Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ghmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ghmf 18353
 Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ghmf.x 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y 𝑌 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
ghmf (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋𝑌)

Proof of Theorem ghmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ghmf.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑆)
2 ghmf.y . . . 4 𝑌 = (Base‘𝑇)
3 eqid 2822 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
4 eqid 2822 . . . 4 (+g𝑇) = (+g𝑇)
51, 2, 3, 4isghm 18349 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝑋𝑥𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g𝑆)𝑥)) = ((𝐹𝑦)(+g𝑇)(𝐹𝑥)))))
65simprbi 500 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦𝑋𝑥𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g𝑆)𝑥)) = ((𝐹𝑦)(+g𝑇)(𝐹𝑥))))
76simpld 498 1 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Grpcgrp 18094   GrpHom cghm 18346 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-ghm 18347 This theorem is referenced by:  ghmid  18355  ghminv  18356  ghmsub  18357  ghmmhm  18359  ghmmulg  18361  ghmrn  18362  resghm  18365  ghmpreima  18371  ghmeql  18372  ghmnsgima  18373  ghmnsgpreima  18374  ghmeqker  18376  ghmf1  18378  ghmf1o  18379  gimcnv  18398  lactghmga  18524  frgpup3lem  18894  frgpup3  18895  ghmplusg  18957  rhmf  19472  isrhm2d  19474  kerf1ghm  19489  lmhmf  19797  lmhmpropd  19836  frgpcyg  20263  psgninv  20269  zrhpsgninv  20272  evpmss  20273  psgnevpmb  20274  psgnodpm  20275  zrhpsgnevpm  20278  zrhpsgnodpm  20279  evlslem2  20749  nmoi  23332  nmoix  23333  nmoi2  23334  nmoleub  23335  nmoeq0  23340  nmoco  23341  nmotri  23343  nmods  23348  nghmcn  23349  isrnghmmul  44456  rnghmf  44462
 Copyright terms: Public domain W3C validator