Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmbas 20505
 Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbas.n 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbas.z 0 = (0g𝑅)
frlmbas.b 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
frlmbas ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊   𝑘,𝑉   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem frlmbas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6664 . . . . 5 (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2 fnconstg 6545 . . . . 5 ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4 eqid 2759 . . . . 5 (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
5 eqid 2759 . . . . 5 {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin}
64, 5dsmmbas2 20487 . . . 4 (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
73, 6mpan 690 . . 3 (𝐼𝑊 → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
87adantl 486 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
9 frlmbas.b . . 3 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
10 fvco2 6742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
113, 10mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
1211adantl 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
131fvconst2 6950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
1413adantl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
1514fveq2d 6655 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
16 frlmbas.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑅)
17 rlm0 20022 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
1816, 17eqtri 2782 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
1915, 18eqtr4di 2812 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = 0 )
2012, 19eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = 0 )
2120neeq2d 3009 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) ↔ (𝑘𝑥) ≠ 0 ))
2221rabbidva 3388 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
23 elmapfn 8440 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → 𝑘 Fn 𝐼)
2423adantl 486 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 𝑘 Fn 𝐼)
25 fn0g 17924 . . . . . . . . . 10 0g Fn V
26 ssv 3912 . . . . . . . . . 10 ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V
27 fnco 6441 . . . . . . . . . 10 ((0g Fn V ∧ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V) → (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼)
2825, 3, 26, 27mp3an 1459 . . . . . . . . 9 (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼
29 fndmdif 6796 . . . . . . . . 9 ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
3024, 28, 29sylancl 590 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
31 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 𝐼𝑊)
3216fvexi 6665 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → 0 ∈ V)
34 suppvalfn 7836 . . . . . . . . 9 ((𝑘 Fn 𝐼𝐼𝑊0 ∈ V) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
3524, 31, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
3622, 30, 353eqtr4d 2804 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (𝑘 supp 0 ))
3736eleq1d 2835 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
38 elmapfun 8441 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → Fun 𝑘)
39 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼))
4032a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → 0 ∈ V)
4138, 39, 403jca 1126 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) → (Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
4241adantl 486 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
43 funisfsupp 8856 . . . . . . 7 ((Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
4537, 44bitr4d 285 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ 𝑘 finSupp 0 ))
4645rabbidva 3388 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 })
47 eqid 2759 . . . . . . . . 9 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
48 frlmbas.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (Base‘𝑅)
49 rlmbas 20020 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5048, 49eqtri 2782 . . . . . . . . 9 𝑁 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5147, 50pwsbas 16803 . . . . . . . 8 (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
521, 51mpan 690 . . . . . . 7 (𝐼𝑊 → (𝑁m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5352adantl 486 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54 eqid 2759 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
5547, 54pwsval 16802 . . . . . . . . . 10 (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
561, 55mpan 690 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
5756adantl 486 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
58 rlmsca 20025 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
5958adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
6059oveq1d 7158 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6157, 60eqtr4d 2797 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6261fveq2d 6655 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6353, 62eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑁m 𝐼) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6463rabeqdv 3395 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
6546, 64eqtr3d 2796 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
669, 65syl5eq 2806 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
67 frlmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6867frlmval 20498 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹 = (𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6968fveq2d 6655 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
708, 66, 693eqtr4d 2804 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  {crab 3072  Vcvv 3407   ∖ cdif 3851   ⊆ wss 3854  {csn 4515   class class class wbr 5025   × cxp 5515  dom cdm 5517  ran crn 5518   ∘ ccom 5521  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143   supp csupp 7828   ↑m cmap 8409  Fincfn 8520   finSupp cfsupp 8851  Basecbs 16526  Scalarcsca 16611  0gc0g 16756  Xscprds 16762   ↑s cpws 16763  ringLModcrglmod 19994   ⊕m cdsmm 20481   freeLMod cfrlm 20496 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8473  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-fin 8524  df-fsupp 8852  df-sup 8924  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-9 11729  df-n0 11920  df-z 12006  df-dec 12123  df-uz 12268  df-fz 12925  df-struct 16528  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-tset 16627  df-ple 16628  df-ds 16630  df-hom 16632  df-cco 16633  df-0g 16758  df-prds 16764  df-pws 16766  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-dsmm 20482  df-frlm 20497 This theorem is referenced by:  frlmelbas  20506  frlmfibas  20512  ellspd  20552  islindf4  20588  rrxbase  24073  rrxds  24078  frlmpwfi  40400
 Copyright terms: Public domain W3C validator