Theorem fcdmnn0fsuppg 12541

Description: Version of fcdmnn0fsupp 12539 avoiding ax-rep 5227 by assuming 𝐹 is a set rather than its domain 𝐼. (Contributed by SN, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsuppg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem fcdmnn0fsuppg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 6694	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
2		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		c0ex 11173	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4		funisfsupp 9313	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
5	3, 4	mp3an3 1471	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
6	1, 2, 5	syl2an2 696	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
7		fcdmnn0suppg 12540	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
8	7	eleq1d 2847	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 supp 0) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	6, 8	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650  Fun wfun 6515  ⟶wf 6517  (class class class)co 7396   supp csupp 8140  Fincfn 8927   finSupp cfsupp 9307  0cc0 11073  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fsupp 9308  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-nn 12211  df-n0 12482

This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  21968  psrbagres  21979  evlselvlem  43167  evlselv  43168