Theorem ghmf 19434

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19430	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Grpcgrp 19144   GrpHom cghm 19427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849  df-ghm 19428

This theorem is used by:  ghmid  19436  ghminv  19437  ghmsub  19438  ghmmhm  19440  ghmmulg  19442  ghmrn  19443  resghm  19446  ghmpreima  19452  ghmeql  19453  ghmnsgima  19454  ghmnsgpreima  19455  ghmeqker  19457  ghmf1  19460  kerf1ghm  19461  ghmf1o  19462  gimcnv  19481  ghmqusnsglem1  19494  ghmqusnsg  19496  ghmquskerlem1  19497  ghmquskerco  19498  ghmquskerlem3  19500  ghmqusker  19501  lactghmga  19619  frgpup3lem  19991  frgpup3  19992  ghmplusg  20060  isrnghmmul  20672  rnghmf  20678  rhmf  20715  isrhm2d  20721  lmhmf  21309  lmhmpropd  21348  frgpcyg  21879  psgninv  21888  zrhpsgninv  21891  evpmss  21892  psgnevpmb  21893  psgnodpm  21894  zrhpsgnevpm  21897  zrhpsgnodpm  21898  evlslem2  22388  nmoi  25047  nmoix  25048  nmoi2  25049  nmoleub  25050  nmoeq0  25055  nmoco  25056  nmotri  25058  nmods  25063  nghmcn  25064  aks6d1c1p2  43159  aks6d1c1p3  43160  aks6d1c5lem1  43186