MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1frn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1frn 25044
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1frn (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn
StepHypRef Expression
1 isi1f 25041 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
21simprbi 498 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ))
32simp2d 1144 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908  {csn 4587  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  Fincfn 8884  β„cr 11051  0cc0 11052  volcvol 24830  MblFncmbf 24981  βˆ«1citg1 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-sum 15572  df-itg1 24987
This theorem is referenced by:  i1fima  25045  itg1cl  25052  itg1ge0  25053  i1fadd  25062  i1fmul  25063  itg1addlem4  25066  itg1addlem4OLD  25067  itg1addlem5  25068  i1fmulc  25071  itg1mulc  25072  i1fres  25073  itg10a  25078  itg1ge0a  25079  itg1climres  25082  itg2addnclem2  36133  ftc1anclem3  36156  ftc1anclem6  36159  ftc1anclem7  36160  ftc1anc  36162
  Copyright terms: Public domain W3C validator