Theorem 0fsupp 8565

Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0fsupp	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Proof of Theorem 0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supp0 7563	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) = ∅)
2		0fin 8456	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	syl6eqel 2913	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) ∈ Fin)
4		fun0 6186	. . 3 ⊢ Fun ∅
5		0ex 5013	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		funisfsupp 8548	. . 3 ⊢ ((Fun ∅ ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
7	4, 5, 6	mp3an12 1581	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
8	3, 7	mpbird 249	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∈ wcel 2166  Vcvv 3413  ∅c0 4143   class class class wbr 4872  Fun wfun 6116  (class class class)co 6904   supp csupp 7558  Fincfn 8221   finSupp cfsupp 8543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-ral 3121  df-rex 3122  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-supp 7559  df-en 8222  df-fin 8225  df-fsupp 8544

This theorem is referenced by:  lco0  43062