Theorem fge0icoicc 46938

Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then 𝐹 maps to nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fge0icoicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fge0icoicc	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem fge0icoicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0icoicc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2		icossicc 13451	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
4	1, 3	fssd 6713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3907  ⟶wf 6521  (class class class)co 7400  0cc0 11088  +∞cpnf 11228  [,)cico 13362  [,]cicc 13363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-ico 13366  df-icc 13367

This theorem is referenced by:  sge0reval  46945  sge0fsum  46960