MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sniffsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sniffsupp 9441
Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sniffsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
sniffsupp.0 (𝜑0𝑊)
sniffsupp.f 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
sniffsupp (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp
StepHypRef Expression
1 sniffsupp.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 snfi 9084 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
3 eldifsni 4789 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
43adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
54neneqd 2944 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
65iffalsed 4535 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7 sniffsupp.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
86, 7suppss2 8226 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9 ssfi 9214 . . . 4 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
102, 8, 9sylancr 587 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11 funmpt 6603 . . . 4 Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
127mptexd 7245 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13 sniffsupp.0 . . . 4 (𝜑0𝑊)
14 funisfsupp 9408 . . . 4 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0𝑊) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1511, 12, 13, 14mp3an2i 1467 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1610, 15mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
171, 16eqbrtrid 5177 1 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625   class class class wbr 5142  cmpt 5224  Fun wfun 6554  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-supp 8187  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990  df-fsupp 9403
This theorem is referenced by:  dprdfid  20038  snifpsrbag  21941  evlsbagval  42581  mhpind  42609  cantnfresb  43342  mnringmulrcld  44252
  Copyright terms: Public domain W3C validator