Theorem opstrgric 48404

Description: A graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges is isomorphic to a hypergraph represented as ordered pair with the same vertices and edges. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opstrgric.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
opstrgric.h	⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
opstrgric	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

Proof of Theorem opstrgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		opstrgric.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}
3		prex 5381	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ V)
6		opvtxfv 29075	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
7	6	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
8		opstrgric.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	8	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
11	2	struct2grvtx 29098	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
14		opiedgfv 29078	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
15	14	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
16	8	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
18	2	struct2griedg 29099	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
19	18	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐺 ∈ UHGraph)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ∈ UHGraph)
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐻 ∈ V)
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
29	22, 24, 26, 28	grimidvtxedg 48363	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → ( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
30		brgrici 48391	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
32	1, 5, 13, 20, 31	syl22anc 839	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   I cid 5526   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  ndxcnx 17165  Basecbs 17181  .efcedgf 29059  Vtxcvtx 29067  iEdgciedg 29068  UHGraphcuhgr 29127   GraphIso cgrim 48353   ≃_𝑔𝑟 cgric 48354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-7 12251  df-8 12252  df-9 12253  df-n0 12440  df-xnn0 12513  df-z 12527  df-dec 12647  df-uz 12791  df-fz 13464  df-hash 14295  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-edgf 29060  df-vtx 29069  df-iedg 29070  df-uhgr 29129  df-grim 48356  df-gric 48359

This theorem is referenced by: (None)