Theorem offinsupp1 32807

Description: Finite support for a function operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
offinsupp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offinsupp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
offinsupp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
offinsupp1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
offinsupp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑇)
offinsupp1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑌)
offinsupp1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
offinsupp1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem offinsupp1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offinsupp1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 9276	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		ssidd 3958	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
4		offinsupp1.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
5		offinsupp1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6		offinsupp1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑇)
7		offinsupp1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		offinsupp1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	suppssof1 8143	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
10	2, 9	ssfid 9173	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
11		ovexd 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇)) → (𝑖𝑅𝑗) ∈ V)
12		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13	11, 5, 6, 7, 7, 12	off 7642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐴⟶V)
14	13	ffund 6667	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
15		ovexd 7395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V)
16		offinsupp1.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
17		funisfsupp 9274	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∧ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
19	10, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   class class class wbr 5099  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622   supp csupp 8104  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-supp 8105  df-1o 8399  df-en 8888  df-fin 8891  df-fsupp 9269

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  33788