Theorem ghmf 19186

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19181	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Grpcgrp 18900   GrpHom cghm 19178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8765  df-ghm 19179

This theorem is referenced by:  ghmid  19188  ghminv  19189  ghmsub  19190  ghmmhm  19192  ghmmulg  19194  ghmrn  19195  resghm  19198  ghmpreima  19204  ghmeql  19205  ghmnsgima  19206  ghmnsgpreima  19207  ghmeqker  19209  ghmf1  19212  kerf1ghm  19213  ghmf1o  19214  gimcnv  19233  ghmqusnsglem1  19246  ghmqusnsg  19248  ghmquskerlem1  19249  ghmquskerco  19250  ghmquskerlem3  19252  ghmqusker  19253  lactghmga  19371  frgpup3lem  19743  frgpup3  19744  ghmplusg  19812  isrnghmmul  20413  rnghmf  20419  rhmf  20455  isrhm2d  20458  lmhmf  21024  lmhmpropd  21063  frgpcyg  21548  psgninv  21557  zrhpsgninv  21560  evpmss  21561  psgnevpmb  21562  psgnodpm  21563  zrhpsgnevpm  21566  zrhpsgnodpm  21567  evlslem2  22055  nmoi  24711  nmoix  24712  nmoi2  24713  nmoleub  24714  nmoeq0  24719  nmoco  24720  nmotri  24722  nmods  24727  nghmcn  24728  aks6d1c1p2  42594  aks6d1c1p3  42595  aks6d1c5lem1  42621