Theorem finnzfsuppd 40915

Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
finnzfsuppd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
finnzfsuppd.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
finnzfsuppd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))

Assertion

Ref	Expression
finnzfsuppd	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finnzfsuppd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		finnzfsuppd.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
3		finnzfsuppd.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4	3, 2	fndmexd 7597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
5		finnzfsuppd.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑈)
6		elsuppfn 7821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	7	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
9	8	simpld 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
10		finnzfsuppd.5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
11	9, 10	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ (𝐹‘𝑥) = 𝑍))
12	8	simprd 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)
13	12	neneqd 2992	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹‘𝑥) = 𝑍)
14	11, 13	olcnd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ 𝐴))
16	15	ssrdv 3921	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
17	1, 16	ssfid 8725	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18		fnfun 6423	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
19	2, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
20		funisfsupp 8822	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
21	19, 3, 5, 20	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
22	17, 21	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   supp csupp 7813  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-supp 7814  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-fsupp 8818

This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  40936