Theorem sge0fsum 42676

Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0fsum	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fsum.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		sge0fsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 42654	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0xrcl 42674	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		rge0ssre 12847	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6	2	ffvelrnda 6854	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7	5, 6	sseldi 3968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8	1, 7	fsumrecl 15094	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10694	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10	1, 2	sge0reval 42661	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ))
11		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
12		vex 3500	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14		eqid 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
15	14	elrnmpt 5831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
17	11, 16	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
18		simp3 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
19	1	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
20	2	fge0npnf 42656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
21	3, 20	fge0iccre 42663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
22	21	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
25	23, 24	ffvelrnd 6855	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		0xr 10691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28		pnfxr 10698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
30	3	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31	30	ffvelrnda 6854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32		iccgelb 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
34		elinel1 4175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4551	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
37	36	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
38	19, 25, 33, 37	fsumless 15154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
39	38	3adant3 1128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
40	18, 39	eqbrtrd 5091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
41	40	3exp 1115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))))
42	41	rexlimdv 3286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
43	42	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
44	17, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
45	44	ralrimiva 3185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
46		elinel2 4176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	22	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
49	37	sselda 3970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
50	48, 49	ffvelrnd 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
51	47, 50	fsumrecl 15094	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 10694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
53	52	ralrimiva 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
54	14	rnmptss 6889	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
56		supxrleub 12722	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
57	55, 9, 56	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
58	45, 57	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
59	10, 58	eqbrtrd 5091	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
60		ssid 3992	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
61	60	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
62	1, 2, 61, 1	fsumlesge0 42666	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))
63	4, 9, 59, 62	xrletrid 12551	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  Vcvv 3497   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149  ran crn 5559  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Fincfn 8512  supcsup 8907  ℝcr 10539  0cc0 10540  +∞cpnf 10675  ℝ^*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679  [,)cico 12743  [,]cicc 12744  Σcsu 15045  Σ^{^}csumge0 42651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-sumge0 42652

This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  42679  sge0sup  42680  sge0ltfirp  42689  sge0le  42696  sge0iunmptlemfi  42702  sge0ltfirpmpt2  42715  sge0fsummptf  42725  omeiunltfirp  42808