Theorem i1frn 25576

Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1frn	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25573	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp2d 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900  {csn 4577  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   “ cima 5622  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  ℝcr 11008  0cc0 11009  volcvol 25362  MblFncmbf 25513  ∫₁citg1 25514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-sum 15594  df-itg1 25519

This theorem is referenced by:  i1fima  25577  itg1cl  25584  itg1ge0  25585  i1fadd  25594  i1fmul  25595  itg1addlem4  25598  itg1addlem5  25599  i1fmulc  25602  itg1mulc  25603  i1fres  25604  itg10a  25609  itg1ge0a  25610  itg1climres  25613  itg2addnclem2  37656  ftc1anclem3  37679  ftc1anclem6  37682  ftc1anclem7  37683  ftc1anc  37685