Theorem i1frn 25632

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1frn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25629	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp2d 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896  {csn 4578  ^◡ccnv 5621  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  Fincfn 8881  ℝcr 11023  0cc0 11024  volcvol 25418  MblFncmbf 25569  ∫₁citg1 25570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-sum 15608  df-itg1 25575

This theorem is referenced by:  i1fima  25633  itg1cl  25640  itg1ge0  25641  i1fadd  25650  i1fmul  25651  itg1addlem4  25654  itg1addlem5  25655  i1fmulc  25658  itg1mulc  25659  i1fres  25660  itg10a  25665  itg1ge0a  25666  itg1climres  25669  itg2addnclem2  37812  ftc1anclem3  37835  ftc1anclem6  37838  ftc1anclem7  37839  ftc1anc  37841