Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finnzfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finnzfsuppd 43552
Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
finnzfsuppd.1 (𝜑𝐹𝑉)
finnzfsuppd.2 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3 (𝜑𝑍𝑈)
finnzfsuppd.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
Assertion
Ref Expression
finnzfsuppd (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd
StepHypRef Expression
1 finnzfsuppd.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 finnzfsuppd.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
3 finnzfsuppd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑉)
43, 2fndmexd 7904 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 finnzfsuppd.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑈)
6 elsuppfn 8167 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
87biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
98simpld 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐷)
10 finnzfsuppd.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
119, 10syldan 590 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
128simprd 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)
1312neneqd 2940 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹𝑥) = 𝑍)
1411, 13olcnd 876 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐴)
1514ex 412 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥𝐴))
1615ssrdv 3984 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
171, 16ssfid 9281 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fnfun 6648 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
192, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
20 funisfsupp 9381 . . 3 ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2119, 3, 5, 20syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2217, 21mpbird 257 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8157  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-supp 8158  df-1o 8478  df-en 8954  df-fin 8957  df-fsupp 9376
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  43578
  Copyright terms: Public domain W3C validator