MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg10a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg10a 25228
Description: The integral of a simple function supported on a nullset is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
itg10a.3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
itg10a.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
Assertion
Ref Expression
itg10a (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = 0)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Proof of Theorem itg10a
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
2 itg1val 25200 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
4 i1ff 25193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
51, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
65ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
8 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
10 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘˜ β‰  0)
12 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
13 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴))
14 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)
15 itg10a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
1615ad4ant14 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
1714, 16eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) ∧ π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴)) β†’ π‘˜ = 0)
1817ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– 𝐴) β†’ π‘˜ = 0))
1913, 18biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ = 0))
2012, 19mpand 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘˜ = 0))
2120necon1ad 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ (π‘˜ β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
2211, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2322ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
249, 23sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴))
2524ssrdv 3989 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴)
26 itg10a.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2825, 27sstrd 3993 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
29 itg10a.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
3029adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
31 ovolssnul 25004 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
3225, 27, 30, 31syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
33 nulmbl 25052 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
3428, 32, 33syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
35 mblvol 25047 . . . . . . . 8 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
3736, 32eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = 0)
3837oveq2d 7425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = (π‘˜ Β· 0))
395frnd 6726 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
4039ssdifssd 4143 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
4140sselda 3983 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
4241recnd 11242 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
4342mul01d 11413 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· 0) = 0)
4438, 43eqtrd 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = 0)
4544sumeq2dv 15649 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})0)
46 i1frn 25194 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
48 difss 4132 . . . . . 6 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
49 ssfi 9173 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
5047, 48, 49sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
5150olcd 873 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin))
52 sumz 15668 . . . 4 (((ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})0 = 0)
5351, 52syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})0 = 0)
5445, 53eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = 0)
553, 54eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  β„€β‰₯cuz 12822  Ξ£csu 15632  vol*covol 24979  volcvol 24980  βˆ«1citg1 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-itg1 25137
This theorem is referenced by:  itg2addnclem  36587
  Copyright terms: Public domain W3C validator