Theorem sge0fsum 46392

Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0fsum	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fsum.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		sge0fsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 46370	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0xrcl 46390	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		rge0ssre 13424	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6	2	ffvelcdmda 7059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7	5, 6	sselid 3947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8	1, 7	fsumrecl 15707	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11231	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10	1, 2	sge0reval 46377	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ))
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
12		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
15	14	elrnmpt 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
17	11, 16	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
18		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
19	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
20	2	fge0npnf 46372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
21	3, 20	fge0iccre 46379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
25	23, 24	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		0xr 11228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28		pnfxr 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
30	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31	30	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32		iccgelb 13370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
34		elinel1 4167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
38	19, 25, 33, 37	fsumless 15769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
39	38	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
40	18, 39	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
41	40	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))))
42	41	rexlimdv 3133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
44	17, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
45	44	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
46		elinel2 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
49	37	sselda 3949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
50	48, 49	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
51	47, 50	fsumrecl 15707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
53	52	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
54	14	rnmptss 7098	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
56		supxrleub 13293	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
57	55, 9, 56	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
58	45, 57	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
59	10, 58	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
60		ssid 3972	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
61	60	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
62	1, 2, 61, 1	fsumlesge0 46382	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))
63	4, 9, 59, 62	xrletrid 13122	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  supcsup 9398  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  [,]cicc 13316  Σcsu 15659  Σ^{^}csumge0 46367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-sumge0 46368

This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  46395  sge0sup  46396  sge0ltfirp  46405  sge0le  46412  sge0iunmptlemfi  46418  sge0ltfirpmpt2  46431  sge0fsummptf  46441  omeiunltfirp  46524