Theorem ghmf 19260

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19256	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 501	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Grpcgrp 18975   GrpHom cghm 19253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-map 8810  df-ghm 19254

This theorem is referenced by:  ghmid  19262  ghminv  19263  ghmsub  19264  ghmmhm  19266  ghmmulg  19268  ghmrn  19269  resghm  19272  ghmpreima  19278  ghmeql  19279  ghmnsgima  19280  ghmnsgpreima  19281  ghmeqker  19283  ghmf1  19286  kerf1ghm  19287  ghmf1o  19288  gimcnv  19307  ghmqusnsglem1  19320  ghmqusnsg  19322  ghmquskerlem1  19323  ghmquskerco  19324  ghmquskerlem3  19326  ghmqusker  19327  lactghmga  19445  frgpup3lem  19817  frgpup3  19818  ghmplusg  19886  isrnghmmul  20487  rnghmf  20493  rhmf  20529  isrhm2d  20532  lmhmf  21098  lmhmpropd  21137  frgpcyg  21622  psgninv  21631  zrhpsgninv  21634  evpmss  21635  psgnevpmb  21636  psgnodpm  21637  zrhpsgnevpm  21640  zrhpsgnodpm  21641  evlslem2  22129  nmoi  24785  nmoix  24786  nmoi2  24787  nmoleub  24788  nmoeq0  24793  nmoco  24794  nmotri  24796  nmods  24801  nghmcn  24802  aks6d1c1p2  42723  aks6d1c1p3  42724  aks6d1c5lem1  42750