Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0val 42792
Description: The value of the sum of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
sge0val ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑦   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑦,𝑤)   𝑋(𝑤)

Proof of Theorem sge0val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sumge0 42789 . . 3 Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < )))
21a1i 11 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → Σ^ = (𝑥 ∈ V ↦ if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < ))))
3 rneq 5778 . . . . 5 (𝑥 = 𝐹 → ran 𝑥 = ran 𝐹)
43eleq2d 2896 . . . 4 (𝑥 = 𝐹 → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
54adantl 484 . . 3 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (+∞ ∈ ran 𝑥 ↔ +∞ ∈ ran 𝐹))
6 dmeq 5744 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐹 → dom 𝑥 = dom 𝐹)
76adantl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = dom 𝐹)
8 fdm 6494 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
98adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝐹 = 𝑋)
107, 9eqtrd 2855 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → dom 𝑥 = 𝑋)
1110pweqd 4530 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → 𝒫 dom 𝑥 = 𝒫 𝑋)
1211ineq1d 4162 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) = (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
1312mpteq1d 5127 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)))
1413adantll 712 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)))
15 fveq1 6641 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑤) = (𝐹𝑤))
1615sumeq2sdv 15037 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐹 → Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤) = Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤))
1716mpteq2dv 5134 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐹 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
1817adantl 484 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
1914, 18eqtrd 2855 . . . . 5 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
2019rneqd 5780 . . . 4 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)))
2120supeq1d 8884 . . 3 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ))
225, 21ifbieq2d 4464 . 2 (((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) ∧ 𝑥 = 𝐹) → if(+∞ ∈ ran 𝑥, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 dom 𝑥 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝑥𝑤)), ℝ*, < )) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
23 simpr 487 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
24 simpl 485 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝑋𝑉)
25 fex 6961 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐹 ∈ V)
2623, 24, 25syl2anc 586 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → 𝐹 ∈ V)
27 pnfxr 10669 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
29 xrltso 12509 . . . . 5 < Or ℝ*
3029supex 8901 . . . 4 sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V
3130a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V)
32 ifexg 4486 . . 3 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < ) ∈ V) → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )) ∈ V)
3328, 31, 32syl2anc 586 . 2 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )) ∈ V)
342, 22, 26, 33fvmptd 6747 1 ((𝑋𝑉𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞)) → (Σ^𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑤𝑦 (𝐹𝑤)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3470  cin 3908  ifcif 4439  𝒫 cpw 4511  cmpt 5118  dom cdm 5527  ran crn 5528  wf 6323  cfv 6327  (class class class)co 7129  Fincfn 8483  supcsup 8878  0cc0 10511  +∞cpnf 10646  *cxr 10648   < clt 10649  [,]cicc 12716  Σcsu 15018  Σ^csumge0 42788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-sup 8880  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-seq 13350  df-sum 15019  df-sumge0 42789
This theorem is referenced by:  sge0vald  42795
  Copyright terms: Public domain W3C validator