MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sniffsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sniffsupp 8584
Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sniffsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
sniffsupp.0 (𝜑0𝑊)
sniffsupp.f 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
sniffsupp (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp
StepHypRef Expression
1 sniffsupp.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 snfi 8307 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
3 eldifsni 4540 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
43adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
54neneqd 3004 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
65iffalsed 4317 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7 sniffsupp.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
86, 7suppss2 7594 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9 ssfi 8449 . . . 4 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
102, 8, 9sylancr 581 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11 funmpt 6161 . . . . 5 Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
13 mptexg 6740 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
147, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
15 sniffsupp.0 . . . 4 (𝜑0𝑊)
16 funisfsupp 8549 . . . 4 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0𝑊) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1712, 14, 15, 16syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1810, 17mpbird 249 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
191, 18syl5eqbr 4908 1 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  Vcvv 3414  cdif 3795  wss 3798  ifcif 4306  {csn 4397   class class class wbr 4873  cmpt 4952  Fun wfun 6117  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  Fincfn 8222   finSupp cfsupp 8544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-supp 7560  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-fin 8226  df-fsupp 8545
This theorem is referenced by:  dprdfid  18770  snifpsrbag  19727
  Copyright terms: Public domain W3C validator