Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsum 45103
Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsum.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsum (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem sge0fsum
Dummy variables 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsum.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
2 sge0fsum.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,)+∞))
32fge0icoicc 45081 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
41, 3sge0xrcl 45101 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ∈ ℝ*)
5 rge0ssre 13433 . . . . 5 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
62ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
75, 6sselid 3981 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
81, 7fsumrecl 15680 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
98rexrd 11264 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
101, 2sge0reval 45088 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ))
11 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)))
12 vex 3479 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑀 ∈ V)
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))
1514elrnmpt 5956 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)))
1711, 16mpbid 231 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))
18 simp3 1139 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))
191adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
202fge0npnf 45083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Β¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
213, 20fge0iccre 45090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2523, 24ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
26 0xr 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ*)
28 pnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
303adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
3130ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
32 iccgelb 13380 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
34 elinel1 4196 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
3819, 25, 33, 37fsumless 15742 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
39383adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
4018, 39eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
41403exp 1120 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ (𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))))
4241rexlimdv 3154 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
4342adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑀 = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
4417, 43mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
4544ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
46 elinel2 4197 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
4822adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
4937sselda 3983 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
5048, 49ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5147, 50fsumrecl 15680 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5251rexrd 11264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
5352ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
5414rnmptss 7122 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† ℝ*)
5553, 54syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† ℝ*)
56 supxrleub 13305 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)) βŠ† ℝ* ∧ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*) β†’ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
5755, 9, 56syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘€ ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯))𝑀 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯)))
5845, 57mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘₯)), ℝ*, < ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
5910, 58eqbrtrd 5171 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) ≀ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
60 ssid 4005 . . . 4 𝑋 βŠ† 𝑋
6160a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑋)
621, 2, 61, 1fsumlesge0 45093 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (Ξ£^β€˜πΉ))
634, 9, 59, 62xrletrid 13134 1 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ 𝑋 (πΉβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  supcsup 9435  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  Ξ£csu 15632  Ξ£^csumge0 45078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079
This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  45106  sge0sup  45107  sge0ltfirp  45116  sge0le  45123  sge0iunmptlemfi  45129  sge0ltfirpmpt2  45142  sge0fsummptf  45152  omeiunltfirp  45235
  Copyright terms: Public domain W3C validator