Theorem opstrgric 47939

Description: A graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges is isomorphic to a hypergraph represented as ordered pair with the same vertices and edges. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opstrgric.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
opstrgric.h	⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
opstrgric	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

Proof of Theorem opstrgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		opstrgric.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}
3		prex 5407	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ V)
6		opvtxfv 28983	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
7	6	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
8		opstrgric.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	8	fveq2i 6879	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
11	2	struct2grvtx 29006	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
14		opiedgfv 28986	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
15	14	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
16	8	fveq2i 6879	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
18	2	struct2griedg 29007	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
19	18	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2780	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐺 ∈ UHGraph)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ∈ UHGraph)
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐻 ∈ V)
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
29	22, 24, 26, 28	grimidvtxedg 47898	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → ( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
30		brgrici 47926	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
32	1, 5, 13, 20, 31	syl22anc 838	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  {cpr 4603  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119   I cid 5547   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  .efcedgf 28967  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  UHGraphcuhgr 29035   GraphIso cgrim 47888   ≃_𝑔𝑟 cgric 47889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-edgf 28968  df-vtx 28977  df-iedg 28978  df-uhgr 29037  df-grim 47891  df-gric 47894

This theorem is referenced by: (None)