Theorem frlmbas 22116

Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbas.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmbas.b	⊢ 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }

Assertion

Ref	Expression
frlmbas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊   𝑘,𝑉   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem frlmbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2		fnconstg 6800	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin}
6	4, 5	dsmmbas2 22098	. . . 4 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
7	3, 6	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
9		frlmbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
10		fvco2 7013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
11	3, 10	mpan 703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
13	1	fvconst2 7241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
15	14	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
16		frlmbas.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		rlm0 21521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
18	16, 17	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
19	15, 18	eqtr4di 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = 0 )
20	12, 19	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = 0 )
21	20	neeq2d 3019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) ↔ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 ))
22	21	rabbidva 3422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
23		elmapfn 8925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑘 Fn 𝐼)
24	23	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑘 Fn 𝐼)
25		fn0g 18893	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0g Fn V
26		ssv 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V
27		fnco 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g Fn V ∧ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V) → (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼)
28	25, 3, 26, 27	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼
29		fndmdif 7072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
30	24, 28, 29	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
31		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	16	fvexi 6930	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
34		suppvalfn 8223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
35	24, 31, 33, 34	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
36	22, 30, 35	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (𝑘 supp 0 ))
37	36	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
38		elmapfun 8926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → Fun 𝑘)
39		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼))
40	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 0 ∈ V)
41	38, 39, 40	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → (Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
42	41	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
43		funisfsupp 9397	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
44	42, 43	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
45	37, 44	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ 𝑘 finSupp 0 ))
46	45	rabbidva 3422	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 })
47		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
48		frlmbas.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
49		rlmbas 21519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
50	48, 49	eqtri 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
51	47, 50	pwsbas 17708	. . . . . . . 8 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	1, 51	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	52	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
55	47, 54	pwsval 17707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
56	1, 55	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
57	56	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
58		rlmsca 21524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
59	58	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
60	59	oveq1d 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
61	57, 60	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
62	61	fveq2d 6920	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
63	53, 62	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
64	63	rabeqdv 3431	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
65	46, 64	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
66	9, 65	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
67		frlmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
68	67	frlmval 22109	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
69	68	fveq2d 6920	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
70	8, 66, 69	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108   × cxp 5656  dom cdm 5658  ran crn 5659   ∘ ccom 5662  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   supp csupp 8214   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391  Basecbs 17431  Scalarcsca 17475  0_gc0g 17660  X_scprds 17666   ↑_s cpws 17667  ringLModcrglmod 21498   ⊕_m cdsmm 22092   freeLMod cfrlm 22107

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108

This theorem is used by:  frlmelbas  22117  frlmfibas  22123  ellspd  22163  islindf4  22199  rrxbase  25764  rrxds  25769  prjcrv0  43935  frlmpwfi  44366