Theorem sge0reval 43800

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0reval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0reval	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0reval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0reval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 43793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0vald 43797	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
5	2	fge0npnf 43795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
6	5	iffalsed 4467	. 2 ⊢ (𝜑 → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
7	4, 6	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  ifcif 4456  𝒫 cpw 4530   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  supcsup 9129  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940  [,)cico 13010  Σcsu 15325  Σ^{^}csumge0 43790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-sum 15326  df-sumge0 43791

This theorem is referenced by:  sge0z  43803  sge00  43804  fsumlesge0  43805  sge0revalmpt  43806  sge0sn  43807  sge0tsms  43808  sge0cl  43809  sge0fsum  43815  sge0supre  43817  sge0sup  43819  sge0less  43820  sge0resplit  43834  sge0split  43837