Theorem fucof1 49217

Description: The object part of the functor composition bifunctor maps ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)) into (𝐶 Func 𝐸). (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucofval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
fucofval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
fucofval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
fuco1.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
fucof1	⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸))

Proof of Theorem fucof1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescofuf 49010	. 2 ⊢ ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))):((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))⟶(𝐶 Func 𝐸)
2		fucofval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
3		fucofval.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
4		fucofval.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
5		fuco1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
6		fuco1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))
7	2, 3, 4, 5, 6	fuco1 49216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ( ∘func ↾ 𝑊))
8	6	reseq2d 5958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∘func ↾ 𝑊) = ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))))
9	7, 8	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))))
10	9, 6	feq12d 6683	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸) ↔ ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))):((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))⟶(𝐶 Func 𝐸)))
11	1, 10	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4603   × cxp 5644   ↾ cres 5648  ⟶wf 6515  (class class class)co 7394   Func cfunc 17822   ∘_func ccofu 17824   ∘_F cfuco 49211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8805  df-ixp 8875  df-cat 17635  df-cid 17636  df-func 17826  df-cofu 17828  df-fuco 49212

This theorem is referenced by:  fuco11cl  49222  fucofunc  49254