MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmbas 21776
Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbas.n 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbas.z 0 = (0g𝑅)
frlmbas.b 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
frlmbas ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊   𝑘,𝑉   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem frlmbas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6918 . . . . 5 (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2 fnconstg 6795 . . . . 5 ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4 eqid 2736 . . . . 5 (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
5 eqid 2736 . . . . 5 {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin}
64, 5dsmmbas2 21758 . . . 4 (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
73, 6mpan 690 . . 3 (𝐼𝑊 → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
87adantl 481 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
9 frlmbas.b . . 3 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
10 fvco2 7005 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
113, 10mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
131fvconst2 7225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
1514fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
16 frlmbas.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑅)
17 rlm0 21203 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
1816, 17eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
1915, 18eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = 0 )
2012, 19eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = 0 )
2120neeq2d 3000 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) ↔ (𝑘𝑥) ≠ 0 ))
2221rabbidva 3442 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
23 elmapfn 8906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → 𝑘 Fn 𝐼)
2423adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 𝑘 Fn 𝐼)
25 fn0g 18677 . . . . . . . . . 10 0g Fn V
26 ssv 4007 . . . . . . . . . 10 ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V
27 fnco 6685 . . . . . . . . . 10 ((0g Fn V ∧ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V) → (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼)
2825, 3, 26, 27mp3an 1462 . . . . . . . . 9 (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼
29 fndmdif 7061 . . . . . . . . 9 ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
3024, 28, 29sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
31 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 𝐼𝑊)
3216fvexi 6919 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 0 ∈ V)
34 suppvalfn 8194 . . . . . . . . 9 ((𝑘 Fn 𝐼𝐼𝑊0 ∈ V) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
3524, 31, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
3622, 30, 353eqtr4d 2786 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (𝑘 supp 0 ))
3736eleq1d 2825 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
38 elmapfun 8907 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → Fun 𝑘)
39 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼))
4032a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → 0 ∈ V)
4138, 39, 403jca 1128 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → (Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
4241adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
43 funisfsupp 9408 . . . . . . 7 ((Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
4537, 44bitr4d 282 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ 𝑘 finSupp 0 ))
4645rabbidva 3442 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 })
47 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
48 frlmbas.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (Base‘𝑅)
49 rlmbas 21201 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5048, 49eqtri 2764 . . . . . . . . 9 𝑁 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5147, 50pwsbas 17533 . . . . . . . 8 (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
521, 51mpan 690 . . . . . . 7 (𝐼𝑊 → (𝑁m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5352adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
5547, 54pwsval 17532 . . . . . . . . . 10 (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
561, 55mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
5756adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
58 rlmsca 21206 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
5958adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
6059oveq1d 7447 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6157, 60eqtr4d 2779 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6261fveq2d 6909 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6353, 62eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6463rabeqdv 3451 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
6546, 64eqtr3d 2778 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
669, 65eqtrid 2788 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
67 frlmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6867frlmval 21769 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹 = (𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6968fveq2d 6909 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
708, 66, 693eqtr4d 2786 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142   × cxp 5682  dom cdm 5684  ran crn 5685  ccom 5688  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  m cmap 8867  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  Scalarcsca 17301  0gc0g 17485  Xscprds 17491  s cpws 17492  ringLModcrglmod 21172  m cdsmm 21752   freeLMod cfrlm 21767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-dsmm 21753  df-frlm 21768
This theorem is referenced by:  frlmelbas  21777  frlmfibas  21783  ellspd  21823  islindf4  21859  rrxbase  25423  rrxds  25428  prjcrv0  42648  frlmpwfi  43115
  Copyright terms: Public domain W3C validator