Theorem 0fsupp 9293

Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0fsupp	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Proof of Theorem 0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supp0 8107	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) = ∅)
2		0fi 8979	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2844	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) ∈ Fin)
4		fun0 6557	. . 3 ⊢ Fun ∅
5		0ex 5252	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		funisfsupp 9270	. . 3 ⊢ ((Fun ∅ ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
7	4, 5, 6	mp3an12 1453	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285   class class class wbr 5098  Fun wfun 6486  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-supp 8103  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265

This theorem is referenced by:  lco0  48673