MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphllem 20487
Description: Lemma for frlmphl 20488. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphllem ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,,𝑔,𝑥   ,𝐼   𝑅,   ,𝑉   ,𝑊   𝑔,𝑌,,𝑥   0 ,𝑔,,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑥   , ,𝑔,,𝑥   · ,   𝑔,𝑂,   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔,)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
213ad2ant1 1169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
3 simp2 1173 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6frlmbasmap 20467 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
82, 3, 7syl2anc 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
9 elmapi 8145 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
1110ffnd 6280 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12 simp3 1174 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
134, 5, 6frlmbasmap 20467 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
142, 12, 13syl2anc 581 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
15 elmapi 8145 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → :𝐼𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
1716ffnd 6280 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
18 inidm 4048 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
19 eqidd 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
20 eqidd 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
2111, 17, 2, 2, 18, 19, 20offval 7165 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
2221oveq1d 6921 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ))
23 ovexd 6940 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔𝑓 · ) ∈ V)
24 funmpt 6162 . . . . . . 7 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
26 funeq 6144 . . . . . 6 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → (Fun (𝑔𝑓 · ) ↔ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2725, 26mpbird 249 . . . . 5 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑔𝑓 · ))
2821, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑔𝑓 · ))
29 frlmphl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
304, 29, 6frlmbasfsupp 20466 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
312, 3, 30syl2anc 581 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
32 frlmphl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Field)
33 isfld 19113 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3432, 33sylib 210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3534simpld 490 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
36 drngring 19111 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
38373ad2ant1 1169 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
395, 29ring0cl 18924 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0𝐵)
41 frlmphl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
425, 41, 29ringlz 18942 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
4338, 42sylan 577 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
442, 40, 10, 16, 43suppofss1d 7598 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
45 fsuppsssupp 8561 . . . . 5 ((((𝑔𝑓 · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔𝑓 · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔𝑓 · ) finSupp 0 )
4645fsuppimpd 8552 . . . 4 ((((𝑔𝑓 · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔𝑓 · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4723, 28, 31, 44, 46syl22anc 874 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4822, 47eqeltrrd 2908 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
4924a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
50 mptexg 6741 . . . 4 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
512, 50syl 17 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
5229fvexi 6448 . . . 4 0 ∈ V
5352a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0 ∈ V)
54 funisfsupp 8550 . . 3 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5549, 51, 53, 54syl3anc 1496 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5648, 55mpbird 249 1 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  Vcvv 3415  wss 3799   class class class wbr 4874  cmpt 4953  Fun wfun 6118  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  𝑓 cof 7156   supp csupp 7560  𝑚 cmap 8123  Fincfn 8223   finSupp cfsupp 8545  Basecbs 16223  .rcmulr 16307  *𝑟cstv 16308  ·𝑖cip 16311  0gc0g 16454  Ringcrg 18902  CRingccrg 18903  DivRingcdr 19104  Fieldcfield 19105   freeLMod cfrlm 20454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-prds 16462  df-pws 16464  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-mgp 18845  df-ring 18904  df-drng 19106  df-field 19107  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-dsmm 20440  df-frlm 20455
This theorem is referenced by:  frlmphl  20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator