MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0fsupp 8831
Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
0fsupp (𝑍𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Proof of Theorem 0fsupp
StepHypRef Expression
1 supp0 7811 . . 3 (𝑍𝑉 → (∅ supp 𝑍) = ∅)
2 0fin 8722 . . 3 ∅ ∈ Fin
31, 2eqeltrdi 2919 . 2 (𝑍𝑉 → (∅ supp 𝑍) ∈ Fin)
4 fun0 6393 . . 3 Fun ∅
5 0ex 5185 . . 3 ∅ ∈ V
6 funisfsupp 8814 . . 3 ((Fun ∅ ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
74, 5, 6mp3an12 1447 . 2 (𝑍𝑉 → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
83, 7mpbird 259 1 (𝑍𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wcel 2114  Vcvv 3473  c0 4267   class class class wbr 5040  Fun wfun 6323  (class class class)co 7131   supp csupp 7806  Fincfn 8485   finSupp cfsupp 8809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-supp 7807  df-en 8486  df-fin 8489  df-fsupp 8810
This theorem is referenced by:  lco0  44612
  Copyright terms: Public domain W3C validator