Theorem sge0reval 46727

Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0reval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0reval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0reval	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0reval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0reval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		sge0reval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 46720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0vald 46724	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )))
5	2	fge0npnf 46722	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
6	5	iffalsed 4492	. 2 ⊢ (𝜑 → if(+∞ ∈ ran 𝐹, +∞, sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < )) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
7	4, 6	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5181  ran crn 5633  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  supcsup 9355  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178  [,)cico 13275  Σcsu 15621  Σ^{^}csumge0 46717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ico 13279  df-icc 13280  df-seq 13937  df-sum 15622  df-sumge0 46718

This theorem is referenced by:  sge0z  46730  sge00  46731  fsumlesge0  46732  sge0revalmpt  46733  sge0sn  46734  sge0tsms  46735  sge0cl  46736  sge0fsum  46742  sge0supre  46744  sge0sup  46746  sge0less  46747  sge0resplit  46761  sge0split  46764