Theorem cantnfp1lem1 9679

Description: Lemma for cantnfp1 9682. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
3		cantnfp1.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
4		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnfs 9667	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
8	3, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
9	8	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
10	9	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
11	2, 10	ifcld 4529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
12		cantnfp1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
13	11, 12	fmptd 7114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
14	8	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp ∅)
15	14	fsuppimpd 9361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ∈ Fin)
16		snfi 9071	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
17		unfi 9186	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑋} ∈ Fin) → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋 ↔ 𝑘 = 𝑋))
20		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝐺‘𝑡) = (𝐺‘𝑘))
21	19, 20	ifbieq2d 4509	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
22		eldifi 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘 ∈ 𝐵)
24	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
25		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘𝑘) ∈ V
26		ifexg 4532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
27	24, 25, 26	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
28	12, 21, 23, 27	fvmptd3 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
29		eldifn 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
30	29	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
31		velsn 4600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
32		elun2 4129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
33	31, 32	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
34	30, 33	nsyl 141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
35	34	iffalsed 4493	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
36		ssun1 4124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
37		sscon 4090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
39	38	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
40		ssidd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
41		0ex 5261	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
43	9, 40, 6, 42	suppssr 8212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
44	39, 43	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
45	28, 35, 44	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = ∅)
46	13, 45	suppss 8211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
47	18, 46	ssfid 9260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
48	12	funmpt2 6579	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
49		mptexg 7227	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡))) ∈ V)
50	12, 49	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐹 ∈ V)
51	6, 50	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
52		funisfsupp 9359	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
53	48, 51, 42, 52	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
54	47, 53	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
55	4, 5, 6	cantnfs 9667	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
56	13, 54, 55	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651  Oncon0 6362  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177  Fincfn 8973   finSupp cfsupp 9353   CNF ccnf 9662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-seqom 8458  df-1o 8476  df-map 8849  df-en 8974  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-cnf 9663

This theorem is used by:  cantnfp1lem2  9680  cantnfp1lem3  9681  cantnfp1  9682