Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finnzfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finnzfsuppd 42489
Description: If a function is zero outside of a finite set, it has finite support. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
finnzfsuppd.1 (𝜑𝐹𝑉)
finnzfsuppd.2 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
finnzfsuppd.3 (𝜑𝑍𝑈)
finnzfsuppd.4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
finnzfsuppd.5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
Assertion
Ref Expression
finnzfsuppd (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem finnzfsuppd
StepHypRef Expression
1 finnzfsuppd.4 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 finnzfsuppd.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
3 finnzfsuppd.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹𝑉)
43, 2fndmexd 7844 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ V)
5 finnzfsuppd.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑈)
6 elsuppfn 8103 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn 𝐷𝐷 ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
72, 4, 5, 6syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)))
87biimpa 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐷 ∧ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
98simpld 496 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐷)
10 finnzfsuppd.5 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
119, 10syldan 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝑥𝐴 ∨ (𝐹𝑥) = 𝑍))
128simprd 497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → (𝐹𝑥) ≠ 𝑍)
1312neneqd 2949 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → ¬ (𝐹𝑥) = 𝑍)
1411, 13olcnd 876 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍)) → 𝑥𝐴)
1514ex 414 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 supp 𝑍) → 𝑥𝐴))
1615ssrdv 3951 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ 𝐴)
171, 16ssfid 9212 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
18 fnfun 6603 . . . 4 (𝐹 Fn 𝐷 → Fun 𝐹)
192, 18syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
20 funisfsupp 9311 . . 3 ((Fun 𝐹𝐹𝑉𝑍𝑈) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2119, 3, 5, 20syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2217, 21mpbird 257 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  Vcvv 3446   class class class wbr 5106  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  cfv 6497  (class class class)co 7358   supp csupp 8093  Fincfn 8884   finSupp cfsupp 9306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-supp 8094  df-1o 8413  df-en 8885  df-fin 8888  df-fsupp 9307
This theorem is referenced by:  mnringmulrcld  42515
  Copyright terms: Public domain W3C validator