Theorem finnzfsuppd 41820

Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
finnzfsuppd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
finnzfsuppd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
finnzfsuppd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
finnzfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finnzfsuppd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		finnzfsuppd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
3		finnzfsuppd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4	3, 2	fndmexd 7753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		finnzfsuppd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		elsuppfn 7987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	7	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
9	8	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
10		finnzfsuppd.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
11	9, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
12	8	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)
13	12	neneqd 2948	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	11, 13	olcnd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	ssrdv 3927	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
17	1, 16	ssfid 9042	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fnfun 6533	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
19	2, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20		funisfsupp 9133	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
21	19, 3, 5, 20	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
22	17, 21	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   class class class wbr 5074  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  Fincfn 8733   finSupp cfsupp 9128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-supp 7978  df-1o 8297  df-en 8734  df-fin 8737  df-fsupp 9129

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  41846