝑇 β†’ (𝑅1 β€œ Ο‰) β‰Ό 𝑇))
107, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ (𝑅1 β€œ Ο‰) β‰Ό 𝑇)
11 endomtr 9033 . 2 ((Ο‰ β‰ˆ (𝑅1 β€œ Ο‰) ∧ (𝑅1 β€œ Ο‰) β‰Ό 𝑇) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝑇)
126, 10, 11sylancr 586 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 β‰  βˆ…) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148   β€œ cima 5681  Oncon0 6369  β€“1-1β†’wf1 6545  Ο‰com 7870   β‰ˆ cen 8961   β‰Ό cdom 8962  π‘…1cr1 9786  Tarskictsk 10772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-r1 9788  df-tsk 10773
This theorem is referenced by:  tskpr  10794
  Copyright terms: Public domain W3C validator