MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sniffsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sniffsupp 9397
Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sniffsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
sniffsupp.0 (𝜑0𝑊)
sniffsupp.f 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
sniffsupp (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp
StepHypRef Expression
1 sniffsupp.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 snfi 9046 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
3 eldifsni 4788 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
43adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
54neneqd 2939 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
65iffalsed 4534 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7 sniffsupp.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
86, 7suppss2 8186 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9 ssfi 9175 . . . 4 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
102, 8, 9sylancr 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11 funmpt 6580 . . . 4 Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
127mptexd 7221 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13 sniffsupp.0 . . . 4 (𝜑0𝑊)
14 funisfsupp 9369 . . . 4 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0𝑊) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1511, 12, 13, 14mp3an2i 1462 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1610, 15mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
171, 16eqbrtrid 5176 1 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  Vcvv 3468  cdif 3940  wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141  cmpt 5224  Fun wfun 6531  (class class class)co 7405   supp csupp 8146  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-supp 8147  df-1o 8467  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364
This theorem is referenced by:  dprdfid  19939  snifpsrbag  21816  evlsbagval  41695  mhpind  41723  cantnfresb  42650  mnringmulrcld  43563
  Copyright terms: Public domain W3C validator