Theorem sniffsupp 9348

Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
sniffsupp.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
sniffsupp.0	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
sniffsupp.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))

Assertion

Ref	Expression
sniffsupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sniffsupp.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2		snfi 9028	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
3		eldifsni 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥 ≠ 𝑋)
4	3	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥 ≠ 𝑋)
5	4	neneqd 2965	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
6	5	iffalsed 4494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7		sniffsupp.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8	6, 7	suppss2 8184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9		ssfi 9145	. . . 4 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
10	2, 8, 9	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11		funmpt 6563	. . . 4 ⊢ Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
12	7	mptexd 7212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
13		sniffsupp.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑊)
14		funisfsupp 9315	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
15	11, 12, 13, 14	mp3an2i 1490	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
16	10, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
17	1, 16	eqbrtrid 5139	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ifcif 4483  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  Fun wfun 6519  (class class class)co 7400   supp csupp 8144  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-supp 8145  df-1o 8441  df-en 8932  df-fin 8935  df-fsupp 9310

This theorem is referenced by:  dprdfid  20077  snifpsrbag  22027  evlsbagval  43175  mhpind  43183  cantnfresb  43908  mnringmulrcld  44811