Theorem sge0fsum 46308

Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0fsum	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fsum.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		sge0fsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 46286	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0xrcl 46306	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		rge0ssre 13516	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6	2	ffvelcdmda 7118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7	5, 6	sselid 4006	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8	1, 7	fsumrecl 15782	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11340	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10	1, 2	sge0reval 46293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ))
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
12		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
15	14	elrnmpt 5981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
17	11, 16	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
18		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
19	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
20	2	fge0npnf 46288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
21	3, 20	fge0iccre 46295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
25	23, 24	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		0xr 11337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28		pnfxr 11344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
30	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31	30	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32		iccgelb 13463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
34		elinel1 4224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
38	19, 25, 33, 37	fsumless 15844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
39	38	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
40	18, 39	eqbrtrd 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
41	40	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))))
42	41	rexlimdv 3159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
44	17, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
45	44	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
46		elinel2 4225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
49	37	sselda 4008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
50	48, 49	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
51	47, 50	fsumrecl 15782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
53	52	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
54	14	rnmptss 7157	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
56		supxrleub 13388	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
57	55, 9, 56	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
58	45, 57	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
59	10, 58	eqbrtrd 5188	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
60		ssid 4031	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
61	60	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
62	1, 2, 61, 1	fsumlesge0 46298	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))
63	4, 9, 59, 62	xrletrid 13217	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  supcsup 9509  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  [,)cico 13409  [,]cicc 13410  Σcsu 15734  Σ^{^}csumge0 46283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735  df-sumge0 46284

This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  46311  sge0sup  46312  sge0ltfirp  46321  sge0le  46328  sge0iunmptlemfi  46334  sge0ltfirpmpt2  46347  sge0fsummptf  46357  omeiunltfirp  46440