Theorem ghmf 19251

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19246	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-ghm 19244

This theorem is referenced by:  ghmid  19253  ghminv  19254  ghmsub  19255  ghmmhm  19257  ghmmulg  19259  ghmrn  19260  resghm  19263  ghmpreima  19269  ghmeql  19270  ghmnsgima  19271  ghmnsgpreima  19272  ghmeqker  19274  ghmf1  19277  kerf1ghm  19278  ghmf1o  19279  gimcnv  19298  ghmqusnsglem1  19311  ghmqusnsg  19313  ghmquskerlem1  19314  ghmquskerco  19315  ghmquskerlem3  19317  ghmqusker  19318  lactghmga  19438  frgpup3lem  19810  frgpup3  19811  ghmplusg  19879  isrnghmmul  20459  rnghmf  20465  rhmf  20502  isrhm2d  20504  lmhmf  21051  lmhmpropd  21090  frgpcyg  21610  psgninv  21618  zrhpsgninv  21621  evpmss  21622  psgnevpmb  21623  psgnodpm  21624  zrhpsgnevpm  21627  zrhpsgnodpm  21628  evlslem2  22121  nmoi  24765  nmoix  24766  nmoi2  24767  nmoleub  24768  nmoeq0  24773  nmoco  24774  nmotri  24776  nmods  24781  nghmcn  24782  aks6d1c1p2  42091  aks6d1c1p3  42092  aks6d1c5lem1  42118