Theorem frlmbas 21730

Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbas.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmbas.b	⊢ 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }

Assertion

Ref	Expression
frlmbas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊   𝑘,𝑉   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem frlmbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6840	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2		fnconstg 6715	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
5		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin}
6	4, 5	dsmmbas2 21712	. . . 4 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
7	3, 6	mpan 696	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
8	7	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
9		frlmbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
10		fvco2 6924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
11	3, 10	mpan 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
13	1	fvconst2 7148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
15	14	fveq2d 6831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
16		frlmbas.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		rlm0 21185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
18	16, 17	eqtri 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
19	15, 18	eqtr4di 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = 0 )
20	12, 19	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = 0 )
21	20	neeq2d 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) ↔ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 ))
22	21	rabbidva 3397	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
23		elmapfn 8802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑘 Fn 𝐼)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑘 Fn 𝐼)
25		fn0g 18622	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0g Fn V
26		ssv 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V
27		fnco 6603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g Fn V ∧ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V) → (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼)
28	25, 3, 26, 27	mp3an 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼
29		fndmdif 6983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
30	24, 28, 29	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
31		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	16	fvexi 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
34		suppvalfn 8108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
35	24, 31, 33, 34	syl3anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
36	22, 30, 35	3eqtr4d 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (𝑘 supp 0 ))
37	36	eleq1d 2824	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
38		elmapfun 8803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → Fun 𝑘)
39		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼))
40	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 0 ∈ V)
41	38, 39, 40	3jca 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → (Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
42	41	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
43		funisfsupp 9270	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
45	37, 44	bitr4d 283	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ 𝑘 finSupp 0 ))
46	45	rabbidva 3397	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 })
47		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
48		frlmbas.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
49		rlmbas 21183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
50	48, 49	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
51	47, 50	pwsbas 17441	. . . . . . . 8 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	1, 51	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	52	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
55	47, 54	pwsval 17440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
56	1, 55	mpan 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
57	56	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
58		rlmsca 21188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
60	59	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
61	57, 60	eqtr4d 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
62	61	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
63	53, 62	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
64	63	rabeqdv 3406	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
65	46, 64	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
66	9, 65	eqtrid 2786	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
67		frlmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
68	67	frlmval 21723	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
69	68	fveq2d 6831	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
70	8, 66, 69	3eqtr4d 2784	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072   × cxp 5616  dom cdm 5618  ran crn 5619   ∘ ccom 5622  Fun wfun 6479   Fn wfn 6480  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   supp csupp 8100   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  X_scprds 17399   ↑_s cpws 17400  ringLModcrglmod 21162   ⊕_m cdsmm 21706   freeLMod cfrlm 21721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722

This theorem is referenced by:  frlmelbas  21731  frlmfibas  21737  ellspd  21777  islindf4  21813  rrxbase  25373  rrxds  25378  prjcrv0  43083  frlmpwfi  43543