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Theorem mndpluscn 32571
Description: A mapping that is both a homeomorphism and a monoid homomorphism preserves the "continuousness" of the operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpluscn.f 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)
mndpluscn.p + :(𝐡 Γ— 𝐡)⟢𝐡
mndpluscn.t βˆ— :(𝐢 Γ— 𝐢)⟢𝐢
mndpluscn.j 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅)
mndpluscn.k 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜πΆ)
mndpluscn.h ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦)))
mndpluscn.o + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Assertion
Ref Expression
mndpluscn βˆ— ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑦, βˆ— ,π‘₯   𝑦, +   𝑦,𝐹   π‘₯, +   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑦)   𝐽(π‘₯,𝑦)   𝐾(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem mndpluscn
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mndpluscn.t . . . 4 βˆ— :(𝐢 Γ— 𝐢)⟢𝐢
2 ffn 6672 . . . 4 ( βˆ— :(𝐢 Γ— 𝐢)⟢𝐢 β†’ βˆ— Fn (𝐢 Γ— 𝐢))
3 fnov 7491 . . . . 5 ( βˆ— Fn (𝐢 Γ— 𝐢) ↔ βˆ— = (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ž βˆ— 𝑏)))
43biimpi 215 . . . 4 ( βˆ— Fn (𝐢 Γ— 𝐢) β†’ βˆ— = (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ž βˆ— 𝑏)))
51, 2, 4mp2b 10 . . 3 βˆ— = (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ž βˆ— 𝑏))
6 mndpluscn.f . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾)
7 mndpluscn.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅)
87toponunii 22288 . . . . . . . . . 10 𝐡 = βˆͺ 𝐽
9 mndpluscn.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜πΆ)
109toponunii 22288 . . . . . . . . . 10 𝐢 = βˆͺ 𝐾
118, 10hmeof1o 23138 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐢)
126, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐢
13 f1ocnvdm 7235 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐢 ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
1412, 13mpan 689 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝐢 β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡)
15 f1ocnvdm 7235 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
1612, 15mpan 689 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ 𝐢 β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐡)
1714, 16anim12i 614 . . . . . 6 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐡))
18 mndpluscn.h . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦)))
1918rgen2 3191 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦))
20 fvoveq1 7384 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + 𝑦)))
21 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)))
2221oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦)))
2320, 22eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (π‘₯ = (β—‘πΉβ€˜π‘Ž) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + 𝑦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦))))
24 oveq2 7369 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + 𝑦) = ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘)))
2524fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘) β†’ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + 𝑦)) = (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))))
26 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))
2726oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))))
2825, 27eqeq12d 2749 . . . . . . 7 (𝑦 = (β—‘πΉβ€˜π‘) β†’ ((πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + 𝑦)) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)))))
2923, 28rspc2va 3593 . . . . . 6 ((((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐡) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑦)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ— (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))))
3017, 19, 29sylancl 587 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))) = ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))))
31 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐢 ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = π‘Ž)
3212, 31mpan 689 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝐢 β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) = π‘Ž)
33 f1ocnvfv2 7227 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑏)
3412, 33mpan 689 . . . . . 6 (𝑏 ∈ 𝐢 β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘)) = 𝑏)
3532, 34oveqan12d 7380 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) βˆ— (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘))) = (π‘Ž βˆ— 𝑏))
3630, 35eqtr2d 2774 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Ž βˆ— 𝑏) = (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))))
3736mpoeq3ia 7439 . . 3 (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (π‘Ž βˆ— 𝑏)) = (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))))
385, 37eqtri 2761 . 2 βˆ— = (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))))
399a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜πΆ))
4039, 39cnmpt1st 23042 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ π‘Ž) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
41 hmeocnvcn 23135 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
426, 41mp1i 13 . . . . . 6 (⊀ β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
4339, 39, 40, 42cnmpt21f 23046 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (β—‘πΉβ€˜π‘Ž)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
4439, 39cnmpt2nd 23043 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ 𝑏) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
4539, 39, 44, 42cnmpt21f 23046 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (β—‘πΉβ€˜π‘)) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
46 mndpluscn.o . . . . . 6 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
4746a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4839, 39, 43, 45, 47cnmpt22f 23049 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ ((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐽))
49 hmeocn 23134 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
506, 49mp1i 13 . . . 4 (⊀ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5139, 39, 48, 50cnmpt21f 23046 . . 3 (⊀ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘)))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾))
5251mptru 1549 . 2 (π‘Ž ∈ 𝐢, 𝑏 ∈ 𝐢 ↦ (πΉβ€˜((β—‘πΉβ€˜π‘Ž) + (β—‘πΉβ€˜π‘)))) ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
5338, 52eqeltri 2830 1 βˆ— ∈ ((𝐾 Γ—t 𝐾) Cn 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6499  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∈ cmpo 7363  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598   Γ—t ctx 22934  Homeochmeo 23127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-topgen 17333  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cn 22601  df-tx 22936  df-hmeo 23129
This theorem is referenced by:  mhmhmeotmd  32572  xrge0pluscn  32585
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