Theorem flfelbas 23967

Description: A limit point of a function is in the topological space. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
flfelbas	⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑋)

Proof of Theorem flfelbas

Dummy variables 𝑜 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isflf 23966	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ 𝑜 → ∃𝑠 ∈ 𝐿 (𝐹 “ 𝑠) ⊆ 𝑜))))
2	1	simprbda 498	1 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌⟶𝑋) ∧ 𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3933   “ cima 5670  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  TopOnctopon 22883  Filcfil 23818   fLimf cflf 23908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8851  df-fbas 21328  df-fg 21329  df-top 22867  df-topon 22884  df-ntr 22993  df-nei 23071  df-fil 23819  df-fm 23911  df-flim 23912  df-flf 23913

This theorem is referenced by:  cnextf  24039