Theorem gricen 48547

Description: Isomorphic graphs have equinumerous sets of vertices. (Contributed by AV, 3-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gricen.b	⊢ 𝐵 = (Vtx‘𝑅)
gricen.c	⊢ 𝐶 = (Vtx‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
gricen	⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝐵 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem gricen

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brgric 48534	. 2 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 ↔ (𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅)
2		n0 4305	. . 3 ⊢ ((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆))
3		gricen.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Vtx‘𝑅)
4		gricen.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (Vtx‘𝑆)
5	3, 4	grimf1o 48506	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) → 𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶)
6	3	fvexi 6881	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
7	6	f1oen 8953	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐵–1-1-onto→𝐶 → 𝐵 ≈ 𝐶)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) → 𝐵 ≈ 𝐶)
9	8	exlimiv 1950	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GraphIso 𝑆) → 𝐵 ≈ 𝐶)
10	2, 9	sylbi 219	. 2 ⊢ ((𝑅 GraphIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝐵 ≈ 𝐶)
11	1, 10	sylbi 219	1 ⊢ (𝑅 ≃𝑔𝑟 𝑆 → 𝐵 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560  ∃wex 1799   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∅c0 4285   class class class wbr 5100  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ≈ cen 8924  Vtxcvtx 29197   GraphIso cgrim 48497   ≃_𝑔𝑟 cgric 48498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8437  df-map 8810  df-en 8928  df-grim 48500  df-gric 48503

This theorem is referenced by: (None)