MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg10a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg10a 25759
Description: The integral of a simple function supported on a nullset is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
itg10a.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
itg10a.3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
itg10a.4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
Assertion
Ref Expression
itg10a (𝜑 → (∫1𝐹) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itg10a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10a.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
2 itg1val 25731 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
4 i1ff 25724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
51, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
65ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
8 fniniseg 7079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)))
10 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
1110ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑘 ≠ 0)
12 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴))
14 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 𝑘)
15 itg10a.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
1615ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑥) = 0)
1714, 16eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) ∧ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴)) → 𝑘 = 0)
1817ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐴) → 𝑘 = 0))
1913, 18biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑘 = 0))
2012, 19mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (¬ 𝑥𝐴𝑘 = 0))
2120necon1ad 2954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → (𝑘 ≠ 0 → 𝑥𝐴))
2211, 21mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘)) → 𝑥𝐴)
2322ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) = 𝑘) → 𝑥𝐴))
249, 23sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ {𝑘}) → 𝑥𝐴))
2524ssrdv 4000 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴)
26 itg10a.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2825, 27sstrd 4005 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ)
29 itg10a.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘𝐴) = 0)
31 ovolssnul 25535 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
3225, 27, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
33 nulmbl 25583 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ {𝑘}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
3428, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol)
35 mblvol 25578 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ {𝑘}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
3634, 35syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑘})))
3736, 32eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = 0)
3837oveq2d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = (𝑘 · 0))
395frnd 6744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4039ssdifssd 4156 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
4140sselda 3994 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
4241recnd 11286 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
4342mul01d 11457 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · 0) = 0)
4438, 43eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
4544sumeq2dv 15734 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0)
46 i1frn 25725 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
48 difss 4145 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
49 ssfi 9211 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5047, 48, 49sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5150olcd 874 . . . 4 (𝜑 → ((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin))
52 sumz 15754 . . . 4 (((ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
5351, 52syl 17 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})0 = 0)
5445, 53eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = 0)
553, 54eqtrd 2774 1 (𝜑 → (∫1𝐹) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630  ccnv 5687  dom cdm 5688  ran crn 5689  cima 5691   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  cuz 12875  Σcsu 15718  vol*covol 25510  volcvol 25511  1citg1 25663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-itg1 25668
This theorem is referenced by:  itg2addnclem  37657
  Copyright terms: Public domain W3C validator