Theorem mptnn0fsupp 13902

Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mptnn0fsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
mptnn0fsupp.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
mptnn0fsupp.s	⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))

Assertion

Ref	Expression
mptnn0fsupp	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptnn0fsupp.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ 𝐵)
2	1	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
4	3	fnmpt 6641	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
5	2, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0)
6		nn0ex 12419	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
8		mptnn0fsupp.0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑉)
9	8	elexd 3465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
10		suppvalfn 8100	. . . 4 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
12		mptnn0fsupp.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
13		nne 2947	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 )
14		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
15	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵)
16		rspcsbela 4395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶 ∈ 𝐵) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵)
18	3	fvmpts 6951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
19	14, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶)
20	19	eqeq1d 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
21	13, 20	bitrid 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 ))
22	21	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
23	22	ralbidva 3172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
24	23	rexbidva 3173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐶 = 0 )))
25	12, 24	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
26		rabssnn0fi 13891	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
27	25, 26	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin)
28	11, 27	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin)
29		funmpt 6539	. . 3 ⊢ Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)
30	6	mptex 7173	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ V
31		funisfsupp 9310	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
32	29, 30, 9, 31	mp3an12i 1465	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
33	28, 32	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) finSupp 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  ⦋csb 3855   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305   < clt 11189  ℕ₀cn0 12413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425

This theorem is referenced by:  mptnn0fsuppd  13903  mptcoe1fsupp  21586  mptcoe1matfsupp  22151  pm2mp  22174  chfacffsupp  22205  chfacfscmulfsupp  22208  chfacfpmmulfsupp  22212  cayhamlem4  22237  ply1mulgsumlem3  46459  ply1mulgsumlem4  46460