Theorem sge0reval 46343

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0reval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0reval	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0reval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0reval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 46336	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0vald 46340	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
5	2	fge0npnf 46338	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
6	5	iffalsed 4495	. 2 ⊢ (𝜑 → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
7	4, 6	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  supcsup 9367  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184  [,)cico 13284  Σcsu 15628  Σ^{^}csumge0 46333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-ico 13288  df-icc 13289  df-seq 13943  df-sum 15629  df-sumge0 46334

This theorem is referenced by:  sge0z  46346  sge00  46347  fsumlesge0  46348  sge0revalmpt  46349  sge0sn  46350  sge0tsms  46351  sge0cl  46352  sge0fsum  46358  sge0supre  46360  sge0sup  46362  sge0less  46363  sge0resplit  46377  sge0split  46380