Theorem frlmphllem 22086

Description: Lemma for frlmphl 22087. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
frlmphl.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑌)
frlmphl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmphl.s	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
frlmphl.f	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
frlmphllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,ℎ,𝑔,𝑥   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   ℎ,𝑉   ℎ,𝑊   𝑔,𝑌,ℎ,𝑥   0 ,𝑔,ℎ,𝑥   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   , ,𝑔,ℎ,𝑥   · ,ℎ   𝑔,𝑂,ℎ   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   ∗ (𝑔, ℎ)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ 𝑉)
4		frlmphl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmphl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		frlmphl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
7	4, 5, 6	frlmbasmap 22065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
9		elmapi 8869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
11	10	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ 𝑉)
13	4, 5, 6	frlmbasmap 22065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
14	2, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
15		elmapi 8869	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
17	16	ffnd 6710	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ Fn 𝐼)
18		inidm 4172	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
19		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
20		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘𝑥))
21	11, 17, 2, 2, 18, 19, 20	offval 7702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))))
22	21	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ))
23		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V)
24		funmpt 6578	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))
25		funeq 6559	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → (Fun (𝑔 ∘f · ℎ) ↔ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))))
26	24, 25	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
27	21, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
28		frlmphl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	4, 28, 6	frlmbasfsupp 22064	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
30	2, 3, 29	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
31		frlmphl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
32		isfld 20993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
33	31, 32	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
34	33	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
35		drngring 20987	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
38	5, 28	ring0cl 20496	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝐵)
40		frlmphl.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
41	5, 40, 28	ringlz 20524	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
42	37, 41	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
43	2, 39, 10, 16, 42	suppofss1d 8221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
44		fsuppsssupp 9373	. . . . 5 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔 ∘f · ℎ) finSupp 0 )
45	44	fsuppimpd 9361	. . . 4 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
46	23, 27, 30, 43, 45	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
47	22, 46	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
48	2	mptexd 7230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V)
49	39	elexd 3474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
50		funisfsupp 9359	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
51	24, 48, 49, 50	mp3an2i 1495	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
52	47, 51	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  *_𝑟cstv 17430  ·_𝑖cip 17433  0_gc0g 17610  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  DivRingcdr 20980  Fieldcfield 20981   freeLMod cfrlm 22052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-drng 20982  df-field 20983  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053

This theorem is used by:  frlmphl  22087