Theorem itg10a 26061

Description: The integral of a simple function supported on a nullset is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg10a.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)

Assertion

Ref	Expression
itg10a	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg10a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10a.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		itg1val 26034	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
4		i1ff 26027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	ffnd 6732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
8		fniniseg 7083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
9	7, 8	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
10		eldifsni 4753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
11	10	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ≠ 0)
12		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		eldif 4052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
15		itg10a.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
16	15	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
17	14, 16	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 𝑘 = 0)
18	17	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑘 = 0))
19	13, 18	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 0))
20	12, 19	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑘 = 0))
21	20	necon1ad 2976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝐴))
22	11, 21	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘) → 𝑥 ∈ 𝐴))
24	9, 23	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐴))
25	24	ssrdv 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
26		itg10a.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	25, 27	sstrd 3923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
29		itg10a.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘𝐴) = 0)
31		ovolssnul 25838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
33		nulmbl 25886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
34	28, 32, 33	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
35		mblvol 25881	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
37	36, 32	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
38	37	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
39	5	frnd 6740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
40	39	ssdifssd 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
41	40	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	recnd 11364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
43	42	mul01d 11536	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · 0) = 0)
44	38, 43	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
45	44	sumeq2dv 15898	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0)
46		i1frn 26028	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
47	1, 46	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
48		difss 4075	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
49		ssfi 9216	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
50	47, 48, 49	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
51	50	olcd 888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin))
52		sumz 15917	. . . 4 ⊢ (((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
53	51, 52	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
54	45, 53	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
55	3, 54	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  ℝcr 11226  0cc0 11227   · cmul 11232  ℤ_≥cuz 12992  Σcsu 15882  vol*covol 25813  volcvol 25814  ∫₁citg1 25966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-sum 15883  df-ovol 25815  df-vol 25816  df-itg1 25971

This theorem is used by:  itg2addnclem  38781