Theorem mplsubglem2 21195

Description: Lemma for mplsubg 21196 and mpllss 21197. (Contributed by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mplsubglem2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})

Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mplsubglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbas 21186	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ 𝑔 finSupp (0g‘𝑅)}
7	2, 3	psrelbasfun 21137	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (Base‘𝑆) → Fun 𝑔)
8	7	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → Fun 𝑔)
9		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑆))
10		fvexd 6782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
11		funisfsupp 9121	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝑔 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (𝑔 finSupp (0g‘𝑅) ↔ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑔 finSupp (0g‘𝑅) ↔ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin))
13	12	rabbidva 3411	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ 𝑔 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})
14	6, 13	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  Vcvv 3430   class class class wbr 5074  Fun wfun 6421  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268   supp csupp 7965  Fincfn 8721   finSupp cfsupp 9116  Basecbs 16900  0_gc0g 17138   mPwSer cmps 21095   mPoly cmpl 21097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-tset 16969  df-psr 21100  df-mpl 21102

This theorem is referenced by:  mplsubg  21196  mpllss  21197