Theorem fidmfisupp 9323

Description: A function with a finite domain is finitely supported. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidmfisupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fidmfisupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fidmfisupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fidmfisupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fidmfisupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidmfisupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2		fidmfisupp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
3	1, 2	fexd 7201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		fidmfisupp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		suppimacnv 8153	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
7	2, 1	fisuppfi 9322	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
8	6, 7	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9	1	ffund 6692	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10		funisfsupp 9318	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
11	9, 3, 4, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  {csn 4589   class class class wbr 5107  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387   supp csupp 8139  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-supp 8140  df-1o 8434  df-en 8919  df-fin 8922  df-fsupp 9313

This theorem is referenced by:  mptiffisupp  32616  evl1deg2  33546  rrxtopnfi  46285