Theorem sniffsupp 9370

Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sniffsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
sniffsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
sniffsupp.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
sniffsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sniffsupp.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		snfi 9050	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
3		eldifsni 4763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ≠ 𝑋)
4	3	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ≠ 𝑋)
5	4	neneqd 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
6	5	iffalsed 4503	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7		sniffsupp.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	6, 7	suppss2 8205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9		ssfi 9167	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
10	2, 8, 9	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11		funmpt 6581	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
12	7	mptexd 7229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13		sniffsupp.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
14		funisfsupp 9337	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
15	11, 12, 13, 14	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
16	10, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
17	1, 16	eqbrtrid 5151	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  ifcif 4492  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  Fun wfun 6537  (class class class)co 7423   supp csupp 8165  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-supp 8166  df-1o 8462  df-en 8953  df-fin 8956  df-fsupp 9332

This theorem is used by:  dprdfid  20120  snifpsrbag  22107  evlsbagval  43359  mhpind  43367  cantnfresb  44092  mnringmulrcld  44993