Theorem 0fsupp 9411

Description: The empty set is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
0fsupp	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Proof of Theorem 0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supp0 8171	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) = ∅)
2		0fi 9063	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	eqeltrdi 2841	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ supp 𝑍) ∈ Fin)
4		fun0 6610	. . 3 ⊢ Fun ∅
5		0ex 5287	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
6		funisfsupp 9388	. . 3 ⊢ ((Fun ∅ ∧ ∅ ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
7	4, 5, 6	mp3an12 1452	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (∅ finSupp 𝑍 ↔ (∅ supp 𝑍) ∈ Fin))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ∅ finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ∅c0 4313   class class class wbr 5123  Fun wfun 6534  (class class class)co 7412   supp csupp 8166  Fincfn 8966   finSupp cfsupp 9382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-supp 8167  df-en 8967  df-fin 8970  df-fsupp 9383

This theorem is referenced by:  lco0  48278