Theorem frlmbas 21692

Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbas.n	⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbas.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmbas.b	⊢ 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }

Assertion

Ref	Expression
frlmbas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊   𝑘,𝑉   0 ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem frlmbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6835	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2		fnconstg 6711	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin}
6	4, 5	dsmmbas2 21674	. . . 4 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
7	3, 6	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
9		frlmbas.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
10		fvco2 6919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
11	3, 10	mpan 690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
13	1	fvconst2 7138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
15	14	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
16		frlmbas.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
17		rlm0 21129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
18	16, 17	eqtri 2754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
19	15, 18	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = 0 )
20	12, 19	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = 0 )
21	20	neeq2d 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) ↔ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 ))
22	21	rabbidva 3401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
23		elmapfn 8789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑘 Fn 𝐼)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝑘 Fn 𝐼)
25		fn0g 18571	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0g Fn V
26		ssv 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V
27		fnco 6599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g Fn V ∧ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V) → (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼)
28	25, 3, 26, 27	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼
29		fndmdif 6975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
30	24, 28, 29	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
31		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
32	16	fvexi 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → 0 ∈ V)
34		suppvalfn 8098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
35	24, 31, 33, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ (𝑘‘𝑥) ≠ 0 })
36	22, 30, 35	3eqtr4d 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (𝑘 supp 0 ))
37	36	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
38		elmapfun 8790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → Fun 𝑘)
39		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼))
40	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → 0 ∈ V)
41	38, 39, 40	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) → (Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
42	41	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
43		funisfsupp 9251	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
45	37, 44	bitr4d 282	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ 𝑘 finSupp 0 ))
46	45	rabbidva 3401	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 })
47		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
48		frlmbas.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (Base‘𝑅)
49		rlmbas 21127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
50	48, 49	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
51	47, 50	pwsbas 17391	. . . . . . . 8 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
52	1, 51	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
53	52	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
54		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
55	47, 54	pwsval 17390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
56	1, 55	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
57	56	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
58		rlmsca 21132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
60	59	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
61	57, 60	eqtr4d 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
62	61	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
63	53, 62	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑁 ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
64	63	rabeqdv 3410	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
65	46, 64	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
66	9, 65	eqtrid 2778	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
67		frlmval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
68	67	frlmval 21685	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
69	68	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
70	8, 66, 69	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4573   class class class wbr 5089   × cxp 5612  dom cdm 5614  ran crn 5615   ∘ ccom 5618  Fun wfun 6475   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   supp csupp 8090   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164  0_gc0g 17343  X_scprds 17349   ↑_s cpws 17350  ringLModcrglmod 21106   ⊕_m cdsmm 21668   freeLMod cfrlm 21683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-dsmm 21669  df-frlm 21684

This theorem is referenced by:  frlmelbas  21693  frlmfibas  21699  ellspd  21739  islindf4  21775  rrxbase  25315  rrxds  25320  prjcrv0  42736  frlmpwfi  43201