Theorem i1frn 26010

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1frn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 26007	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp2d 1161	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 4047  {csn 4587  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  Fincfn 8984  ℝcr 11209  0cc0 11210  volcvol 25796  MblFncmbf 25947  ∫₁citg1 25948

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-sum 15866  df-itg1 25953

This theorem is used by:  i1fima  26011  itg1cl  26018  itg1ge0  26019  i1fadd  26028  i1fmul  26029  itg1addlem4  26032  itg1addlem5  26033  i1fmulc  26036  itg1mulc  26037  i1fres  26038  itg10a  26043  itg1ge0a  26044  itg1climres  26047  itg2addnclem2  38730  ftc1anclem3  38753  ftc1anclem6  38756  ftc1anclem7  38757  ftc1anc  38759