MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isflf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isflf 23717
Description: The property of being a limit point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isflf ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘œ   π‘œ,𝑠,𝐹   π‘œ,𝐽,𝑠   π‘œ,𝐿,𝑠   π‘œ,𝑋,𝑠   π‘œ,π‘Œ,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑠)
Proof of Theorem isflf
StepHypRef Expression
1 flfval 23714 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) = (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)))
21eleq2d 2819 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))))
3 simp1 1136 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 toponmax 22648 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
543ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
6 filfbas 23572 . . . . 5 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
763ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
8 simp3 1138 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
9 fmfil 23668 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
105, 7, 8, 9syl3anc 1371 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
11 flimopn 23699 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)))))
123, 10, 11syl2anc 584 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fLim ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)))))
13 toponss 22649 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
143, 13sylan 580 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ π‘œ βŠ† 𝑋)
15 elfm 23671 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘œ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
165, 7, 8, 15syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘œ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
1716adantr 481 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘œ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
1814, 17mpbirand 705 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))
1918imbi2d 340 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
2019ralbidva 3175 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ)))
2120anbi2d 629 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ π‘œ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))))
222, 12, 213bitrd 304 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  fBascfbas 21132  TopOnctopon 22632  Filcfil 23569   FilMap cfm 23657   fLim cflim 23658   fLimf cflf 23659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-top 22616  df-topon 22633  df-ntr 22744  df-nei 22822  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664
This theorem is referenced by:  flfelbas  23718  flffbas  23719  flftg  23720  cnpflfi  23723  cnpflf2  23724  txflf  23730  limcflf  25622  rrhre  33287
  Copyright terms: Public domain W3C validator