Theorem mplsubglem2 21948

Description: Lemma for mplsubg 21949 and mpllss 21950. (Contributed by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mplsubglem2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})

Distinct variable groups:   𝑔,𝐼   𝜑,𝑔   𝑅,𝑔   𝑆,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem mplsubglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	mplbas 21937	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ 𝑔 finSupp (0g‘𝑅)}
7	2, 3	psrelbasfun 21882	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (Base‘𝑆) → Fun 𝑔)
8	7	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → Fun 𝑔)
9		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑔 ∈ (Base‘𝑆))
10		fvexd 6906	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑅) ∈ V)
11		funisfsupp 9389	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝑔 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (𝑔 finSupp (0g‘𝑅) ↔ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin))
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝑔 finSupp (0g‘𝑅) ↔ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin))
13	12	rabbidva 3426	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ 𝑔 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})
14	6, 13	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  Fun wfun 6536  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415   supp csupp 8161  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177  0_gc0g 17418   mPwSer cmps 21839   mPoly cmpl 21841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-tset 17249  df-psr 21844  df-mpl 21846

This theorem is referenced by:  mplsubg  21949  mpllss  21950