MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsupp 13968
Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsupp.s (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsupp (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsupp.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
21ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
3 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
43fnmpt 6684 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
6 nn0ex 12482 . . . . 5 0 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
8 mptnn0fsupp.0 . . . . 5 (𝜑0𝑉)
98elexd 3489 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
10 suppvalfn 8154 . . . 4 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
115, 7, 9, 10syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
12 mptnn0fsupp.s . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 nne 2938 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
14 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
152ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
16 rspcsbela 4430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1714, 15, 16syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
183fvmpts 6995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
1914, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2019eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2113, 20bitrid 283 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2221imbi2d 340 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2322ralbidva 3169 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2423rexbidva 3170 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2512, 24mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
26 rabssnn0fi 13957 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
2725, 26sylibr 233 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin)
2811, 27eqeltrd 2827 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin)
29 funmpt 6580 . . 3 Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
306mptex 7220 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
31 funisfsupp 9369 . . 3 ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3229, 30, 9, 31mp3an12i 1461 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3328, 32mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  wrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  csb 3888   class class class wbr 5141  cmpt 5224  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  cfv 6537  (class class class)co 7405   supp csupp 8146  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363   < clt 11252  0cn0 12476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491
This theorem is referenced by:  mptnn0fsuppd  13969  mptcoe1fsupp  22089  mptcoe1matfsupp  22659  pm2mp  22682  chfacffsupp  22713  chfacfscmulfsupp  22716  chfacfpmmulfsupp  22720  cayhamlem4  22745  ply1mulgsumlem3  47349  ply1mulgsumlem4  47350
  Copyright terms: Public domain W3C validator