Theorem offinsupp1 31413

Description: Finite support for a function operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
offinsupp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
offinsupp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
offinsupp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
offinsupp1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
offinsupp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑇)
offinsupp1.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑌)
offinsupp1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
offinsupp1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem offinsupp1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		offinsupp1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 9242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		ssidd 3962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑌) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
4		offinsupp1.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑌𝑅𝑥) = 𝑍)
5		offinsupp1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6		offinsupp1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑇)
7		offinsupp1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		offinsupp1.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑈)
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	suppssof1 8094	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑌))
10	2, 9	ssfid 9141	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
11		ovexd 7381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ 𝑗 ∈ 𝑇)) → (𝑖𝑅𝑗) ∈ V)
12		inidm 4173	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13	11, 5, 6, 7, 7, 12	off 7622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺):𝐴⟶V)
14	13	ffund 6664	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
15		ovexd 7381	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V)
16		offinsupp1.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑊)
17		funisfsupp 9240	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∧ (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
18	14, 15, 16, 17	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
19	10, 18	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐺) finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3443   class class class wbr 5100  Fun wfun 6482  ⟶wf 6484  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7602   supp csupp 8056  Fincfn 8813   finSupp cfsupp 9235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pr 5379  ax-un 7659

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7604  df-om 7790  df-supp 8057  df-1o 8376  df-en 8814  df-fin 8817  df-fsupp 9236

This theorem is referenced by:  fedgmullem1  32072