MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocls 23272
Description: Homeomorphisms preserve closures. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoopn.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeocls ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))

Proof of Theorem hmeocls
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 23265 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2 hmeoopn.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
32cncls2i 22774 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
41, 3sylan 581 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
5 imacnvcnv 6206 . . . 4 (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
65fveq2i 6895 . . 3 ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴))
7 imacnvcnv 6206 . . 3 (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) = (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
84, 6, 73sstr3g 4027 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
9 hmeocn 23264 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
102cnclsi 22776 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)))
119, 10sylan 581 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)))
128, 11eqssd 4000 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3949   cuni 4909  ccnv 5676  cima 5680  cfv 6544  (class class class)co 7409  clsccl 22522   Cn ccn 22728  Homeochmeo 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-top 22396  df-topon 22413  df-cld 22523  df-cls 22525  df-cn 22731  df-hmeo 23259
This theorem is referenced by:  reghmph  23297  nrmhmph  23298  snclseqg  23620
  Copyright terms: Public domain W3C validator