Theorem cantnfp1lem1 9631

Description: Lemma for cantnfp1 9634. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by AV, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnfp1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
cantnfp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cantnfp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
cantnfp1.s	⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ 𝑋)
cantnfp1.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))

Assertion

Ref	Expression
cantnfp1lem1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐵   𝑡,𝐴   𝑡,𝑆   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡   𝑡,𝑌   𝑡,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑡)

Proof of Theorem cantnfp1lem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
3		cantnfp1.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
4		cantnfs.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
5		cantnfs.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
6		cantnfs.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
7	4, 5, 6	cantnfs 9619	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝑆 ↔ (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅)))
8	3, 7	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐺 finSupp ∅))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)
10	9	ffvelcdmda 7056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (𝐺‘𝑡) ∈ 𝐴)
11	2, 10	ifcld 4535	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐴)
12		cantnfp1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)))
13	11, 12	fmptd 7086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
14	8	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp ∅)
15	14	fsuppimpd 9320	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ∈ Fin)
16		snfi 9014	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
17		unfi 9135	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 supp ∅) ∈ Fin ∧ {𝑋} ∈ Fin) → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
18	15, 16, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) ∈ Fin)
19		eqeq1 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 = 𝑋 ↔ 𝑘 = 𝑋))
20		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → (𝐺‘𝑡) = (𝐺‘𝑘))
21	19, 20	ifbieq2d 4515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑘 → if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡)) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
22		eldifi 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ 𝐵)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑘 ∈ 𝐵)
24	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → 𝑌 ∈ 𝐴)
25		fvex 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘𝑘) ∈ V
26		ifexg 4538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ V) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
27	24, 25, 26	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) ∈ V)
28	12, 21, 23, 27	fvmptd3 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)))
29		eldifn 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
30	29	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
31		velsn 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} ↔ 𝑘 = 𝑋)
32		elun2 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑋} → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
33	31, 32	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑋 → 𝑘 ∈ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
34	30, 33	nsyl 140	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → ¬ 𝑘 = 𝑋)
35	34	iffalsed 4499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → if(𝑘 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑘)) = (𝐺‘𝑘))
36		ssun1 4141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})
37		sscon 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}) → (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) ⊆ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))
39	38	sseli 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋})) → 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅)))
40		ssidd 3970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp ∅) ⊆ (𝐺 supp ∅))
41		0ex 5262	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
43	9, 40, 6, 42	suppssr 8174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ (𝐺 supp ∅))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
44	39, 43	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑘) = ∅)
45	28, 35, 44	3eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐵 ∖ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑘) = ∅)
46	13, 45	suppss 8173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ ((𝐺 supp ∅) ∪ {𝑋}))
47	18, 46	ssfid 9212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ Fin)
48	12	funmpt2 6555	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
49		mptexg 7195	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ On → (𝑡 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑡 = 𝑋, 𝑌, (𝐺‘𝑡))) ∈ V)
50	12, 49	eqeltrid 2832	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ On → 𝐹 ∈ V)
51	6, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
52		funisfsupp 9318	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
53	48, 51, 42, 52	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp ∅ ↔ (𝐹 supp ∅) ∈ Fin))
54	47, 53	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp ∅)
55	4, 5, 6	cantnfs 9619	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑆 ↔ (𝐹:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
56	13, 54, 55	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ifcif 4488  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  Oncon0 6332  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   supp csupp 8139  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312   CNF ccnf 9614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seqom 8416  df-1o 8434  df-map 8801  df-en 8919  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-cnf 9615

This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  9632  cantnfp1lem3  9633  cantnfp1  9634