Theorem cantnfp1lem1 9647

Description: Lemma for cantnfp1 9650. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
3		cantnfp1.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
4		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnfs 9635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
9	8	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
10	9	ffvelcdmda 7080	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
11	2, 10	ifcld 4539	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
12		cantnfp1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
13	11, 12	fmptd 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
14	8	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp ∅)
15	14	fsuppimpd 9329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ∈ Fin)
16		snfi 9040	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
17		unfi 9155	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑋} ∈ Fin) → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋 ↔ 𝑘 = 𝑋))
20		fveq2 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝐺‘𝑡) = (𝐺‘𝑘))
21	19, 20	ifbieq2d 4519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
22		eldifi 4093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
23	22	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘 ∈ 𝐵)
24	1	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
25		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘𝑘) ∈ V
26		ifexg 4542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
27	24, 25, 26	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
28	12, 21, 23, 27	fvmptd3 7014	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
29		eldifn 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
30	29	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
31		velsn 4610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
32		elun2 4144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
33	31, 32	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
34	30, 33	nsyl 141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
35	34	iffalsed 4503	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
36		ssun1 4139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
37		sscon 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
39	38	sseli 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
40		ssidd 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
41		0ex 5272	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
43	9, 40, 6, 42	suppssr 8191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
44	39, 43	sylan2 604	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
45	28, 35, 44	3eqtrd 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = ∅)
46	13, 45	suppss 8190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
47	18, 46	ssfid 9229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
48	12	funmpt2 6576	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
49		mptexg 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡))) ∈ V)
50	12, 49	eqeltrid 2873	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐹 ∈ V)
51	6, 50	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
52		funisfsupp 9327	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
53	48, 51, 42, 52	mp3an2i 1492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
54	47, 53	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
55	4, 5, 6	cantnfs 9635	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
56	13, 54, 55	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  dom cdm 5662  Oncon0 6361  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8156  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9321   CNF ccnf 9630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-seqom 8435  df-1o 8453  df-map 8826  df-en 8944  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-cnf 9631

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  9648  cantnfp1lem3  9649  cantnfp1  9650