Theorem sniffsupp 9120

Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sniffsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
sniffsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
sniffsupp.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
sniffsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sniffsupp.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		snfi 8804	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
3		eldifsni 4728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ≠ 𝑋)
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ≠ 𝑋)
5	4	neneqd 2949	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
6	5	iffalsed 4475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7		sniffsupp.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	6, 7	suppss2 8000	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9		ssfi 8921	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
10	2, 8, 9	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11		funmpt 6468	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
12	7	mptexd 7094	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13		sniffsupp.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
14		funisfsupp 9094	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
15	11, 12, 13, 14	mp3an2i 1464	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
16	10, 15	mpbird 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
17	1, 16	eqbrtrid 5113	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888   ⊆ wss 3891  ifcif 4464  {csn 4566   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  Fun wfun 6424  (class class class)co 7268   supp csupp 7961  Fincfn 8707   finSupp cfsupp 9089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-supp 7962  df-1o 8281  df-en 8708  df-fin 8711  df-fsupp 9090

This theorem is referenced by:  dprdfid  19601  snifpsrbag  21106  evlsbagval  40255  mhpind  40263  mnringmulrcld  41799