Theorem ghmf 19159

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19154	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872   GrpHom cghm 19151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8804  df-ghm 19152

This theorem is referenced by:  ghmid  19161  ghminv  19162  ghmsub  19163  ghmmhm  19165  ghmmulg  19167  ghmrn  19168  resghm  19171  ghmpreima  19177  ghmeql  19178  ghmnsgima  19179  ghmnsgpreima  19180  ghmeqker  19182  ghmf1  19185  kerf1ghm  19186  ghmf1o  19187  gimcnv  19206  ghmqusnsglem1  19219  ghmqusnsg  19221  ghmquskerlem1  19222  ghmquskerco  19223  ghmquskerlem3  19225  ghmqusker  19226  lactghmga  19342  frgpup3lem  19714  frgpup3  19715  ghmplusg  19783  isrnghmmul  20358  rnghmf  20364  rhmf  20401  isrhm2d  20403  lmhmf  20948  lmhmpropd  20987  frgpcyg  21490  psgninv  21498  zrhpsgninv  21501  evpmss  21502  psgnevpmb  21503  psgnodpm  21504  zrhpsgnevpm  21507  zrhpsgnodpm  21508  evlslem2  21993  nmoi  24623  nmoix  24624  nmoi2  24625  nmoleub  24626  nmoeq0  24631  nmoco  24632  nmotri  24634  nmods  24639  nghmcn  24640  aks6d1c1p2  42104  aks6d1c1p3  42105  aks6d1c5lem1  42131