MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sniffsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sniffsupp 9257
Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sniffsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
sniffsupp.0 (𝜑0𝑊)
sniffsupp.f 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
sniffsupp (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp
StepHypRef Expression
1 sniffsupp.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 snfi 8909 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
3 eldifsni 4737 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
43adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
54neneqd 2945 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
65iffalsed 4484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7 sniffsupp.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
86, 7suppss2 8086 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9 ssfi 9038 . . . 4 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
102, 8, 9sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11 funmpt 6522 . . . 4 Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
127mptexd 7156 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13 sniffsupp.0 . . . 4 (𝜑0𝑊)
14 funisfsupp 9231 . . . 4 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0𝑊) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1511, 12, 13, 14mp3an2i 1465 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1610, 15mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
171, 16eqbrtrid 5127 1 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  Vcvv 3441  cdif 3895  wss 3898  ifcif 4473  {csn 4573   class class class wbr 5092  cmpt 5175  Fun wfun 6473  (class class class)co 7337   supp csupp 8047  Fincfn 8804   finSupp cfsupp 9226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-supp 8048  df-1o 8367  df-en 8805  df-fin 8808  df-fsupp 9227
This theorem is referenced by:  dprdfid  19715  snifpsrbag  21231  evlsbagval  40535  mhpind  40543  mnringmulrcld  42167
  Copyright terms: Public domain W3C validator