Theorem finnzfsuppd 9343

Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
finnzfsuppd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
finnzfsuppd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
finnzfsuppd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
finnzfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finnzfsuppd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		finnzfsuppd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
3		finnzfsuppd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4	3, 2	fndmexd 7901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		finnzfsuppd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		elsuppfn 8168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	7	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
9	8	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
10		finnzfsuppd.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
11	9, 10	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
12	8	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)
13	12	neneqd 2960	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	11, 13	olcnd 891	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	ssrdv 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
17	1, 16	ssfid 9239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fnfun 6632	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
19	2, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20		funisfsupp 9337	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
21	19, 3, 5, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
22	17, 21	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   supp csupp 8158  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-supp 8159  df-1o 8455  df-en 8953  df-fin 8956  df-fsupp 9332

This theorem is used by:  gsumfs2d  33501  mnringmulrcld  45066