Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0fsum 42659
 Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0fsum.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0fsum (𝜑 → (Σ^𝐹) = Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum
Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0fsum.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 sge0fsum.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
32fge0icoicc 42637 . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
41, 3sge0xrcl 42657 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
5 rge0ssre 12836 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
62ffvelrnda 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
75, 6sseldi 3963 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
81, 7fsumrecl 15083 . . 3 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
98rexrd 10683 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
101, 2sge0reval 42644 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ))
11 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
12 vex 3496 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
1514elrnmpt 5821 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
1613, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)))
1711, 16mpbid 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
18 simp3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))
191adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
202fge0npnf 42639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
213, 20fge0iccre 42646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2221adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
2322adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24 simpr 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2523, 24ffvelrnd 6845 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
26 0xr 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28 pnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . 14 +∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
303adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3130ffvelrnda 6844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32 iccgelb 12785 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
34 elinel1 4170 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35 elpwi 4549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦𝑋)
3736adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦𝑋)
3819, 25, 33, 37fsumless 15143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
39383adant3 1127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
4018, 39eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
41403exp 1114 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))))
4241rexlimdv 3281 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
4342adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
4417, 43mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
4544ralrimiva 3180 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
46 elinel2 4171 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
4746adantl 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
4822adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
4937sselda 3965 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑋)
5048, 49ffvelrnd 6845 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5147, 50fsumrecl 15083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5251rexrd 10683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
5352ralrimiva 3180 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
5414rnmptss 6879 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ*)
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ*)
56 supxrleub 12711 . . . . 5 ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
5755, 9, 56syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥)))
5845, 57mpbird 259 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 (𝐹𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
5910, 58eqbrtrd 5079 . 2 (𝜑 → (Σ^𝐹) ≤ Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
60 ssid 3987 . . . 4 𝑋𝑋
6160a1i 11 . . 3 (𝜑𝑋𝑋)
621, 2, 61, 1fsumlesge0 42649 . 2 (𝜑 → Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ≤ (Σ^𝐹))
634, 9, 59, 62xrletrid 12540 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = Σ𝑥𝑋 (𝐹𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ∀wral 3136  ∃wrex 3137  Vcvv 3493   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  𝒫 cpw 4537   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ran crn 5549  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  supcsup 8896  ℝcr 10528  0cc0 10529  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668  [,)cico 12732  [,]cicc 12733  Σcsu 15034  Σ^csumge0 42634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-sumge0 42635 This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  42662  sge0sup  42663  sge0ltfirp  42672  sge0le  42679  sge0iunmptlemfi  42685  sge0ltfirpmpt2  42698  sge0fsummptf  42708  omeiunltfirp  42791
 Copyright terms: Public domain W3C validator