Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finnzfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finnzfsuppd 43703
Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
finnzfsuppd.1 (𝜑𝐹𝑉)
finnzfsuppd.2 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3 (𝜑𝑍𝑈)
finnzfsuppd.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
Assertion
Ref Expression
finnzfsuppd (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd
StepHypRef Expression
1 finnzfsuppd.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 finnzfsuppd.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
3 finnzfsuppd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑉)
43, 2fndmexd 7908 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 finnzfsuppd.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑈)
6 elsuppfn 8171 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
87biimpa 475 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
98simpld 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐷)
10 finnzfsuppd.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
119, 10syldan 589 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
128simprd 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)
1312neneqd 2935 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹𝑥) = 𝑍)
1411, 13olcnd 875 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐴)
1514ex 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥𝐴))
1615ssrdv 3978 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
171, 16ssfid 9288 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fnfun 6648 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
192, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
20 funisfsupp 9389 . . 3 ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2119, 3, 5, 20syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2217, 21mpbird 256 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7415   supp csupp 8161  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-supp 8162  df-1o 8483  df-en 8961  df-fin 8964  df-fsupp 9384
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  43729
  Copyright terms: Public domain W3C validator