Theorem fcdmnn0fsuppg 12491

Description: Version of fcdmnn0fsupp 12489 avoiding ax-rep 5213 by assuming 𝐹 is a set rather than its domain 𝐼. (Contributed by SN, 5-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
fcdmnn0fsuppg	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem fcdmnn0fsuppg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffun 6666	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		c0ex 11132	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
4		funisfsupp 9274	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
5	3, 4	mp3an3 1453	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
6	1, 2, 5	syl2an2 687	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
7		fcdmnn0suppg 12490	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ ℕ))
8	7	eleq1d 2822	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 supp 0) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
9	6, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  Fun wfun 6487  ⟶wf 6489  (class class class)co 7361   supp csupp 8104  Fincfn 8887   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11032  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fsupp 9269  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-nn 12169  df-n0 12432

This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  21912  psrbagres  43006  evlselvlem  43036  evlselv  43037