Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsum 45182
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsum (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem sge0fsum
Dummy variables 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsum.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 sge0fsum.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,)+∞))
32fge0icoicc 45160 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
41, 3sge0xrcl 45180 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
5 rge0ssre 13435 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
62ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
75, 6sselid 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
81, 7fsumrecl 15682 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
98rexrd 11266 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
101, 2sge0reval 45167 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ))
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)))
12 vex 3478 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑀 ∈ V)
14 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))
1514elrnmpt 5955 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)))
1711, 16mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))
18 simp3 1138 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))
191adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
202fge0npnf 45162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Β¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
213, 20fge0iccre 45169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
24 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2523, 24ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
26 0xr 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ*)
28 pnfxr 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
303adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3130ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
32 iccgelb 13382 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
34 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
3819, 25, 33, 37fsumless 15744 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
39383adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
4018, 39eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
41403exp 1119 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ (𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))))
4241rexlimdv 3153 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
4342adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
4417, 43mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
4544ralrimiva 3146 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
46 elinel2 4196 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4822adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
4937sselda 3982 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5048, 49ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5147, 50fsumrecl 15682 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5251rexrd 11266 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
5352ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
5414rnmptss 7124 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† ℝ*)
5553, 54syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† ℝ*)
56 supxrleub 13307 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† ℝ* ∧ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
5755, 9, 56syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
5845, 57mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
5910, 58eqbrtrd 5170 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
60 ssid 4004 . . . 4 𝑋 βŠ† 𝑋
6160a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑋)
621, 2, 61, 1fsumlesge0 45172 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
634, 9, 59, 62xrletrid 13136 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  [,)cico 13328  [,]cicc 13329  Ξ£csu 15634  Ξ£^csumge0 45157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-sumge0 45158
This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  45185  sge0sup  45186  sge0ltfirp  45195  sge0le  45202  sge0iunmptlemfi  45208  sge0ltfirpmpt2  45221  sge0fsummptf  45231  omeiunltfirp  45314
  Copyright terms: Public domain W3C validator