Theorem offinsupp1 30964

Description: Finite support for a function operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
offinsupp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offinsupp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
offinsupp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
offinsupp1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
offinsupp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑇)
offinsupp1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑌)
offinsupp1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
offinsupp1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem offinsupp1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offinsupp1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 9065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		ssidd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
4		offinsupp1.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
5		offinsupp1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6		offinsupp1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑇)
7		offinsupp1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		offinsupp1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	suppssof1 7986	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
10	2, 9	ssfid 8971	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
11		ovexd 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇)) → (𝑖𝑅𝑗) ∈ V)
12		inidm 4149	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13	11, 5, 6, 7, 7, 12	off 7529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐴⟶V)
14	13	ffund 6588	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
15		ovexd 7290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V)
16		offinsupp1.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
17		funisfsupp 9063	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∧ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
19	10, 18	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   class class class wbr 5070  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509   supp csupp 7948  Fincfn 8691   finSupp cfsupp 9058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-supp 7949  df-1o 8267  df-en 8692  df-fin 8695  df-fsupp 9059

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  31612