Theorem frlmphllem 22101

Description: Lemma for frlmphl 22102. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
frlmphl.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑌)
frlmphl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmphl.s	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
frlmphl.f	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
frlmphllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,ℎ,𝑔,𝑥   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   ℎ,𝑉   ℎ,𝑊   𝑔,𝑌,ℎ,𝑥   0 ,𝑔,ℎ,𝑥   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   , ,𝑔,ℎ,𝑥   · ,ℎ   𝑔,𝑂,ℎ   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   ∗ (𝑔, ℎ)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ 𝑉)
4		frlmphl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmphl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		frlmphl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
7	4, 5, 6	frlmbasmap 22080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
9		elmapi 8883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
11	10	ffnd 6721	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ 𝑉)
13	4, 5, 6	frlmbasmap 22080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
14	2, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
15		elmapi 8883	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
17	16	ffnd 6721	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ Fn 𝐼)
18		inidm 4126	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
19		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
20		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘𝑥))
21	11, 17, 2, 2, 18, 19, 20	offval 7712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))))
22	21	oveq1d 7445	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ))
23		ovexd 7465	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V)
24		funmpt 6587	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))
25		funeq 6568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → (Fun (𝑔 ∘f · ℎ) ↔ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))))
26	24, 25	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
27	21, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
28		frlmphl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	4, 28, 6	frlmbasfsupp 22079	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
30	2, 3, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
31		frlmphl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
32		isfld 21008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
33	31, 32	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
34	33	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
35		drngring 21002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
38	5, 28	ring0cl 20511	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝐵)
40		frlmphl.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
41	5, 40, 28	ringlz 20539	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
42	37, 41	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
43	2, 39, 10, 16, 42	suppofss1d 8235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
44		fsuppsssupp 9386	. . . . 5 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔 ∘f · ℎ) finSupp 0 )
45	44	fsuppimpd 9375	. . . 4 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
46	23, 27, 30, 43, 45	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
47	22, 46	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
48	2	mptexd 7240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V)
49	39	elexd 3477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
50		funisfsupp 9373	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
51	24, 48, 49, 50	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
52	47, 51	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  Fun wfun 6541  ⟶wf 6543  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430   ∘_f cof 7701   supp csupp 8190   ↑_m cmap 8861  Fincfn 8987   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17402  ._rcmulr 17444  *_𝑟cstv 17445  ·_𝑖cip 17448  0_gc0g 17625  Ringcrg 20474  CRingccrg 20475  DivRingcdr 20995  Fieldcfield 20996   freeLMod cfrlm 22067

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-0g 17627  df-prds 17633  df-pws 17635  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-drng 20997  df-field 20998  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-dsmm 22053  df-frlm 22068

This theorem is used by:  frlmphl  22102