Theorem frlmphllem 21675

Description: Lemma for frlmphl 21676. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
frlmphl.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑌)
frlmphl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmphl.s	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
frlmphl.f	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
frlmphllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,ℎ,𝑔,𝑥   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   ℎ,𝑉   ℎ,𝑊   𝑔,𝑌,ℎ,𝑥   0 ,𝑔,ℎ,𝑥   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   , ,𝑔,ℎ,𝑥   · ,ℎ   𝑔,𝑂,ℎ   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   ∗ (𝑔,ℎ)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2	1	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ 𝑉)
4		frlmphl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmphl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		frlmphl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
7	4, 5, 6	frlmbasmap 21654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
8	2, 3, 7	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
9		elmapi 8845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
11	10	ffnd 6712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ 𝑉)
13	4, 5, 6	frlmbasmap 21654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
14	2, 12, 13	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
15		elmapi 8845	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
17	16	ffnd 6712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ Fn 𝐼)
18		inidm 4213	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
19		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
20		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘𝑥))
21	11, 17, 2, 2, 18, 19, 20	offval 7676	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))))
22	21	oveq1d 7420	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ))
23		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V)
24		funmpt 6580	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))
25		funeq 6562	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → (Fun (𝑔 ∘f · ℎ) ↔ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))))
26	24, 25	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
27	21, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
28		frlmphl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	4, 28, 6	frlmbasfsupp 21653	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
30	2, 3, 29	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
31		frlmphl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
32		isfld 20598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
33	31, 32	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
34	33	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
35		drngring 20594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
38	5, 28	ring0cl 20166	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝐵)
40		frlmphl.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
41	5, 40, 28	ringlz 20192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
42	37, 41	sylan 579	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
43	2, 39, 10, 16, 42	suppofss1d 8190	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
44		fsuppsssupp 9381	. . . . 5 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔 ∘f · ℎ) finSupp 0 )
45	44	fsuppimpd 9371	. . . 4 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
46	23, 27, 30, 43, 45	syl22anc 836	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
47	22, 46	eqeltrrd 2828	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
48	2	mptexd 7221	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V)
49	39	elexd 3489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
50		funisfsupp 9369	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
51	24, 48, 49, 50	mp3an2i 1462	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
52	47, 51	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7665   supp csupp 8146   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207  *_𝑟cstv 17208  ·_𝑖cip 17211  0_gc0g 17394  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139  DivRingcdr 20587  Fieldcfield 20588   freeLMod cfrlm 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-drng 20589  df-field 20590  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642

This theorem is referenced by:  frlmphl  21676