Theorem sniffsupp 9293

Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sniffsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
sniffsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
sniffsupp.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
sniffsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sniffsupp.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		snfi 8974	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
3		eldifsni 4743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ≠ 𝑋)
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ≠ 𝑋)
5	4	neneqd 2934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
6	5	iffalsed 4487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7		sniffsupp.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	6, 7	suppss2 8138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9		ssfi 9091	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
10	2, 8, 9	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11		funmpt 6526	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
12	7	mptexd 7166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13		sniffsupp.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
14		funisfsupp 9260	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
15	11, 12, 13, 14	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
16	10, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
17	1, 16	eqbrtrid 5130	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ifcif 4476  {csn 4577   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  Fun wfun 6482  (class class class)co 7354   supp csupp 8098  Fincfn 8877   finSupp cfsupp 9254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-supp 8099  df-1o 8393  df-en 8878  df-fin 8881  df-fsupp 9255

This theorem is referenced by:  dprdfid  19935  snifpsrbag  21861  evlsbagval  42687  mhpind  42715  cantnfresb  43444  mnringmulrcld  44348