MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg10a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg10a 24292
Description: The integral of a simple function supported on a nullset is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg10a.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
Assertion
Ref Expression
itg10a (𝜑 → (∫1𝐹) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg10a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
2 itg1val 24265 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
4 i1ff 24258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
51, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
65ffnd 6488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
76adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
8 fniniseg 6803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
10 eldifsni 4695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ≠ 0)
12 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
14 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
15 itg10a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
1615ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
1714, 16eqtr3d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 𝑘 = 0)
1817ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑘 = 0))
1913, 18syl5bir 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑘 = 0))
2012, 19mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥𝐴𝑘 = 0))
2120necon1ad 3024 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑥𝐴))
2211, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥𝐴)
2322ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘) → 𝑥𝐴))
249, 23sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥𝐴))
2524ssrdv 3949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
26 itg10a.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2726adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2825, 27sstrd 3953 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
29 itg10a.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
3029adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘𝐴) = 0)
31 ovolssnul 24069 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
3225, 27, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
33 nulmbl 24117 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
3428, 32, 33syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
35 mblvol 24112 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
3736, 32eqtrd 2856 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
3837oveq2d 7146 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
395frnd 6494 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4039ssdifssd 4095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
4140sselda 3943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 10646 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
4342mul01d 10816 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · 0) = 0)
4438, 43eqtrd 2856 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
4544sumeq2dv 15039 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0)
46 i1frn 24259 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
48 difss 4084 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
49 ssfi 8714 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5047, 48, 49sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5150olcd 871 . . . 4 (𝜑 → ((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin))
52 sumz 15058 . . . 4 (((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
5351, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
5445, 53eqtrd 2856 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
553, 54eqtrd 2856 1 (𝜑 → (∫1𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  cdif 3907  wss 3910  {csn 4540  ccnv 5527  dom cdm 5528  ran crn 5529  cima 5531   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  Fincfn 8484  cr 10513  0cc0 10514   · cmul 10519  cuz 12221  Σcsu 15021  vol*covol 24044  volcvol 24045  1citg1 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-ovol 24046  df-vol 24047  df-itg1 24202
This theorem is referenced by:  itg2addnclem  34988
  Copyright terms: Public domain W3C validator