MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmbas Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmbas 21529
Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbas.n 𝑁 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmbas.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
frlmbas.b 𝐡 = {π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ π‘˜ finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
frlmbas ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   𝑅,π‘˜   π‘˜,𝐼   π‘˜,π‘Š   π‘˜,𝑉   0 ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐹(π‘˜)
Proof of Theorem frlmbas
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6903 . . . . 5 (ringLModβ€˜π‘…) ∈ V
2 fnconstg 6778 . . . . 5 ((ringLModβ€˜π‘…) ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}) Fn 𝐼)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}) Fn 𝐼
4 eqid 2730 . . . . 5 (𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})) = (𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))
5 eqid 2730 . . . . 5 {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin} = {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin}
64, 5dsmmbas2 21511 . . . 4 (((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin} = (Baseβ€˜(𝑅 βŠ•m (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))))
73, 6mpan 686 . . 3 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin} = (Baseβ€˜(𝑅 βŠ•m (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))))
87adantl 480 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin} = (Baseβ€˜(𝑅 βŠ•m (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))))
9 frlmbas.b . . 3 𝐡 = {π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ π‘˜ finSupp 0 }
10 fvco2 6987 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}) Fn 𝐼 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})β€˜π‘₯)))
113, 10mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})β€˜π‘₯)))
1211adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})β€˜π‘₯)))
131fvconst2 7206 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})β€˜π‘₯) = (ringLModβ€˜π‘…))
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})β€˜π‘₯) = (ringLModβ€˜π‘…))
1514fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0gβ€˜((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
16 frlmbas.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0gβ€˜π‘…)
17 rlm0 20964 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
1816, 17eqtri 2758 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0gβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
1915, 18eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (0gβ€˜((𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})β€˜π‘₯)) = 0 )
2012, 19eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯) = 0 )
2120neeq2d 2999 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜β€˜π‘₯) β‰  ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯) ↔ (π‘˜β€˜π‘₯) β‰  0 ))
2221rabbidva 3437 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘˜β€˜π‘₯) β‰  ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘˜β€˜π‘₯) β‰  0 })
23 elmapfn 8861 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) β†’ π‘˜ Fn 𝐼)
2423adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ π‘˜ Fn 𝐼)
25 fn0g 18588 . . . . . . . . . 10 0g Fn V
26 ssv 4005 . . . . . . . . . 10 ran (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}) βŠ† V
27 fnco 6666 . . . . . . . . . 10 ((0g Fn V ∧ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}) Fn 𝐼 ∧ ran (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}) βŠ† V) β†’ (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})) Fn 𝐼)
2825, 3, 26, 27mp3an 1459 . . . . . . . . 9 (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})) Fn 𝐼
29 fndmdif 7042 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ Fn 𝐼 ∧ (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})) Fn 𝐼) β†’ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘˜β€˜π‘₯) β‰  ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯)})
3024, 28, 29sylancl 584 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘˜β€˜π‘₯) β‰  ((0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))β€˜π‘₯)})
31 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3216fvexi 6904 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
34 suppvalfn 8156 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š ∧ 0 ∈ V) β†’ (π‘˜ supp 0 ) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘˜β€˜π‘₯) β‰  0 })
3524, 31, 33, 34syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ supp 0 ) = {π‘₯ ∈ 𝐼 ∣ (π‘˜β€˜π‘₯) β‰  0 })
3622, 30, 353eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) = (π‘˜ supp 0 ))
3736eleq1d 2816 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ (dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin ↔ (π‘˜ supp 0 ) ∈ Fin))
38 elmapfun 8862 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) β†’ Fun π‘˜)
39 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼))
4032a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) β†’ 0 ∈ V)
4138, 39, 403jca 1126 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) β†’ (Fun π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
4241adantl 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ (Fun π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
43 funisfsupp 9369 . . . . . . 7 ((Fun π‘˜ ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∧ 0 ∈ V) β†’ (π‘˜ finSupp 0 ↔ (π‘˜ supp 0 ) ∈ Fin))
4442, 43syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ finSupp 0 ↔ (π‘˜ supp 0 ) ∈ Fin))
4537, 44bitr4d 281 . . . . 5 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) ∧ π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼)) β†’ (dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin ↔ π‘˜ finSupp 0 ))
4645rabbidva 3437 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin} = {π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ π‘˜ finSupp 0 })
47 eqid 2730 . . . . . . . . 9 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)
48 frlmbas.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (Baseβ€˜π‘…)
49 rlmbas 20962 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
5048, 49eqtri 2758 . . . . . . . . 9 𝑁 = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
5147, 50pwsbas 17437 . . . . . . . 8 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
521, 51mpan 686 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝑁 ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
5352adantl 480 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)))
54 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)) = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))
5547, 54pwsval 17436 . . . . . . . . . 10 (((ringLModβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})))
561, 55mpan 686 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})))
5756adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})))
58 rlmsca 20967 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
5958adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…)))
6059oveq1d 7426 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})) = ((Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘…))Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})))
6157, 60eqtr4d 2773 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = (𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})))
6261fveq2d 6894 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))))
6353, 62eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑁 ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))))
6463rabeqdv 3445 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin} = {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin})
6546, 64eqtr3d 2772 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {π‘˜ ∈ (𝑁 ↑m 𝐼) ∣ π‘˜ finSupp 0 } = {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin})
669, 65eqtrid 2782 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = {π‘˜ ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∣ dom (π‘˜ βˆ– (0g ∘ (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))) ∈ Fin})
67 frlmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6867frlmval 21522 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐹 = (𝑅 βŠ•m (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)})))
6968fveq2d 6894 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(𝑅 βŠ•m (𝐼 Γ— {(ringLModβ€˜π‘…)}))))
708, 66, 693eqtr4d 2780 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204  0gc0g 17389  Xscprds 17395   ↑s cpws 17396  ringLModcrglmod 20927   βŠ•m cdsmm 21505   freeLMod cfrlm 21520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521
This theorem is referenced by:  frlmelbas  21530  frlmfibas  21536  ellspd  21576  islindf4  21612  rrxbase  25136  rrxds  25141  prjcrv0  41677  frlmpwfi  42142
  Copyright terms: Public domain W3C validator