Theorem i1frn 25906

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1frn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25903	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp2d 1161	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Fincfn 8953  ℝcr 11124  0cc0 11125  volcvol 25692  MblFncmbf 25843  ∫₁citg1 25844

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-sum 15775  df-itg1 25849

This theorem is used by:  i1fima  25907  itg1cl  25914  itg1ge0  25915  i1fadd  25924  i1fmul  25925  itg1addlem4  25928  itg1addlem5  25929  i1fmulc  25932  itg1mulc  25933  i1fres  25934  itg10a  25939  itg1ge0a  25940  itg1climres  25943  itg2addnclem2  38422  ftc1anclem3  38445  ftc1anclem6  38448  ftc1anclem7  38449  ftc1anc  38451