Theorem glbsscl 50220

Description: If a subset of 𝑆 contains the GLB of 𝑆, then the two sets have the same GLB. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubsscl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubsscl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
glbsscl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbsscl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
glbsscl.x	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
glbsscl	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆)))

Proof of Theorem glbsscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubsscl.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		glbsscl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		lubsscl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
6		glbsscl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7	2, 3, 4, 5, 6	glbelss 18554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
8	1, 7	sstrd 3923	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
9		glbsscl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)
10	8, 9	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
11	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Poset)
12	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
13	1	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑆)
14	2, 3, 4, 11, 12, 13	glble 18559	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦)
15	14	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦)
16		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑆) → (𝑧(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
17		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦)
18	9	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)
19	16, 17, 18	rspcdva 3581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))
20	19	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
21	20	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
22		breq1 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦))
23	22	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦))
24		breq2 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (𝑧(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
25	24	imbi2d 343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
26	25	ralbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
27	23, 26	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))))
28	27	rspcev 3580	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
29	10, 15, 21, 28	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
30		biid 264	. . . 4 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
31	2, 3, 4, 30, 5	glbeldm2 50216	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
32	8, 29, 31	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ dom 𝐺)
33		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
34	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
35	3, 33, 34, 5, 8, 10, 14, 19	posglbdg 18602	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆))
36	32, 35	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  lecple 17450  Posetcpo 18496  glbcglb 18499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ple 17463  df-odu 18476  df-proset 18483  df-poset 18502  df-lub 18533  df-glb 18534

This theorem is used by: (None)