Theorem sniffsupp 8857

Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sniffsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
sniffsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
sniffsupp.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
sniffsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sniffsupp.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		snfi 8577	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
3		eldifsni 4683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ≠ 𝑋)
4	3	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ≠ 𝑋)
5	4	neneqd 2992	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
6	5	iffalsed 4436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7		sniffsupp.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	6, 7	suppss2 7847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9		ssfi 8722	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
10	2, 8, 9	sylancr 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11		funmpt 6362	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
12	7	mptexd 6964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13		sniffsupp.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
14		funisfsupp 8822	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
15	11, 12, 13, 14	mp3an2i 1463	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
16	10, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
17	1, 16	eqbrtrid 5065	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ifcif 4425  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  Fun wfun 6318  (class class class)co 7135   supp csupp 7813  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-supp 7814  df-1o 8085  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-fsupp 8818

This theorem is referenced by:  dprdfid  19132  snifpsrbag  20604  mnringmulrcld  40936