Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finnzfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finnzfsuppd 43424
Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
finnzfsuppd.1 (𝜑𝐹𝑉)
finnzfsuppd.2 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3 (𝜑𝑍𝑈)
finnzfsuppd.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
Assertion
Ref Expression
finnzfsuppd (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd
StepHypRef Expression
1 finnzfsuppd.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 finnzfsuppd.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
3 finnzfsuppd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑉)
43, 2fndmexd 7901 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 finnzfsuppd.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑈)
6 elsuppfn 8161 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
87biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
98simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐷)
10 finnzfsuppd.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
119, 10syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
128simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)
1312neneqd 2944 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹𝑥) = 𝑍)
1411, 13olcnd 874 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐴)
1514ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥𝐴))
1615ssrdv 3988 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
171, 16ssfid 9273 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fnfun 6649 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
192, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
20 funisfsupp 9373 . . 3 ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2119, 3, 5, 20syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2217, 21mpbird 257 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8151  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-supp 8152  df-1o 8472  df-en 8946  df-fin 8949  df-fsupp 9368
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  43450
  Copyright terms: Public domain W3C validator