Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  offinsupp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offinsupp1 31698
Description: Finite support for a function operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
offinsupp1.a (𝜑𝐴𝑉)
offinsupp1.y (𝜑𝑌𝑈)
offinsupp1.z (𝜑𝑍𝑊)
offinsupp1.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
offinsupp1.g (𝜑𝐺:𝐴𝑇)
offinsupp1.1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑌)
offinsupp1.2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
offinsupp1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem offinsupp1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offinsupp1.1 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 9319 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 ssidd 3971 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
4 offinsupp1.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
5 offinsupp1.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
6 offinsupp1.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴𝑇)
7 offinsupp1.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8 offinsupp1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
93, 4, 5, 6, 7, 8suppssof1 8134 . . 3 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
102, 9ssfid 9217 . 2 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
11 ovexd 7396 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑆𝑗𝑇)) → (𝑖𝑅𝑗) ∈ V)
12 inidm 4182 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
1311, 5, 6, 7, 7, 12off 7639 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐴⟶V)
1413ffund 6676 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹f 𝑅𝐺))
15 ovexd 7396 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ V)
16 offinsupp1.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
17 funisfsupp 9317 . . 3 ((Fun (𝐹f 𝑅𝐺) ∧ (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
1910, 18mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  Fun wfun 6494  wf 6496  (class class class)co 7361  f cof 7619   supp csupp 8096  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-supp 8097  df-1o 8416  df-en 8890  df-fin 8893  df-fsupp 9312
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  32388
  Copyright terms: Public domain W3C validator