Theorem itg10a 25595

Description: The integral of a simple function supported on a nullset is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg10a.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg10a.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)

Assertion

Ref	Expression
itg10a	⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = 0)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg10a

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10a.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
2		itg1val 25567	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
4		i1ff 25560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	ffnd 6712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
8		fniniseg 7055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)))
10		eldifsni 4788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
11	10	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ≠ 0)
12		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13		eldif 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴))
14		simplrr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 𝑘)
15		itg10a.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
16	15	ad4ant14 749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 0)
17	14, 16	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 𝑘 = 0)
18	17	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑘 = 0))
19	13, 18	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 0))
20	12, 19	mpand 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑘 = 0))
21	20	necon1ad 2951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑥 ∈ 𝐴))
22	11, 21	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) = 𝑘) → 𝑥 ∈ 𝐴))
24	9, 23	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐴))
25	24	ssrdv 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
26		itg10a.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	25, 27	sstrd 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
29		itg10a.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘𝐴) = 0)
31		ovolssnul 25371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
32	25, 27, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
33		nulmbl 25419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((◡𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
34	28, 32, 33	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
35		mblvol 25414	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑘})))
37	36, 32	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = 0)
38	37	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
39	5	frnd 6719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
40	39	ssdifssd 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
41	40	sselda 3977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
42	41	recnd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
43	42	mul01d 11417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · 0) = 0)
44	38, 43	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
45	44	sumeq2dv 15655	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0)
46		i1frn 25561	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
47	1, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
48		difss 4126	. . . . . 6 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
49		ssfi 9175	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
50	47, 48, 49	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
51	50	olcd 871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin))
52		sumz 15674	. . . 4 ⊢ (((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
53	51, 52	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
54	45, 53	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
55	3, 54	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ^◡ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   “ cima 5672   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117  ℤ_≥cuz 12826  Σcsu 15638  vol*covol 25346  volcvol 25347  ∫₁citg1 25499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-itg1 25504

This theorem is referenced by:  itg2addnclem  37052