Theorem sge0fsum 43815

Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0fsum	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fsum.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		sge0fsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 43793	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0xrcl 43813	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		rge0ssre 13117	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6	2	ffvelrnda 6943	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7	5, 6	sselid 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8	1, 7	fsumrecl 15374	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 10956	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10	1, 2	sge0reval 43800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ))
11		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
12		vex 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
15	14	elrnmpt 5854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
17	11, 16	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
18		simp3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
19	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
20	2	fge0npnf 43795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
21	3, 20	fge0iccre 43802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
25	23, 24	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		0xr 10953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28		pnfxr 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
30	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31	30	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32		iccgelb 13064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
34		elinel1 4125	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
38	19, 25, 33, 37	fsumless 15436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
39	38	3adant3 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
40	18, 39	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
41	40	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))))
42	41	rexlimdv 3211	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
43	42	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
44	17, 43	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
45	44	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
46		elinel2 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	22	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
49	37	sselda 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
50	48, 49	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
51	47, 50	fsumrecl 15374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 10956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
53	52	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
54	14	rnmptss 6978	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
56		supxrleub 12989	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
57	55, 9, 56	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
58	45, 57	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
59	10, 58	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
60		ssid 3939	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
61	60	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
62	1, 2, 61, 1	fsumlesge0 43805	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))
63	4, 9, 59, 62	xrletrid 12818	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  supcsup 9129  ℝcr 10801  0cc0 10802  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  [,)cico 13010  [,]cicc 13011  Σcsu 15325  Σ^{^}csumge0 43790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-sumge0 43791

This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  43818  sge0sup  43819  sge0ltfirp  43828  sge0le  43835  sge0iunmptlemfi  43841  sge0ltfirpmpt2  43854  sge0fsummptf  43864  omeiunltfirp  43947