MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphllem 21186
Description: Lemma for frlmphl 21187. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphllem ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,,𝑔,𝑥   ,𝐼   𝑅,   ,𝑉   ,𝑊   𝑔,𝑌,,𝑥   0 ,𝑔,,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑥   , ,𝑔,,𝑥   · ,   𝑔,𝑂,   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔,)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
213ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
3 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6frlmbasmap 21165 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
82, 3, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
9 elmapi 8787 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
1110ffnd 6669 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12 simp3 1138 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
134, 5, 6frlmbasmap 21165 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
142, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
15 elmapi 8787 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐵m 𝐼) → :𝐼𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
1716ffnd 6669 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
18 inidm 4178 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
19 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
20 eqidd 2737 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
2111, 17, 2, 2, 18, 19, 20offval 7626 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
2221oveq1d 7372 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ))
23 ovexd 7392 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) ∈ V)
24 funmpt 6539 . . . . . 6 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
25 funeq 6521 . . . . . 6 ((𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → (Fun (𝑔f · ) ↔ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2624, 25mpbiri 257 . . . . 5 ((𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑔f · ))
2721, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑔f · ))
28 frlmphl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
294, 28, 6frlmbasfsupp 21164 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
302, 3, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
31 frlmphl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Field)
32 isfld 20196 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3433simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
35 drngring 20192 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
37363ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
385, 28ring0cl 19990 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0𝐵)
40 frlmphl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
415, 40, 28ringlz 20011 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
4237, 41sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
432, 39, 10, 16, 42suppofss1d 8135 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
44 fsuppsssupp 9321 . . . . 5 ((((𝑔f · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔f · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔f · ) finSupp 0 )
4544fsuppimpd 9312 . . . 4 ((((𝑔f · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔f · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4623, 27, 30, 43, 45syl22anc 837 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4722, 46eqeltrrd 2839 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
482mptexd 7174 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
4939elexd 3465 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0 ∈ V)
50 funisfsupp 9310 . . 3 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5124, 48, 49, 50mp3an2i 1466 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5247, 51mpbird 256 1 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  *𝑟cstv 17135  ·𝑖cip 17138  0gc0g 17321  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  DivRingcdr 20185  Fieldcfield 20186   freeLMod cfrlm 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ring 19966  df-drng 20187  df-field 20188  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153
This theorem is referenced by:  frlmphl  21187
  Copyright terms: Public domain W3C validator