Theorem finnzfsuppd 9331

Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
finnzfsuppd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
finnzfsuppd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
finnzfsuppd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
finnzfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finnzfsuppd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		finnzfsuppd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
3		finnzfsuppd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4	3, 2	fndmexd 7883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		finnzfsuppd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		elsuppfn 8152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
9	8	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
10		finnzfsuppd.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
11	9, 10	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
12	8	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)
13	12	neneqd 2931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	11, 13	olcnd 877	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	ssrdv 3955	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
17	1, 16	ssfid 9219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fnfun 6621	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
19	2, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20		funisfsupp 9325	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
21	19, 3, 5, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
22	17, 21	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   class class class wbr 5110  Fun wfun 6508   Fn wfn 6509  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142  Fincfn 8921   finSupp cfsupp 9319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-supp 8143  df-1o 8437  df-en 8922  df-fin 8925  df-fsupp 9320

This theorem is referenced by:  gsumfs2d  33002  mnringmulrcld  44224