Theorem cantnfp1lem1 9672

Description: Lemma for cantnfp1 9675. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
3		cantnfp1.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
4		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnfs 9660	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
8	3, 7	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
9	8	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
10	9	ffvelcdmda 7086	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
11	2, 10	ifcld 4574	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
12		cantnfp1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
13	11, 12	fmptd 7113	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
14	8	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp ∅)
15	14	fsuppimpd 9368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ∈ Fin)
16		snfi 9043	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
17		unfi 9171	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑋} ∈ Fin) → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋 ↔ 𝑘 = 𝑋))
20		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝐺‘𝑡) = (𝐺‘𝑘))
21	19, 20	ifbieq2d 4554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
22		eldifi 4126	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘 ∈ 𝐵)
24	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
25		fvex 6904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘𝑘) ∈ V
26		ifexg 4577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
27	24, 25, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
28	12, 21, 23, 27	fvmptd3 7021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
29		eldifn 4127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
30	29	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
31		velsn 4644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
32		elun2 4177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
33	31, 32	sylbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
34	30, 33	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
35	34	iffalsed 4539	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
36		ssun1 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
37		sscon 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
39	38	sseli 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
40		ssidd 4005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
41		0ex 5307	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
43	9, 40, 6, 42	suppssr 8180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
44	39, 43	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
45	28, 35, 44	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = ∅)
46	13, 45	suppss 8178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
47	18, 46	ssfid 9266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
48	12	funmpt2 6587	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
49		mptexg 7222	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡))) ∈ V)
50	12, 49	eqeltrid 2837	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐹 ∈ V)
51	6, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
52		funisfsupp 9366	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
53	48, 51, 42, 52	mp3an2i 1466	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
54	47, 53	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
55	4, 5, 6	cantnfs 9660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
56	13, 54, 55	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  Oncon0 6364  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   supp csupp 8145  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360   CNF ccnf 9655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seqom 8447  df-1o 8465  df-map 8821  df-en 8939  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-cnf 9656

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  9673  cantnfp1lem3  9674  cantnfp1  9675