MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptnn0fsupp 13819
Description: A mapping from the nonnegative integers is finitely supported under certain conditions. (Contributed by AV, 5-Oct-2019.) (Revised by AV, 23-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mptnn0fsupp.0 (𝜑0𝑉)
mptnn0fsupp.c ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
mptnn0fsupp.s (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
Assertion
Ref Expression
mptnn0fsupp (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑠,𝑥   𝜑,𝑘,𝑠,𝑥   0 ,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑠)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑠)   0 (𝑘)

Proof of Theorem mptnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 mptnn0fsupp.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶𝐵)
21ralrimiva 3139 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
3 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
43fnmpt 6625 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0)
6 nn0ex 12341 . . . . 5 0 ∈ V
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
8 mptnn0fsupp.0 . . . . 5 (𝜑0𝑉)
98elexd 3461 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
10 suppvalfn 8056 . . . 4 (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
115, 7, 9, 10syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 })
12 mptnn0fsupp.s . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
13 nne 2944 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0 )
14 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℕ0)
152ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵)
16 rspcsbela 4383 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 𝐶𝐵) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 / 𝑘𝐶𝐵)
183fvmpts 6935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 / 𝑘𝐶𝐵) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
1914, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 𝑥 / 𝑘𝐶)
2019eqeq1d 2738 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) = 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2113, 20bitrid 282 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 ))
2221imbi2d 340 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2322ralbidva 3168 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ0) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2423rexbidva 3169 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥𝑥 / 𝑘𝐶 = 0 )))
2512, 24mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
26 rabssnn0fi 13808 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin ↔ ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑠 < 𝑥 → ¬ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 ))
2725, 26sylibr 233 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑥) ≠ 0 } ∈ Fin)
2811, 27eqeltrd 2837 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin)
29 funmpt 6523 . . 3 Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶)
306mptex 7156 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
31 funisfsupp 9232 . . 3 ((Fun (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3229, 30, 9, 31mp3an12i 1464 . 2 (𝜑 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 ↔ ((𝑘 ∈ ℕ0𝐶) supp 0 ) ∈ Fin))
3328, 32mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0𝐶) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3403  Vcvv 3441  csb 3843   class class class wbr 5093  cmpt 5176  Fun wfun 6474   Fn wfn 6475  cfv 6480  (class class class)co 7338   supp csupp 8048  Fincfn 8805   finSupp cfsupp 9227   < clt 11111  0cn0 12335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-supp 8049  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-fsupp 9228  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342
This theorem is referenced by:  mptnn0fsuppd  13820  mptcoe1fsupp  21493  mptcoe1matfsupp  22058  pm2mp  22081  chfacffsupp  22112  chfacfscmulfsupp  22115  chfacfpmmulfsupp  22119  cayhamlem4  22144  ply1mulgsumlem3  46147  ply1mulgsumlem4  46148
  Copyright terms: Public domain W3C validator