Theorem fucof1 48891

Description: The object part of the functor composition bifunctor maps ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)) into (𝐶 Func 𝐸). (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucofval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
fucofval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
fucofval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
fuco1.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
fucof1	⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸))

Proof of Theorem fucof1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescofuf 48843	. 2 ⊢ ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))):((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))⟶(𝐶 Func 𝐸)
2		fucofval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
3		fucofval.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
4		fucofval.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
5		fuco1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
6		fuco1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))
7	2, 3, 4, 5, 6	fuco1 48890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ( ∘func ↾ 𝑊))
8	6	reseq2d 6004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∘func ↾ 𝑊) = ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))))
9	7, 8	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))))
10	9, 6	feq12d 6732	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸) ↔ ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))):((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))⟶(𝐶 Func 𝐸)))
11	1, 10	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4640   × cxp 5691   ↾ cres 5695  ⟶wf 6565  (class class class)co 7438   Func cfunc 17914   ∘_func ccofu 17916   ∘_F cfuco 48885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-id 5587  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-map 8876  df-ixp 8946  df-cat 17722  df-cid 17723  df-func 17918  df-cofu 17920  df-fuco 48886

This theorem is referenced by:  fuco11cl  48896  fucofunc  48926