Theorem 0fsupp 9274

Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0fsupp	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Proof of Theorem 0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supp0 8095	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) = ∅)
2		0fi 8964	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2839	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) ∈ Fin)
4		fun0 6546	. . 3 ⊢ Fun ∅
5		0ex 5243	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		funisfsupp 9251	. . 3 ⊢ ((Fun ∅ ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  Fun wfun 6475  (class class class)co 7346   supp csupp 8090  Fincfn 8869   finSupp cfsupp 9245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-supp 8091  df-en 8870  df-fin 8873  df-fsupp 9246

This theorem is referenced by:  lco0  48527