Theorem ghmf 19153

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19148	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  +_gcplusg 17181  Grpcgrp 18867   GrpHom cghm 19145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8769  df-ghm 19146

This theorem is referenced by:  ghmid  19155  ghminv  19156  ghmsub  19157  ghmmhm  19159  ghmmulg  19161  ghmrn  19162  resghm  19165  ghmpreima  19171  ghmeql  19172  ghmnsgima  19173  ghmnsgpreima  19174  ghmeqker  19176  ghmf1  19179  kerf1ghm  19180  ghmf1o  19181  gimcnv  19200  ghmqusnsglem1  19213  ghmqusnsg  19215  ghmquskerlem1  19216  ghmquskerco  19217  ghmquskerlem3  19219  ghmqusker  19220  lactghmga  19338  frgpup3lem  19710  frgpup3  19711  ghmplusg  19779  isrnghmmul  20382  rnghmf  20388  rhmf  20424  isrhm2d  20426  lmhmf  20990  lmhmpropd  21029  frgpcyg  21532  psgninv  21541  zrhpsgninv  21544  evpmss  21545  psgnevpmb  21546  psgnodpm  21547  zrhpsgnevpm  21550  zrhpsgnodpm  21551  evlslem2  22038  nmoi  24676  nmoix  24677  nmoi2  24678  nmoleub  24679  nmoeq0  24684  nmoco  24685  nmotri  24687  nmods  24692  nghmcn  24693  aks6d1c1p2  42400  aks6d1c1p3  42401  aks6d1c5lem1  42427