MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphllem 21817
Description: Lemma for frlmphl 21818. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphllem ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,,𝑔,𝑥   ,𝐼   𝑅,   ,𝑉   ,𝑊   𝑔,𝑌,,𝑥   0 ,𝑔,,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑥   , ,𝑔,,𝑥   · ,   𝑔,𝑂,   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔,)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
213ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
3 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6frlmbasmap 21796 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
82, 3, 7syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼))
9 elmapi 8887 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐵m 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
1110ffnd 6737 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
12 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
134, 5, 6frlmbasmap 21796 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
142, 12, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵m 𝐼))
15 elmapi 8887 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐵m 𝐼) → :𝐼𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
1716ffnd 6737 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
18 inidm 4234 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
19 eqidd 2735 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
20 eqidd 2735 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
2111, 17, 2, 2, 18, 19, 20offval 7705 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
2221oveq1d 7445 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ))
23 ovexd 7465 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔f · ) ∈ V)
24 funmpt 6605 . . . . . 6 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
25 funeq 6587 . . . . . 6 ((𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → (Fun (𝑔f · ) ↔ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2624, 25mpbiri 258 . . . . 5 ((𝑔f · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑔f · ))
2721, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑔f · ))
28 frlmphl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
294, 28, 6frlmbasfsupp 21795 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
302, 3, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
31 frlmphl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Field)
32 isfld 20756 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3331, 32sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3433simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
35 drngring 20752 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
37363ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
385, 28ring0cl 20280 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0𝐵)
40 frlmphl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
415, 40, 28ringlz 20306 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
4237, 41sylan 580 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
432, 39, 10, 16, 42suppofss1d 8227 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
44 fsuppsssupp 9418 . . . . 5 ((((𝑔f · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔f · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔f · ) finSupp 0 )
4544fsuppimpd 9406 . . . 4 ((((𝑔f · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔f · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔f · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4623, 27, 30, 43, 45syl22anc 839 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔f · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4722, 46eqeltrrd 2839 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
482mptexd 7243 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
4939elexd 3501 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0 ∈ V)
50 funisfsupp 9404 . . 3 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5124, 48, 49, 50mp3an2i 1465 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5247, 51mpbird 257 1 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  Fun wfun 6556  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983   finSupp cfsupp 9398  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  *𝑟cstv 17299  ·𝑖cip 17302  0gc0g 17485  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  DivRingcdr 20745  Fieldcfield 20746   freeLMod cfrlm 21783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-drng 20747  df-field 20748  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-dsmm 21769  df-frlm 21784
This theorem is referenced by:  frlmphl  21818
  Copyright terms: Public domain W3C validator