Theorem fidmfisupp 9281

Description: A function with a finite domain is finitely supported. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fidmfisupp.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
fidmfisupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
fidmfisupp.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fidmfisupp	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fidmfisupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidmfisupp.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝑅)
2		fidmfisupp.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
3	1, 2	fexd 7167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
4		fidmfisupp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		suppimacnv 8114	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) = (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
7	2, 1	fisuppfi 9280	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
8	6, 7	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9	1	ffund 6660	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10		funisfsupp 9276	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
11	9, 3, 4, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
12	8, 11	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902  {csn 4579   class class class wbr 5095  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  Fun wfun 6480  ⟶wf 6482  (class class class)co 7353   supp csupp 8100  Fincfn 8879   finSupp cfsupp 9270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-supp 8101  df-1o 8395  df-en 8880  df-fin 8883  df-fsupp 9271

This theorem is referenced by:  mptiffisupp  32649  evl1deg2  33525  rrxtopnfi  46272