Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0val 45082
Description: The value of the sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge0val ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑦,𝑤)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem sge0val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sumge0 45079 . . 3 Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < )))
21a1i 11 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < ))))
3 rneq 5936 . . . . 5 (𝑥 = 𝐹 → ran 𝑥 = ran 𝐹)
43eleq2d 2820 . . . 4 (𝑥 = 𝐹 → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
54adantl 483 . . 3 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
6 dmeq 5904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐹 → dom 𝑥 = dom 𝐹)
76adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = dom 𝐹)
8 fdm 6727 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝐹 = 𝑋)
107, 9eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = 𝑋)
1110pweqd 4620 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → 𝒫 dom 𝑥 = 𝒫 𝑋)
1211ineq1d 4212 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
1312mpteq1d 5244 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)))
1413adantll 713 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)))
15 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑤) = (𝐹𝑤))
1615sumeq2sdv 15650 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐹 → Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤) = Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤))
1716mpteq2dv 5251 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
1817adantl 483 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
1914, 18eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
2019rneqd 5938 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
2120supeq1d 9441 . . 3 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ))
225, 21ifbieq2d 4555 . 2 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < )) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
23 simpr 486 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
24 simpl 484 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝑋𝑉)
2523, 24fexd 7229 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹 ∈ V)
26 pnfxr 11268 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
28 xrltso 13120 . . . . 5 < Or ℝ*
2928supex 9458 . . . 4 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V
3029a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V)
3127, 30ifexd 4577 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )) ∈ V)
322, 22, 25, 31fvmptd 7006 1 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cin 3948  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603  cmpt 5232  dom cdm 5677  ran crn 5678  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  *cxr 11247   < clt 11248  [,]cicc 13327  Σcsu 15632  Σ^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633  df-sumge0 45079
This theorem is referenced by:  sge0vald  45085
  Copyright terms: Public domain W3C validator