Theorem glbsscl 49583

Description: If a subset of 𝑆 contains the GLB of 𝑆, then the two sets have the same GLB. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubsscl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubsscl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
glbsscl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbsscl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
glbsscl.x	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
glbsscl	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆)))

Proof of Theorem glbsscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubsscl.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		glbsscl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		lubsscl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
6		glbsscl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7	2, 3, 4, 5, 6	glbelss 18398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
8	1, 7	sstrd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
9		glbsscl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)
10	8, 9	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
11	5	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Poset)
12	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
13	1	sselda 3937	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑆)
14	2, 3, 4, 11, 12, 13	glble 18403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦)
15	14	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦)
16		breq2 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑆) → (𝑧(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
17		simp3 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦)
18	9	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)
19	16, 17, 18	rspcdva 3583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))
20	19	3expia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
21	20	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
22		breq1 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦))
23	22	ralbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦))
24		breq2 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (𝑧(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
25	24	imbi2d 342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
26	25	ralbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
27	23, 26	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))))
28	27	rspcev 3582	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
29	10, 15, 21, 28	syl12anc 847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
30		biid 263	. . . 4 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
31	2, 3, 4, 30, 5	glbeldm2 49579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
32	8, 29, 31	mpbir2and 723	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ dom 𝐺)
33		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
34	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
35	3, 33, 34, 5, 8, 10, 14, 19	posglbdg 18446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆))
36	32, 35	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5101  dom cdm 5648  ‘cfv 6522  Basecbs 17246  lecple 17294  Posetcpo 18340  glbcglb 18343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ple 17307  df-odu 18320  df-proset 18327  df-poset 18346  df-lub 18377  df-glb 18378

This theorem is referenced by: (None)