Theorem ghmf 19096

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19092	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 496	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  Grpcgrp 18819   GrpHom cghm 19089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-ghm 19090

This theorem is referenced by:  ghmid  19098  ghminv  19099  ghmsub  19100  ghmmhm  19102  ghmmulg  19104  ghmrn  19105  resghm  19108  ghmpreima  19114  ghmeql  19115  ghmnsgima  19116  ghmnsgpreima  19117  ghmeqker  19119  ghmf1  19121  ghmf1o  19122  gimcnv  19141  lactghmga  19273  frgpup3lem  19645  frgpup3  19646  ghmplusg  19714  rhmf  20263  isrhm2d  20265  kerf1ghm  20282  lmhmf  20645  lmhmpropd  20684  frgpcyg  21129  psgninv  21135  zrhpsgninv  21138  evpmss  21139  psgnevpmb  21140  psgnodpm  21141  zrhpsgnevpm  21144  zrhpsgnodpm  21145  evlslem2  21642  nmoi  24245  nmoix  24246  nmoi2  24247  nmoleub  24248  nmoeq0  24253  nmoco  24254  nmotri  24256  nmods  24261  nghmcn  24262  ghmquskerlem1  32528  ghmquskerco  32529  ghmquskerlem3  32531  ghmqusker  32532  isrnghmmul  46691  rnghmf  46697