Theorem sge0rnre 43520

Description: When Σ^{^} is applied to nonnegative real numbers the range used in its definition is a subset of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
sge0rnre.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0rnre	⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑋,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0rnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinel2 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
2	1	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3		rge0ssre 13009	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4		sge0rnre.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
5	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
6		elinel1 4095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
7		elpwi 4508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → 𝑥 ⊆ 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
9	8	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
10		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
11	9, 10	sseldd 3888	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑋)
12	11	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑋)
13	5, 12	ffvelrnd 6883	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ (0[,)+∞))
14	3, 13	sseldi 3885	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
15	2, 14	fsumrecl 15263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
16	15	ralrimiva 3095	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
17		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
18	17	rnmptss 6917	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)
19	16, 18	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ⊆ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4499   ↦ cmpt 5120  ran crn 5537  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Fincfn 8604  ℝcr 10693  0cc0 10694  +∞cpnf 10829  [,)cico 12902  Σcsu 15214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-ico 12906  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-sum 15215

This theorem is referenced by:  fsumlesge0  43533  sge0supre  43545  sge0less  43548  sge0ltfirp  43556  sge0resplit  43562  sge0split  43565