Theorem i1frn 25851

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1frn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25848	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp2d 1161	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905  {csn 4592  ^◡ccnv 5663  dom cdm 5664  ran crn 5665   “ cima 5667  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Fincfn 8945  ℝcr 11109  0cc0 11110  volcvol 25637  MblFncmbf 25788  ∫₁citg1 25789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pr 5407

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4491  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-sum 15749  df-itg1 25794

This theorem is used by:  i1fima  25852  itg1cl  25859  itg1ge0  25860  i1fadd  25869  i1fmul  25870  itg1addlem4  25873  itg1addlem5  25874  i1fmulc  25877  itg1mulc  25878  i1fres  25879  itg10a  25884  itg1ge0a  25885  itg1climres  25888  itg2addnclem2  38355  ftc1anclem3  38378  ftc1anclem6  38381  ftc1anclem7  38382  ftc1anc  38384