Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fidmfisupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fidmfisupp 41618
Description: A function with a finite domain is finitely supported. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fidmfisupp.1 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
fidmfisupp.2 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
fidmfisupp.3 (𝜑𝑍𝑉)
Assertion
Ref Expression
fidmfisupp (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fidmfisupp
StepHypRef Expression
1 fidmfisupp.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷𝑅)
2 fidmfisupp.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
3 fex 6962 . . . . 5 ((𝐹:𝐷𝑅𝐷 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
5 fidmfisupp.3 . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
6 suppimacnv 7816 . . . 4 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
74, 5, 6syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
82, 1fisuppfi 8817 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
97, 8eqeltrd 2912 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
101ffund 6491 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
11 funisfsupp 8814 . . 3 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1210, 4, 5, 11syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
139, 12mpbird 260 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3471  cdif 3907  {csn 4540   class class class wbr 5039  ccnv 5527  cima 5531  Fun wfun 6322  wf 6324  (class class class)co 7130   supp csupp 7805  Fincfn 8484   finSupp cfsupp 8809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-supp 7806  df-er 8264  df-en 8485  df-fin 8488  df-fsupp 8810
This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  42722
  Copyright terms: Public domain W3C validator