Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  offinsupp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offinsupp1 32745
Description: Finite support for a function operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
offinsupp1.a (𝜑𝐴𝑉)
offinsupp1.y (𝜑𝑌𝑈)
offinsupp1.z (𝜑𝑍𝑊)
offinsupp1.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
offinsupp1.g (𝜑𝐺:𝐴𝑇)
offinsupp1.1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑌)
offinsupp1.2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
offinsupp1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem offinsupp1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offinsupp1.1 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 9407 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 ssidd 4019 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
4 offinsupp1.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
5 offinsupp1.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
6 offinsupp1.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴𝑇)
7 offinsupp1.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8 offinsupp1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
93, 4, 5, 6, 7, 8suppssof1 8223 . . 3 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
102, 9ssfid 9299 . 2 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
11 ovexd 7466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑆𝑗𝑇)) → (𝑖𝑅𝑗) ∈ V)
12 inidm 4235 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
1311, 5, 6, 7, 7, 12off 7715 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐴⟶V)
1413ffund 6741 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹f 𝑅𝐺))
15 ovexd 7466 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ V)
16 offinsupp1.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
17 funisfsupp 9405 . . 3 ((Fun (𝐹f 𝑅𝐺) ∧ (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
1910, 18mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  Fun wfun 6557  wf 6559  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8184  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-supp 8185  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988  df-fsupp 9400
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  33657
  Copyright terms: Public domain W3C validator