MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphllem 21800
Description: Lemma for frlmphl 21801. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphllem ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,,𝑔,𝑥   ,𝐼   𝑅,   ,𝑉   ,𝑊   𝑔,𝑌,,𝑥   0 ,𝑔,,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑥   , ,𝑔,,𝑥   · ,   𝑔,𝑂,   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔,)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
213ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
3 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6frlmbasmap 21779 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
82, 3, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
9 elmapi 8889 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
1110ffnd 6737 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
134, 5, 6frlmbasmap 21779 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
142, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
15 elmapi 8889 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐵m 𝐼) → :𝐼𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
1716ffnd 6737 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
18 inidm 4227 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
19 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
20 eqidd 2738 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
2111, 17, 2, 2, 18, 19, 20offval 7706 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
2221oveq1d 7446 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ))
23 ovexd 7466 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) ∈ V)
24 funmpt 6604 . . . . . 6 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
25 funeq 6586 . . . . . 6 ((𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → (Fun (𝑔f · ) ↔ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2624, 25mpbiri 258 . . . . 5 ((𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑔f · ))
2721, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑔f · ))
28 frlmphl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
294, 28, 6frlmbasfsupp 21778 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
302, 3, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
31 frlmphl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Field)
32 isfld 20740 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3331, 32sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3433simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
35 drngring 20736 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
37363ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
385, 28ring0cl 20264 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0𝐵)
40 frlmphl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
415, 40, 28ringlz 20290 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
4237, 41sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
432, 39, 10, 16, 42suppofss1d 8229 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
44 fsuppsssupp 9421 . . . . 5 ((((𝑔f · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔f · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔f · ) finSupp 0 )
4544fsuppimpd 9409 . . . 4 ((((𝑔f · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔f · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4623, 27, 30, 43, 45syl22anc 839 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4722, 46eqeltrrd 2842 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
482mptexd 7244 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
4939elexd 3504 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0 ∈ V)
50 funisfsupp 9407 . . 3 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5124, 48, 49, 50mp3an2i 1468 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5247, 51mpbird 257 1 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  *𝑟cstv 17299  ·𝑖cip 17302  0gc0g 17484  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  DivRingcdr 20729  Fieldcfield 20730   freeLMod cfrlm 21766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-drng 20731  df-field 20732  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767
This theorem is referenced by:  frlmphl  21801
  Copyright terms: Public domain W3C validator