MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeocls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmeocls 23025
Description: Homeomorphisms preserve closures. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeoopn.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeocls ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))

Proof of Theorem hmeocls
StepHypRef Expression
1 hmeocnvcn 23018 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2 hmeoopn.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
32cncls2i 22527 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
41, 3sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
5 imacnvcnv 6144 . . . 4 (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
65fveq2i 6828 . . 3 ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴))
7 imacnvcnv 6144 . . 3 (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) = (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
84, 6, 73sstr3g 3976 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) ⊆ (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
9 hmeocn 23017 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
102cnclsi 22529 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)))
119, 10sylan 580 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)))
128, 11eqssd 3949 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝐴)) = (𝐹 “ ((cls‘𝐽)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3898   cuni 4852  ccnv 5619  cima 5623  cfv 6479  (class class class)co 7337  clsccl 22275   Cn ccn 22481  Homeochmeo 23010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-map 8688  df-top 22149  df-topon 22166  df-cld 22276  df-cls 22278  df-cn 22484  df-hmeo 23012
This theorem is referenced by:  reghmph  23050  nrmhmph  23051  snclseqg  23373
  Copyright terms: Public domain W3C validator