Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  offinsupp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem offinsupp1 32739
Description: Finite support for a function operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
offinsupp1.a (𝜑𝐴𝑉)
offinsupp1.y (𝜑𝑌𝑈)
offinsupp1.z (𝜑𝑍𝑊)
offinsupp1.f (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
offinsupp1.g (𝜑𝐺:𝐴𝑇)
offinsupp1.1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑌)
offinsupp1.2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
offinsupp1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem offinsupp1
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 offinsupp1.1 . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 9410 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 ssidd 4006 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
4 offinsupp1.2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
5 offinsupp1.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
6 offinsupp1.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴𝑇)
7 offinsupp1.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8 offinsupp1.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
93, 4, 5, 6, 7, 8suppssof1 8225 . . 3 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
102, 9ssfid 9302 . 2 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
11 ovexd 7467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑆𝑗𝑇)) → (𝑖𝑅𝑗) ∈ V)
12 inidm 4226 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
1311, 5, 6, 7, 7, 12off 7716 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺):𝐴⟶V)
1413ffund 6739 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐹f 𝑅𝐺))
15 ovexd 7467 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ V)
16 offinsupp1.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
17 funisfsupp 9408 . . 3 ((Fun (𝐹f 𝑅𝐺) ∧ (𝐹f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
1814, 15, 16, 17syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
1910, 18mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479   class class class wbr 5142  Fun wfun 6554  wf 6556  (class class class)co 7432  f cof 7696   supp csupp 8186  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-supp 8187  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990  df-fsupp 9403
This theorem is referenced by:  fedgmullem1  33681
  Copyright terms: Public domain W3C validator