Theorem finnzfsuppd 42951

Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
finnzfsuppd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
finnzfsuppd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
finnzfsuppd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
finnzfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finnzfsuppd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		finnzfsuppd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
3		finnzfsuppd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4	3, 2	fndmexd 7896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		finnzfsuppd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		elsuppfn 8155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	7	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
9	8	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
10		finnzfsuppd.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
11	9, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
12	8	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)
13	12	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	11, 13	olcnd 875	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	ssrdv 3988	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
17	1, 16	ssfid 9266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fnfun 6649	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
19	2, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20		funisfsupp 9366	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
21	19, 3, 5, 20	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
22	17, 21	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   class class class wbr 5148  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-supp 8146  df-1o 8465  df-en 8939  df-fin 8942  df-fsupp 9361

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  42977