MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphllem 21716
Description: Lemma for frlmphl 21717. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
frlmphl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
frlmphl.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
frlmphl.v ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
frlmphl.j , = (ยท๐‘–โ€˜๐‘Œ)
frlmphl.o ๐‘‚ = (0gโ€˜๐‘Œ)
frlmphl.0 0 = (0gโ€˜๐‘…)
frlmphl.s โˆ— = (*๐‘Ÿโ€˜๐‘…)
frlmphl.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Field)
frlmphl.m ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง (๐‘” , ๐‘”) = 0 ) โ†’ ๐‘” = ๐‘‚)
frlmphl.u ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( โˆ— โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
frlmphl.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
Assertion
Ref Expression
frlmphllem ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘”,๐‘ฅ   ๐‘”,๐ผ,๐‘ฅ   ๐‘…,๐‘”,๐‘ฅ   ๐‘”,๐‘‰,๐‘ฅ   ๐‘”,๐‘Š,๐‘ฅ   ยท ,๐‘”,๐‘ฅ   ๐ต,โ„Ž,๐‘”,๐‘ฅ   โ„Ž,๐ผ   ๐‘…,โ„Ž   โ„Ž,๐‘‰   โ„Ž,๐‘Š   ๐‘”,๐‘Œ,โ„Ž,๐‘ฅ   0 ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘”,โ„Ž,๐‘ฅ   , ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ฅ   ยท ,โ„Ž   ๐‘”,๐‘‚,โ„Ž   ๐‘ฅ, โˆ—
Allowed substitution hints:   โˆ— (๐‘”,โ„Ž)   ๐‘‚(๐‘ฅ)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
213ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
3 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘” โˆˆ ๐‘‰)
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9 ๐‘Œ = (๐‘… freeLMod ๐ผ)
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9 ๐‘‰ = (Baseโ€˜๐‘Œ)
74, 5, 6frlmbasmap 21695 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
82, 3, 7syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
9 elmapi 8864 . . . . . . 7 (๐‘” โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†’ ๐‘”:๐ผโŸถ๐ต)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘”:๐ผโŸถ๐ต)
1110ffnd 6717 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘” Fn ๐ผ)
12 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โ„Ž โˆˆ ๐‘‰)
134, 5, 6frlmbasmap 21695 . . . . . . . 8 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โ„Ž โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
142, 12, 13syl2anc 582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โ„Ž โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ))
15 elmapi 8864 . . . . . . 7 (โ„Ž โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐ผ) โ†’ โ„Ž:๐ผโŸถ๐ต)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โ„Ž:๐ผโŸถ๐ต)
1716ffnd 6717 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โ„Ž Fn ๐ผ)
18 inidm 4213 . . . . 5 (๐ผ โˆฉ ๐ผ) = ๐ผ
19 eqidd 2726 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘”โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘”โ€˜๐‘ฅ))
20 eqidd 2726 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (โ„Žโ€˜๐‘ฅ) = (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))
2111, 17, 2, 2, 18, 19, 20offval 7690 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))))
2221oveq1d 7430 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) supp 0 ) = ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) supp 0 ))
23 ovexd 7450 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) โˆˆ V)
24 funmpt 6585 . . . . . 6 Fun (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))
25 funeq 6567 . . . . . 6 ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (Fun (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) โ†” Fun (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ)))))
2624, 25mpbiri 257 . . . . 5 ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ Fun (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž))
2721, 26syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ Fun (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž))
28 frlmphl.0 . . . . . 6 0 = (0gโ€˜๐‘…)
294, 28, 6frlmbasfsupp 21694 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘Š โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘” finSupp 0 )
302, 3, 29syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘” finSupp 0 )
31 frlmphl.f . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Field)
32 isfld 20637 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Field โ†” (๐‘… โˆˆ DivRing โˆง ๐‘… โˆˆ CRing))
3331, 32sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ DivRing โˆง ๐‘… โˆˆ CRing))
3433simpld 493 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ DivRing)
35 drngring 20633 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ DivRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
37363ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
385, 28ring0cl 20205 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ 0 โˆˆ ๐ต)
40 frlmphl.t . . . . . . 7 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
415, 40, 28ringlz 20231 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
4237, 41sylan 578 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 ยท ๐‘ฅ) = 0 )
432, 39, 10, 16, 42suppofss1d 8206 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) supp 0 ) โІ (๐‘” supp 0 ))
44 fsuppsssupp 9402 . . . . 5 ((((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž)) โˆง (๐‘” finSupp 0 โˆง ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) supp 0 ) โІ (๐‘” supp 0 ))) โ†’ (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) finSupp 0 )
4544fsuppimpd 9391 . . . 4 ((((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž)) โˆง (๐‘” finSupp 0 โˆง ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) supp 0 ) โІ (๐‘” supp 0 ))) โ†’ ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) supp 0 ) โˆˆ Fin)
4623, 27, 30, 43, 45syl22anc 837 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐‘” โˆ˜f ยท โ„Ž) supp 0 ) โˆˆ Fin)
4722, 46eqeltrrd 2826 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) supp 0 ) โˆˆ Fin)
482mptexd 7231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V)
4939elexd 3485 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ 0 โˆˆ V)
50 funisfsupp 9389 . . 3 ((Fun (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V โˆง 0 โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) finSupp 0 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) supp 0 ) โˆˆ Fin))
5124, 48, 49, 50mp3an2i 1462 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) finSupp 0 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) supp 0 ) โˆˆ Fin))
5247, 51mpbird 256 1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘” โˆˆ ๐‘‰ โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘”โ€˜๐‘ฅ) ยท (โ„Žโ€˜๐‘ฅ))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   โІ wss 3940   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  Fun wfun 6536  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆ˜f cof 7679   supp csupp 8161   โ†‘m cmap 8841  Fincfn 8960   finSupp cfsupp 9383  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  *๐‘Ÿcstv 17232  ยท๐‘–cip 17235  0gc0g 17418  Ringcrg 20175  CRingccrg 20176  DivRingcdr 20626  Fieldcfield 20627   freeLMod cfrlm 21682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-drng 20628  df-field 20629  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683
This theorem is referenced by:  frlmphl  21717
  Copyright terms: Public domain W3C validator