Theorem resfsupp 9354

Description: If the restriction of a function by a set which, subtracted from the domain of the function so that its difference is finitely supported, the function itself is finitely supported. (Contributed by AV, 27-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
resfsupp.b	⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
resfsupp.e	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
resfsupp.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
resfsupp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ 𝐵))
resfsupp.s	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
resfsupp.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resfsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem resfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resfsupp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∖ 𝐵) ∈ Fin)
2		resfsupp.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑊)
3		resfsupp.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝐹 ↾ 𝐵))
4		resfsupp.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑍)
5	4	fsuppimpd 9327	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
6		resfsupp.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 5, 6	ressuppfi 9353	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
8		resfsupp.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
9		funisfsupp 9325	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
10	8, 2, 6, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
11	7, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3914   class class class wbr 5110  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  Fun wfun 6508  (class class class)co 7390   supp csupp 8142  Fincfn 8921   finSupp cfsupp 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-supp 8143  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925  df-fsupp 9320

This theorem is referenced by:  lincext2  48448