Theorem sge0reval 46827

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0reval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0reval	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0reval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0reval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 46820	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0vald 46824	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
5	2	fge0npnf 46822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
6	5	iffalsed 4467	. 2 ⊢ (𝜑 → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
7	4, 6	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∩ cin 3883  ifcif 4456  𝒫 cpw 4531   ↦ cmpt 5155  ran crn 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Fincfn 8887  supcsup 9347  0cc0 11034  +∞cpnf 11172  ℝ^*cxr 11174   < clt 11175  [,)cico 13295  Σcsu 15643  Σ^{^}csumge0 46817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-addrcl 11095  ax-rnegex 11105  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-po 5528  df-so 5529  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-ico 13299  df-icc 13300  df-seq 13959  df-sum 15644  df-sumge0 46818

This theorem is referenced by:  sge0z  46830  sge00  46831  fsumlesge0  46832  sge0revalmpt  46833  sge0sn  46834  sge0tsms  46835  sge0cl  46836  sge0fsum  46842  sge0supre  46844  sge0sup  46846  sge0less  46847  sge0resplit  46861  sge0split  46864