Theorem frlmphllem 20469

Description: Lemma for frlmphl 20470. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmphl.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
frlmphl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j	⊢ , = (·𝑖‘𝑌)
frlmphl.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑌)
frlmphl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmphl.s	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝑅)
frlmphl.f	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( ∗ ‘𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
frlmphllem	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,ℎ,𝑔,𝑥   ℎ,𝐼   𝑅,ℎ   ℎ,𝑉   ℎ,𝑊   𝑔,𝑌,ℎ,𝑥   0 ,𝑔,ℎ,𝑥   𝜑,𝑔,ℎ,𝑥   , ,𝑔,ℎ,𝑥   · ,ℎ   𝑔,𝑂,ℎ   𝑥, ∗

Allowed substitution hints:   ∗ (𝑔,ℎ)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmphl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2	1	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ 𝑉)
4		frlmphl.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5		frlmphl.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		frlmphl.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
7	4, 5, 6	frlmbasmap 20448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
8	2, 3, 7	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
9		elmapi 8411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔:𝐼⟶𝐵)
11	10	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12		simp3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ 𝑉)
13	4, 5, 6	frlmbasmap 20448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
14	2, 12, 13	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼))
15		elmapi 8411	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ (𝐵 ↑m 𝐼) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ:𝐼⟶𝐵)
17	16	ffnd 6488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ℎ Fn 𝐼)
18		inidm 4145	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
19		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑔‘𝑥) = (𝑔‘𝑥))
20		eqidd 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (ℎ‘𝑥) = (ℎ‘𝑥))
21	11, 17, 2, 2, 18, 19, 20	offval 7396	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))))
22	21	oveq1d 7150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ))
23		ovexd 7170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V)
24		funmpt 6362	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))
25		funeq 6344	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → (Fun (𝑔 ∘f · ℎ) ↔ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥)))))
26	24, 25	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∘f · ℎ) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
27	21, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → Fun (𝑔 ∘f · ℎ))
28		frlmphl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	4, 28, 6	frlmbasfsupp 20447	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
30	2, 3, 29	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
31		frlmphl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
32		isfld 19504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
33	31, 32	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
34	33	simpld 498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
35		drngring 19502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
37	36	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
38	5, 28	ring0cl 19315	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ 𝐵)
40		frlmphl.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
41	5, 40, 28	ringlz 19333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
42	37, 41	sylan 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
43	2, 39, 10, 16, 42	suppofss1d 7851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
44		fsuppsssupp 8833	. . . . 5 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔 ∘f · ℎ) finSupp 0 )
45	44	fsuppimpd 8824	. . . 4 ⊢ ((((𝑔 ∘f · ℎ) ∈ V ∧ Fun (𝑔 ∘f · ℎ)) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
46	23, 27, 30, 43, 45	syl22anc 837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑔 ∘f · ℎ) supp 0 ) ∈ Fin)
47	22, 46	eqeltrrd 2891	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
48	2	mptexd 6964	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V)
49	39	elexd 3461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → 0 ∈ V)
50		funisfsupp 8822	. . 3 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
51	24, 48, 49, 50	mp3an2i 1463	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
52	47, 51	mpbird 260	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝑉 ∧ ℎ ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑔‘𝑥) · (ℎ‘𝑥))) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   supp csupp 7813   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  *_𝑟cstv 16559  ·_𝑖cip 16562  0_gc0g 16705  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  DivRingcdr 19495  Fieldcfield 19496   freeLMod cfrlm 20435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-drng 19497  df-field 19498  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436

This theorem is referenced by:  frlmphl  20470