Theorem ghmf 19446

Description: A group homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ghmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
ghmf.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
ghmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem ghmf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ghmf.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
2		ghmf.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
5	1, 2, 3, 4	isghm 19442	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥)))))
6	5	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑦(+g‘𝑆)𝑥)) = ((𝐹‘𝑦)(+g‘𝑇)(𝐹‘𝑥))))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  +_gcplusg 17440  Grpcgrp 19156   GrpHom cghm 19439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-map 8860  df-ghm 19440

This theorem is used by:  ghmid  19448  ghminv  19449  ghmsub  19450  ghmmhm  19452  ghmmulg  19454  ghmrn  19455  resghm  19458  ghmpreima  19464  ghmeql  19465  ghmnsgima  19466  ghmnsgpreima  19467  ghmeqker  19469  ghmf1  19472  kerf1ghm  19473  ghmf1o  19474  gimcnv  19493  ghmqusnsglem1  19506  ghmqusnsg  19508  ghmquskerlem1  19509  ghmquskerco  19510  ghmquskerlem3  19512  ghmqusker  19513  lactghmga  19631  frgpup3lem  20003  frgpup3  20004  ghmplusg  20072  isrnghmmul  20684  rnghmf  20690  rhmf  20727  isrhm2d  20733  lmhmf  21321  lmhmpropd  21360  frgpcyg  21891  psgninv  21900  zrhpsgninv  21903  evpmss  21904  psgnevpmb  21905  psgnodpm  21906  zrhpsgnevpm  21909  zrhpsgnodpm  21910  evlslem2  22400  nmoi  25059  nmoix  25060  nmoi2  25061  nmoleub  25062  nmoeq0  25067  nmoco  25068  nmotri  25070  nmods  25075  nghmcn  25076  aks6d1c1p2  43299  aks6d1c1p3  43300  aks6d1c5lem1  43326