Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0rnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0rnre 44790
Description: When Σ^ is applied to nonnegative real numbers the range used in its definition is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sge0rnre.1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0rnre (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0rnre
StepHypRef Expression
1 elinel2 4187 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
21adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3 rge0ssre 13410 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 sge0rnre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6 elinel1 4186 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4598 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥𝑋)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑋)
10 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
119, 10sseldd 3974 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑋)
1211adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑋)
135, 12ffvelcdmd 7067 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
143, 13sselid 3971 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
152, 14fsumrecl 15657 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1615ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
17 eqid 2731 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
1817rnmptss 7101 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
1916, 18syl 17 1 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3060  cin 3938  wss 3939  𝒫 cpw 4591  cmpt 5219  ran crn 5665  wf 6523  cfv 6527  (class class class)co 7388  Fincfn 8917  cr 11086  0cc0 11087  +∞cpnf 11222  [,)cico 13303  Σcsu 15609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5273  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-inf2 9613  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164  ax-pre-sup 11165
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-op 4624  df-uni 4897  df-int 4939  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-om 7834  df-1st 7952  df-2nd 7953  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8681  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-fin 8921  df-sup 9414  df-oi 9482  df-card 9911  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-div 11849  df-nn 12190  df-2 12252  df-3 12253  df-n0 12450  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12952  df-ico 13307  df-fz 13462  df-fzo 13605  df-seq 13944  df-exp 14005  df-hash 14268  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15409  df-sum 15610
This theorem is referenced by:  fsumlesge0  44803  sge0supre  44815  sge0less  44818  sge0ltfirp  44826  sge0resplit  44832  sge0split  44835
  Copyright terms: Public domain W3C validator