Theorem i1frn 25657

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1frn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25654	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp2d 1144	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887  {csn 4568  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  Fincfn 8887  ℝcr 11031  0cc0 11032  volcvol 25443  MblFncmbf 25594  ∫₁citg1 25595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-sum 15643  df-itg1 25600

This theorem is referenced by:  i1fima  25658  itg1cl  25665  itg1ge0  25666  i1fadd  25675  i1fmul  25676  itg1addlem4  25679  itg1addlem5  25680  i1fmulc  25683  itg1mulc  25684  i1fres  25685  itg10a  25690  itg1ge0a  25691  itg1climres  25694  itg2addnclem2  38010  ftc1anclem3  38033  ftc1anclem6  38036  ftc1anclem7  38037  ftc1anc  38039