Theorem sge0val 43904

Description: The value of the sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge0val	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)), ℝ*, < )))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑦   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑦,𝑤)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem sge0val

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sumge0 43901	. . 3 ⊢ Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)), ℝ*, < )))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)), ℝ*, < ))))
3		rneq 5845	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → ran 𝑥 = ran 𝐹)
4	3	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
6		dmeq 5812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → dom 𝑥 = dom 𝐹)
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = dom 𝐹)
8		fdm 6609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝐹 = 𝑋)
10	7, 9	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = 𝑋)
11	10	pweqd 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → 𝒫 dom 𝑥 = 𝒫 𝑋)
12	11	ineq1d 4145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
13	12	mpteq1d 5169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)))
14	13	adantll 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)))
15		fveq1 6773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑥‘𝑤) = (𝐹‘𝑤))
16	15	sumeq2sdv 15416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤) = Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤))
17	16	mpteq2dv 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)))
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)))
19	14, 18	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)))
20	19	rneqd 5847	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)))
21	20	supeq1d 9205	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)), ℝ*, < ))
22	5, 21	ifbieq2d 4485	. 2 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝑥‘𝑤)), ℝ*, < )) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)), ℝ*, < )))
23		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
24		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
25	23, 24	fexd 7103	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹 ∈ V)
26		pnfxr 11029	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
28		xrltso 12875	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ*
29	28	supex 9222	. . . 4 ⊢ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V)
31	27, 30	ifexd 4507	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)), ℝ*, < )) ∈ V)
32	2, 22, 25, 31	fvmptd 6882	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑤)), ℝ*, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886  ifcif 4459  𝒫 cpw 4533   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ran crn 5590  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  supcsup 9199  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  [,]cicc 13082  Σcsu 15397  Σ^{^}csumge0 43900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sum 15398  df-sumge0 43901

This theorem is referenced by:  sge0vald  43907