Theorem mptnn0fsupp 14035

Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsupp.s	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsupp	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsupp.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpt 6677	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
5	2, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
6		nn0ex 12511	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
8		mptnn0fsupp.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
9	8	elexd 3478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
10		suppvalfn 8165	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
12		mptnn0fsupp.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
13		nne 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )
14		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
16		rspcsbela 4404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
17	14, 15, 16	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
18	3	fvmpts 6995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
19	14, 17, 18	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
20	19	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
21	13, 20	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
22	21	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
23	22	ralbidva 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
24	23	rexbidva 3187	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
25	12, 24	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
26		rabssnn0fi 14024	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
27	25, 26	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin)
28	11, 27	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin)
29		funmpt 6576	. . 3 ⊢ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
30	6	mptex 7223	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ V
31		funisfsupp 9328	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
32	29, 30, 9, 31	mp3an12i 1494	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
33	28, 32	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455  ⦋csb 3854   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   supp csupp 8157  Fincfn 8944   finSupp cfsupp 9322   < clt 11244  ℕ₀cn0 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537

This theorem is referenced by:  mptnn0fsuppd  14036  mptcoe1fsupp  22356  mptcoe1matfsupp  22940  pm2mp  22963  chfacffsupp  22994  chfacfscmulfsupp  22997  chfacfpmmulfsupp  23001  cayhamlem4  23026  ply1mulgsumlem3  49151  ply1mulgsumlem4  49152