Theorem fidmfisupp 9267

Description: A function with a finite domain is finitely supported. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidmfisupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fidmfisupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fidmfisupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fidmfisupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fidmfisupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidmfisupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2		fidmfisupp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
3	1, 2	fexd 7170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		fidmfisupp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		suppimacnv 8113	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
7	2, 1	fisuppfi 9266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
8	6, 7	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9	1	ffund 6663	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10		funisfsupp 9262	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
11	9, 3, 4, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895  {csn 4577   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  (class class class)co 7355   supp csupp 8099  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-supp 8100  df-1o 8394  df-en 8880  df-fin 8883  df-fsupp 9257

This theorem is referenced by:  mptiffisupp  32698  gsummulsubdishift2  33080  evl1deg2  33586  esplylem  33652  esplyfv1  33655  esplyind  33659  rrxtopnfi  46447