Theorem ghmf 19435

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19431	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  Grpcgrp 19145   GrpHom cghm 19428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-map 8850  df-ghm 19429

This theorem is used by:  ghmid  19437  ghminv  19438  ghmsub  19439  ghmmhm  19441  ghmmulg  19443  ghmrn  19444  resghm  19447  ghmpreima  19453  ghmeql  19454  ghmnsgima  19455  ghmnsgpreima  19456  ghmeqker  19458  ghmf1  19461  kerf1ghm  19462  ghmf1o  19463  gimcnv  19482  ghmqusnsglem1  19495  ghmqusnsg  19497  ghmquskerlem1  19498  ghmquskerco  19499  ghmquskerlem3  19501  ghmqusker  19502  lactghmga  19620  frgpup3lem  19992  frgpup3  19993  ghmplusg  20061  isrnghmmul  20673  rnghmf  20679  rhmf  20716  isrhm2d  20722  lmhmf  21310  lmhmpropd  21349  frgpcyg  21880  psgninv  21889  zrhpsgninv  21892  evpmss  21893  psgnevpmb  21894  psgnodpm  21895  zrhpsgnevpm  21898  zrhpsgnodpm  21899  evlslem2  22389  nmoi  25048  nmoix  25049  nmoi2  25050  nmoleub  25051  nmoeq0  25056  nmoco  25057  nmotri  25059  nmods  25064  nghmcn  25065  aks6d1c1p2  43161  aks6d1c1p3  43162  aks6d1c5lem1  43188