Theorem ghmf 19289

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19285	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 499	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  Grpcgrp 18999   GrpHom cghm 19282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8825  df-ghm 19283

This theorem is referenced by:  ghmid  19291  ghminv  19292  ghmsub  19293  ghmmhm  19295  ghmmulg  19297  ghmrn  19298  resghm  19301  ghmpreima  19307  ghmeql  19308  ghmnsgima  19309  ghmnsgpreima  19310  ghmeqker  19312  ghmf1  19315  kerf1ghm  19316  ghmf1o  19317  gimcnv  19336  ghmqusnsglem1  19349  ghmqusnsg  19351  ghmquskerlem1  19352  ghmquskerco  19353  ghmquskerlem3  19355  ghmqusker  19356  lactghmga  19474  frgpup3lem  19846  frgpup3  19847  ghmplusg  19915  isrnghmmul  20523  rnghmf  20529  rhmf  20565  isrhm2d  20568  lmhmf  21132  lmhmpropd  21171  frgpcyg  21691  psgninv  21700  zrhpsgninv  21703  evpmss  21704  psgnevpmb  21705  psgnodpm  21706  zrhpsgnevpm  21709  zrhpsgnodpm  21710  evlslem2  22198  nmoi  24853  nmoix  24854  nmoi2  24855  nmoleub  24856  nmoeq0  24861  nmoco  24862  nmotri  24864  nmods  24869  nghmcn  24870  aks6d1c1p2  42765  aks6d1c1p3  42766  aks6d1c5lem1  42792