Theorem opstrgric 48719

Description: A graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges is isomorphic to a hypergraph represented as ordered pair with the same vertices and edges. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opstrgric.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
opstrgric.h	⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
opstrgric	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

Proof of Theorem opstrgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		opstrgric.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}
3		prex 5409	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2859	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ V)
6		opvtxfv 29363	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
7	6	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
8		opstrgric.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	8	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
11	2	struct2grvtx 29386	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
14		opiedgfv 29366	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
15	14	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
16	8	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
18	2	struct2griedg 29387	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
19	18	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
21		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐺 ∈ UHGraph)
22	21	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ∈ UHGraph)
23		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐻 ∈ V)
25		simpl 487	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
26	25	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
27		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
28	27	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
29	22, 24, 26, 28	grimidvtxedg 48678	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → ( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
30		brgrici 48706	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
31	29, 30	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
32	1, 5, 13, 20, 31	syl22anc 851	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   I cid 5555   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ndxcnx 17257  Basecbs 17273  .efcedgf 29347  Vtxcvtx 29355  iEdgciedg 29356  UHGraphcuhgr 29415   GraphIso cgrim 48668   ≃_𝑔𝑟 cgric 48669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-hash 14372  df-struct 17211  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-edgf 29348  df-vtx 29357  df-iedg 29358  df-uhgr 29417  df-grim 48671  df-gric 48674

This theorem is used by: (None)