MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw2lem 22601
Description: Lemma for pmatcollpw2 22602. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.) (Revised by AV, 3-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw1.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
pmatcollpw1.c 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
pmatcollpw1.m Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
pmatcollpw1.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
pmatcollpw1.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw2lem ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) finSupp (0gβ€˜πΆ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   Γ— ,𝑛   ↑ ,𝑛   𝑃,𝑛   𝐡,𝑖,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗,𝑛   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   Γ— ,𝑖,𝑗   ↑ ,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑖,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw2lem
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
2 mpoexga 8057 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))) ∈ V)
31, 1, 2syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))) ∈ V)
43ralrimivw 3142 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))) ∈ V)
5 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))
65fnmpt 6680 . . . . 5 (βˆ€π‘› ∈ β„•0 (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))) ∈ V β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) Fn β„•0)
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) Fn β„•0)
8 nn0ex 12475 . . . . 5 β„•0 ∈ V
98a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ β„•0 ∈ V)
10 fvexd 6896 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΆ) ∈ V)
11 suppvalfn 8148 . . . 4 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) Fn β„•0 ∧ β„•0 ∈ V ∧ (0gβ€˜πΆ) ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) supp (0gβ€˜πΆ)) = {π‘₯ ∈ β„•0 ∣ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)})
127, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) supp (0gβ€˜πΆ)) = {π‘₯ ∈ β„•0 ∣ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)})
13 pmatcollpw1.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
14 pmatcollpw1.c . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (𝑁 Mat 𝑃)
15 pmatcollpw1.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
16 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1713, 14, 15, 16pmatcoe1fsupp 22525 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
18 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜π‘…) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)))
19 pmatcollpw1.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ Γ— = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ))
2113ply1sca 22094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
22213ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
2322fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
24 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (π‘₯ ↑ 𝑋))
2520, 23, 24oveq123d 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(π‘₯ ↑ 𝑋)))
2625ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(π‘₯ ↑ 𝑋)))
2722eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
2827ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
2928fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘…))
3029oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(π‘₯ ↑ 𝑋)) = ((0gβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(π‘₯ ↑ 𝑋)))
31 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
32 pmatcollpw1.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
33 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
34 pmatcollpw1.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
35 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3613, 32, 33, 34, 35ply1moncl 22112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
37363ad2antl2 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
3831, 37jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
41 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
4213, 35, 41, 16ply10s0 22097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((0gβ€˜π‘…)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
4426, 30, 433eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((0gβ€˜π‘…) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
4518, 44sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
4645ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
4746anasss 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
4847ralimdvva 3196 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
4948imim2d 57 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
5049ralimdva 3159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
5150reximdv 3162 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
5217, 51mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
53 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
5531, 53, 543jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ β„•0))
5613, 14, 15decpmate 22590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) = ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯))
5755, 56sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) = ((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯))
5857oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)))
5958eqeq1d 2726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
60592ralbidva 3208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6160imbi2d 340 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6261ralbidva 3167 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6362rexbidv 3170 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (((coe1β€˜(𝑖𝑀𝑗))β€˜π‘₯) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6452, 63mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
65 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = 𝑁
6665biantrur 530 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
6765biantrur 530 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
6867bicomi 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6968ralbii 3085 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7066, 69bitr3i 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7170a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
7271imbi2d 340 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))) ↔ (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
7372rexralbidv 3212 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))))
7464, 73mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))))
75 mpoeq123 7473 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ)))
7675imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ))))
7776ralimi 3075 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ))))
7877reximi 3076 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝑁 (𝑁 = 𝑁 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑁 ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)) = (0gβ€˜π‘ƒ)))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ))))
7974, 78syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ))))
80 eqidd 2725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))))
81 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘₯ β†’ (𝑀 decompPMat 𝑛) = (𝑀 decompPMat π‘₯))
8281oveqd 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘₯ β†’ (𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) = (𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗))
83 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘₯ β†’ (𝑛 ↑ 𝑋) = (π‘₯ ↑ 𝑋))
8482, 83oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘₯ β†’ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)) = ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋)))
8584mpoeq3dv 7480 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))))
8685adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝑛 = π‘₯) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))))
87 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ Fin β†’ 𝑁 ∈ Fin)
8887ancri 549 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Fin β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
89883ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin))
91 mpoexga 8057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) ∈ V)
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) ∈ V)
9380, 86, 54, 92fvmptd 6995 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))))
9413ply1ring 22089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
9594anim2i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
96953adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring))
98 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
9914, 98mat0op 22243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring) β†’ (0gβ€˜πΆ) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ)))
10097, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (0gβ€˜πΆ) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ)))
10193, 100eqeq12d 2740 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ) ↔ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ))))
102101imbi2d 340 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ ((𝑦 < π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ)) ↔ (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ)))))
103102ralbidva 3167 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ)))))
104103rexbidv 3170 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat π‘₯)𝑗) Γ— (π‘₯ ↑ 𝑋))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (0gβ€˜π‘ƒ)))))
10579, 104mpbird 257 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ)))
106 nne 2936 . . . . . . . 8 (Β¬ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ) ↔ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ))
107106imbi2i 336 . . . . . . 7 ((𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)) ↔ (𝑦 < π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ)))
108107ralbii 3085 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ)))
109108rexbii 3086 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) = (0gβ€˜πΆ)))
110105, 109sylibr 233 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)))
111 rabssnn0fi 13948 . . . 4 ({π‘₯ ∈ β„•0 ∣ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)} ∈ Fin ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (𝑦 < π‘₯ β†’ Β¬ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)))
112110, 111sylibr 233 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ {π‘₯ ∈ β„•0 ∣ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))β€˜π‘₯) β‰  (0gβ€˜πΆ)} ∈ Fin)
11312, 112eqeltrd 2825 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) supp (0gβ€˜πΆ)) ∈ Fin)
114 funmpt 6576 . . 3 Fun (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋))))
1158mptex 7216 . . 3 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) ∈ V
116 funisfsupp 9363 . . 3 ((Fun (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) ∧ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) ∈ V ∧ (0gβ€˜πΆ) ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) finSupp (0gβ€˜πΆ) ↔ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) supp (0gβ€˜πΆ)) ∈ Fin))
117114, 115, 10, 116mp3an12i 1461 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) finSupp (0gβ€˜πΆ) ↔ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) supp (0gβ€˜πΆ)) ∈ Fin))
118113, 117mpbird 257 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑀 decompPMat 𝑛)𝑗) Γ— (𝑛 ↑ 𝑋)))) finSupp (0gβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   supp csupp 8140  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357   < clt 11245  β„•0cn0 12469  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  .gcmg 18985  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  var1cv1 22018  Poly1cpl1 22019  coe1cco1 22020   Mat cmat 22229   decompPMat cdecpmat 22586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-psr 21771  df-mvr 21772  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-vr1 22023  df-ply1 22024  df-coe1 22025  df-mat 22230  df-decpmat 22587
This theorem is referenced by:  pmatcollpw2  22602
  Copyright terms: Public domain W3C validator