MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg10a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg10a 25595
Description: The integral of a simple function supported on a nullset is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg10a.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
Assertion
Ref Expression
itg10a (𝜑 → (∫1𝐹) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg10a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
2 itg1val 25567 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
4 i1ff 25560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
51, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
65ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
8 fniniseg 7055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
10 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
1110ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ≠ 0)
12 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 eldif 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
14 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
15 itg10a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
1615ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
1714, 16eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 𝑘 = 0)
1817ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑘 = 0))
1913, 18biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑘 = 0))
2012, 19mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥𝐴𝑘 = 0))
2120necon1ad 2951 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑥𝐴))
2211, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥𝐴)
2322ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘) → 𝑥𝐴))
249, 23sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥𝐴))
2524ssrdv 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
26 itg10a.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2825, 27sstrd 3987 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
29 itg10a.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘𝐴) = 0)
31 ovolssnul 25371 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
3225, 27, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
33 nulmbl 25419 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
3428, 32, 33syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
35 mblvol 25414 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
3736, 32eqtrd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
3837oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
395frnd 6719 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4039ssdifssd 4137 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
4140sselda 3977 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 11246 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
4342mul01d 11417 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · 0) = 0)
4438, 43eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
4544sumeq2dv 15655 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0)
46 i1frn 25561 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
48 difss 4126 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
49 ssfi 9175 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5047, 48, 49sylancl 585 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5150olcd 871 . . . 4 (𝜑 → ((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin))
52 sumz 15674 . . . 4 (((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
5351, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
5445, 53eqtrd 2766 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
553, 54eqtrd 2766 1 (𝜑 → (∫1𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  cdif 3940  wss 3943  {csn 4623  ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670  cima 5672   Fn wfn 6532  wf 6533  cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  cr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117  cuz 12826  Σcsu 15638  vol*covol 25346  volcvol 25347  1citg1 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-itg1 25504
This theorem is referenced by:  itg2addnclem  37052
  Copyright terms: Public domain W3C validator