MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1frn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1frn 25185
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1frn (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn
StepHypRef Expression
1 isi1f 25182 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
21simprbi 497 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
32simp2d 1143 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3944  {csn 4627  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  volcvol 24971  MblFncmbf 25122  βˆ«1citg1 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-sum 15629  df-itg1 25128
This theorem is referenced by:  i1fima  25186  itg1cl  25193  itg1ge0  25194  i1fadd  25203  i1fmul  25204  itg1addlem4  25207  itg1addlem4OLD  25208  itg1addlem5  25209  i1fmulc  25212  itg1mulc  25213  i1fres  25214  itg10a  25219  itg1ge0a  25220  itg1climres  25223  itg2addnclem2  36528  ftc1anclem3  36551  ftc1anclem6  36554  ftc1anclem7  36555  ftc1anc  36557
  Copyright terms: Public domain W3C validator