Theorem glbsscl 48758

Description: If a subset of 𝑆 contains the GLB of 𝑆, then the two sets have the same GLB. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubsscl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
lubsscl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
glbsscl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
glbsscl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
glbsscl.x	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
glbsscl	⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆)))

Proof of Theorem glbsscl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubsscl.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝑆)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4		glbsscl.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
5		lubsscl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
6		glbsscl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
7	2, 3, 4, 5, 6	glbelss 18425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐾))
8	1, 7	sstrd 4006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐾))
9		glbsscl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)
10	8, 9	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
11	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Poset)
12	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ dom 𝐺)
13	1	sselda 3995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑆)
14	2, 3, 4, 11, 12, 13	glble 18430	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦)
15	14	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦)
16		breq2 5152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑆) → (𝑧(le‘𝐾)𝑦 ↔ 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
17		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦)
18	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝑇)
19	16, 17, 18	rspcdva 3623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦) → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))
20	19	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
21	20	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
22		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦))
23	22	ralbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦))
24		breq2 5152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (𝑧(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))
25	24	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
26	25	ralbidv 3176	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆))))
27	23, 26	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑆) → ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))))
28	27	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (∀𝑦 ∈ 𝑇 (𝐺‘𝑆)(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)(𝐺‘𝑆)))) → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
29	10, 15, 21, 28	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
30		biid 261	. . . 4 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
31	2, 3, 4, 30, 5	glbeldm2 48754	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑇 ⊆ (Base‘𝐾) ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑥(le‘𝐾)𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑧(le‘𝐾)𝑦 → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))))
32	8, 29, 31	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ dom 𝐺)
33		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾))
34	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (glb‘𝐾))
35	3, 33, 34, 5, 8, 10, 14, 19	posglbdg 18473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆))
36	32, 35	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘𝑇) = (𝐺‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  glbcglb 18368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ple 17318  df-odu 18344  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405

This theorem is referenced by: (None)