Theorem fge0icoicc 46288

Description: If 𝐹 maps to nonnegative reals, then 𝐹 maps to nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fge0icoicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fge0icoicc	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Proof of Theorem fge0icoicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fge0icoicc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2		icossicc 13498	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
4	1, 3	fssd 6766	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3976  ⟶wf 6571  (class class class)co 7450  0cc0 11186  +∞cpnf 11323  [,)cico 13411  [,]cicc 13412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-ico 13415  df-icc 13416

This theorem is referenced by:  sge0reval  46295  sge0fsum  46310