Theorem sge0fsum 47101

Description: The arbitrary sum of a finite set of nonnegative extended real numbers is equal to the sum of those numbers, when none of them is +∞ (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fsum.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sge0fsum.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0fsum	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem sge0fsum

Dummy variables 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fsum.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		sge0fsum.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
3	2	fge0icoicc 47079	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	1, 3	sge0xrcl 47099	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)
5		rge0ssre 13478	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
6	2	ffvelcdmda 7079	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
7	5, 6	sselid 3935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
8	1, 7	fsumrecl 15781	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11254	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
10	1, 2	sge0reval 47086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ))
11		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
12		vex 3459	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑤 ∈ V
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ∈ V)
14		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
15	14	elrnmpt 5948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)))
17	11, 16	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
18		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))
19	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑋 ∈ Fin)
20	2	fge0npnf 47081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
21	3, 20	fge0iccre 47088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
24		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
25	23, 24	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
26		0xr 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
28		pnfxr 11258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
30	3	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
31	30	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
32		iccgelb 13424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
34		elinel1 4154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
35		elpwi 4569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑦 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
38	19, 25, 33, 37	fsumless 15844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
39	38	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
40	18, 39	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
41	40	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → (𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))))
42	41	rexlimdv 3164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
43	42	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)𝑤 = Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
44	17, 43	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))) → 𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
45	44	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
46		elinel2 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑦 ∈ Fin)
47	46	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑦 ∈ Fin)
48	22	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
49	37	sselda 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
50	48, 49	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑦) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
51	47, 50	fsumrecl 15781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
52	51	rexrd 11254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
53	52	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
54	14	rnmptss 7118	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
55	53, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ*)
56		supxrleub 13347	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*) → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
57	55, 9, 56	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥))𝑤 ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥)))
58	45, 57	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑥)), ℝ*, < ) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
59	10, 58	eqbrtrd 5133	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ≤ Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))
60		ssid 3959	. . . 4 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
61	60	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑋)
62	1, 2, 61, 1	fsumlesge0 47091	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))
63	4, 9, 59, 62	xrletrid 13175	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ran crn 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  supcsup 9396  ℝcr 11094  0cc0 11095  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  [,)cico 13369  [,]cicc 13370  Σcsu 15733  Σ^{^}csumge0 47076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-sumge0 47077

This theorem is referenced by:  sge0fsummpt  47104  sge0sup  47105  sge0ltfirp  47114  sge0le  47121  sge0iunmptlemfi  47127  sge0ltfirpmpt2  47140  sge0fsummptf  47150  omeiunltfirp  47233