Theorem opstrgric 48418

Description: A graph represented as an extensible structure with vertices as base set and indexed edges is isomorphic to a hypergraph represented as ordered pair with the same vertices and edges. (Contributed by AV, 11-Nov-2022.) (Revised by AV, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
opstrgric.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
opstrgric.h	⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
opstrgric	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

Proof of Theorem opstrgric

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ UHGraph)
2		opstrgric.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩}
3		prex 5377	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨(.ef‘ndx), 𝐸⟩} ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2833	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ V)
6		opvtxfv 29091	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
7	6	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝑉)
8		opstrgric.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	8	fveq2i 6839	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
11	2	struct2grvtx 29114	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
12	11	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
14		opiedgfv 29094	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
15	14	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩) = 𝐸)
16	8	fveq2i 6839	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩)
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘⟨𝑉, 𝐸⟩))
18	2	struct2griedg 29115	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
19	18	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐻) = 𝐸)
20	15, 17, 19	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
21		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐺 ∈ UHGraph)
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ∈ UHGraph)
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐻 ∈ V)
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻))
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻)) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))
29	22, 24, 26, 28	grimidvtxedg 48377	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → ( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻))
30		brgrici 48405	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Vtx‘𝐺)) ∈ (𝐺 GraphIso 𝐻) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ ((Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐻) ∧ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐻))) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)
32	1, 5, 13, 20, 31	syl22anc 839	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ≃𝑔𝑟 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   I cid 5520   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  .efcedgf 29075  Vtxcvtx 29083  iEdgciedg 29084  UHGraphcuhgr 29143   GraphIso cgrim 48367   ≃_𝑔𝑟 cgric 48368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-hash 14288  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29076  df-vtx 29085  df-iedg 29086  df-uhgr 29145  df-grim 48370  df-gric 48373

This theorem is referenced by: (None)