Theorem ghmf 19350

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19346	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  Grpcgrp 19060   GrpHom cghm 19343

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8831  df-ghm 19344

This theorem is used by:  ghmid  19352  ghminv  19353  ghmsub  19354  ghmmhm  19356  ghmmulg  19358  ghmrn  19359  resghm  19362  ghmpreima  19368  ghmeql  19369  ghmnsgima  19370  ghmnsgpreima  19371  ghmeqker  19373  ghmf1  19376  kerf1ghm  19377  ghmf1o  19378  gimcnv  19397  ghmqusnsglem1  19410  ghmqusnsg  19412  ghmquskerlem1  19413  ghmquskerco  19414  ghmquskerlem3  19416  ghmqusker  19417  lactghmga  19535  frgpup3lem  19907  frgpup3  19908  ghmplusg  19976  isrnghmmul  20586  rnghmf  20592  rhmf  20629  isrhm2d  20635  lmhmf  21221  lmhmpropd  21260  frgpcyg  21789  psgninv  21798  zrhpsgninv  21801  evpmss  21802  psgnevpmb  21803  psgnodpm  21804  zrhpsgnevpm  21807  zrhpsgnodpm  21808  evlslem2  22298  nmoi  24957  nmoix  24958  nmoi2  24959  nmoleub  24960  nmoeq0  24965  nmoco  24966  nmotri  24968  nmods  24973  nghmcn  24974  aks6d1c1p2  42978  aks6d1c1p3  42979  aks6d1c5lem1  43005