Theorem fucof1 49563

Description: The object part of the functor composition bifunctor maps ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)) into (𝐶 Func 𝐸). (Contributed by Zhi Wang, 29-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fucofval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
fucofval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
fucofval.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
fuco1.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
fucof1	⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸))

Proof of Theorem fucof1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescofuf 49334	. 2 ⊢ ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))):((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))⟶(𝐶 Func 𝐸)
2		fucofval.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑇)
3		fucofval.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
4		fucofval.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
5		fuco1.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
6		fuco1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))
7	2, 3, 4, 5, 6	fuco1 49562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ( ∘func ↾ 𝑊))
8	6	reseq2d 5938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ∘func ↾ 𝑊) = ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))))
9	7, 8	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))))
10	9, 6	feq12d 6650	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸) ↔ ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))):((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))⟶(𝐶 Func 𝐸)))
11	1, 10	mpbiri 258	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝑊⟶(𝐶 Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586   × cxp 5622   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   Func cfunc 17778   ∘_func ccofu 17780   ∘_F cfuco 49557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-ixp 8836  df-cat 17591  df-cid 17592  df-func 17782  df-cofu 17784  df-fuco 49558

This theorem is referenced by:  fuco11cl  49568  fucofunc  49600