MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1frn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1frn 24270
Description: A simple function has finite range. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1frn (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)

Proof of Theorem i1frn
StepHypRef Expression
1 isi1f 24267 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
21simprbi 500 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
32simp2d 1140 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084  wcel 2115  cdif 3915  {csn 4548  ccnv 5535  dom cdm 5536  ran crn 5537  cima 5539  wf 6332  cfv 6336  Fincfn 8492  cr 10521  0cc0 10522  volcvol 24056  MblFncmbf 24207  1citg1 24208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pr 5311
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-fv 6344  df-sum 15032  df-itg1 24213
This theorem is referenced by:  i1fima  24271  itg1cl  24278  itg1ge0  24279  i1fadd  24288  i1fmul  24289  itg1addlem4  24292  itg1addlem5  24293  i1fmulc  24296  itg1mulc  24297  i1fres  24298  itg10a  24303  itg1ge0a  24304  itg1climres  24307  itg2addnclem2  35009  ftc1anclem3  35032  ftc1anclem6  35035  ftc1anclem7  35036  ftc1anc  35038
  Copyright terms: Public domain W3C validator