Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0rnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0rnre 44839
Description: When Σ^ is applied to nonnegative real numbers the range used in its definition is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
sge0rnre.1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0rnre (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0rnre
StepHypRef Expression
1 elinel2 4189 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
21adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3 rge0ssre 13412 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 sge0rnre.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6 elinel1 4188 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4600 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥𝑋)
98adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑋)
10 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
119, 10sseldd 3976 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑋)
1211adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑋)
135, 12ffvelcdmd 7069 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
143, 13sselid 3973 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
152, 14fsumrecl 15659 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
1615ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
17 eqid 2731 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
1817rnmptss 7103 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ ℝ → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
1916, 18syl 17 1 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦𝑥 (𝐹𝑦)) ⊆ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  wral 3060  cin 3940  wss 3941  𝒫 cpw 4593  cmpt 5221  ran crn 5667  wf 6525  cfv 6529  (class class class)co 7390  Fincfn 8919  cr 11088  0cc0 11089  +∞cpnf 11224  [,)cico 13305  Σcsu 15611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-inf2 9615  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-isom 6538  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-sup 9416  df-oi 9484  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-rp 12954  df-ico 13309  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-seq 13946  df-exp 14007  df-hash 14270  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15411  df-sum 15612
This theorem is referenced by:  fsumlesge0  44852  sge0supre  44864  sge0less  44867  sge0ltfirp  44875  sge0resplit  44881  sge0split  44884
  Copyright terms: Public domain W3C validator