MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1climres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1climres 25102
Description: Restricting the simple function 𝐹 to the increasing sequence 𝐴(𝑛) of measurable sets whose union is ℝ yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1climres.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆdom vol)
itg1climres.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)))
itg1climres.3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = ℝ)
itg1climres.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg1climres.5 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
Assertion
Ref Expression
itg1climres (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ⇝ (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem itg1climres
Dummy variables 𝑗 𝑧 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12814 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12542 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 itg1climres.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1frn 25064 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
6 difss 4095 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
7 ssfi 9123 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
9 1zzd 12542 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 1 ∈ β„€)
10 i1fima 25065 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
113, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
13 itg1climres.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆdom vol)
1413ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol)
1514adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol)
16 inmbl 24929 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
1712, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
18 mblvol 24917 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
20 inss1 4192 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜})
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
22 mblss 24918 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
2312, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
24 mblvol 24917 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
26 i1fima2sn 25067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
273, 26sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
2827adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
2925, 28eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
30 ovolsscl 24873 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3121, 23, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3219, 31eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3332fmpttd 7067 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„)
34 itg1climres.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)))
3534adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)))
36 sslin 4198 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
3813adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴:β„•βŸΆdom vol)
39 peano2nn 12173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
40 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆdom vol ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) ∈ dom vol)
4138, 39, 40syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) ∈ dom vol)
42 inmbl 24929 . . . . . . . . . . . . 13 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol ∧ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol)
4312, 41, 42syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol)
44 mblss 24918 . . . . . . . . . . . 12 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ℝ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ℝ)
46 ovolss 24872 . . . . . . . . . . 11 ((((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∧ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
4737, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
48 mblvol 24917 . . . . . . . . . . 11 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
5047, 19, 493brtr4d 5141 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
5150ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
52 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘—))
5352ineq2d 4176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))
5453fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))))
55 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
56 fvex 6859 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6952 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))))
58 peano2nn 12173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
59 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜(𝑗 + 1)))
6059ineq2d 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
6160fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
62 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ V
6361, 55, 62fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
6458, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
6557, 64breq12d 5122 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))))
6665ralbiia 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
67 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) = (π΄β€˜(𝑗 + 1)))
6867ineq2d 4176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
6968fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑗 β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
7054, 69breq12d 5122 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))))
7170cbvralvw 3224 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
7266, 71bitr4i 278 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
7351, 72sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)))
7473r19.21bi 3233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)))
75 ovolss 24872 . . . . . . . . . . 11 ((((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7620, 23, 75sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7776, 19, 253brtr4d 5141 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7877ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7957breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
8079ralbiia 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
8154breq1d 5119 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
8281cbvralvw 3224 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
8380, 82bitr4i 278 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
8478, 83sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
85 brralrspcev 5169 . . . . . . 7 (((volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8627, 84, 85syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
871, 9, 33, 74, 86climsup 15563 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) ⇝ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
8817fmpttd 7067 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆdom vol)
8937ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
90 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))
91 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (π΄β€˜π‘—) ∈ V
9291inex2 5279 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) ∈ V
9353, 90, 92fvmpt 6952 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))
94 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 (π΄β€˜(𝑗 + 1)) ∈ V
9594inex2 5279 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ V
9660, 90, 95fvmpt 6952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
9758, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
9893, 97sseq12d 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
9998ralbiia 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
10053, 68sseq12d 3981 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ↔ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
101100cbvralvw 3224 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
10299, 101bitr4i 278 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
10389, 102sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)))
104 volsup 24943 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆdom vol ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (volβ€˜βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
10588, 103, 104syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
10693iuneq2i 4979 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))
10753cbviunv 5004 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))
108 iunin2 5035 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›))
109106, 107, 1083eqtr2i 2767 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›))
110 ffn 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴:β„•βŸΆdom vol β†’ 𝐴 Fn β„•)
111 fniunfv 7198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝐴)
11213, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝐴)
113 itg1climres.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = ℝ)
114112, 113eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = ℝ)
115114adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = ℝ)
116115ineq2d 4176 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ ℝ))
11711adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
118117, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
119 df-ss 3931 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ ↔ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ ℝ) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
120118, 119sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ ℝ) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
121116, 120eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
122109, 121eqtrid 2785 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
123 ffn 6672 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆdom vol β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) Fn β„•)
124 fniunfv 7198 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
12588, 123, 1243syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
126122, 125eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
127126fveq2d 6850 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (volβ€˜βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
12833frnd 6680 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) βŠ† ℝ)
12933fdmd 6683 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = β„•)
130 1nn 12172 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•
131 ne0i 4298 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„• β†’ β„• β‰  βˆ…)
132130, 131mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ β„• β‰  βˆ…)
133129, 132eqnetrd 3008 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ…)
134 dm0rn0 5884 . . . . . . . . . 10 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = βˆ…)
135134necon3bii 2993 . . . . . . . . 9 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ…)
136133, 135sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ…)
137 ffn 6672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) Fn β„•)
138 breq1 5112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
139138ralrn 7042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
14033, 137, 1393syl 18 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
141140rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
14286, 141mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯)
143 supxrre 13255 . . . . . . . 8 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
144128, 136, 142, 143syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
145 volf 24916 . . . . . . . . . . . 12 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
146145a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
147146, 17cofmpt 7082 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (vol ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
148147rneqd 5897 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (vol ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
149 rnco2 6209 . . . . . . . . 9 ran (vol ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
150148, 149eqtr3di 2788 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
151150supeq1d 9390 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
152144, 151eqtr3d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
153105, 127, 1523eqtr4d 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
15487, 153breqtrrd 5137 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) ⇝ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
155 i1ff 25063 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
156 frn 6679 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
1573, 155, 1563syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
158157ssdifssd 4106 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
159158sselda 3948 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
160159recnd 11191 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
161 nnex 12167 . . . . . 6 β„• ∈ V
162161mptex 7177 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) ∈ V
163162a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) ∈ V)
16433ffvelcdmda 7039 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ ℝ)
165164recnd 11191 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
16654oveq2d 7377 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
167 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
168 ovex 7394 . . . . . . 7 (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))) ∈ V
169166, 167, 168fvmpt 6952 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
17057oveq2d 7377 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘˜ Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—)) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
171169, 170eqtr4d 2776 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = (π‘˜ Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
172171adantl 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = (π‘˜ Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
1731, 9, 154, 160, 163, 165, 172climmulc2 15528 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) ⇝ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
174161mptex 7177 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ∈ V
175174a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ∈ V)
176159adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
177176, 32remulcld 11193 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
178177fmpttd 7067 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))):β„•βŸΆβ„)
179178ffvelcdmda 7039 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) ∈ ℝ)
180179recnd 11191 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
181180anasss 468 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
1823adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
183 itg1climres.5 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
184183i1fres 25093 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
185182, 14, 184syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
1868adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
187 ffn 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
1883, 155, 1873syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
189188adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
190 fnfvelrn 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
191189, 190sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
192 i1f0rn 25069 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
1933, 192syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
194193ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
195191, 194ifcld 4536 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ran 𝐹)
196195, 183fmptd 7066 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐹)
197 frn 6679 . . . . . . . . 9 (𝐺:β„βŸΆran 𝐹 β†’ ran 𝐺 βŠ† ran 𝐹)
198 ssdif 4103 . . . . . . . . 9 (ran 𝐺 βŠ† ran 𝐹 β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
199196, 197, 1983syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
200157adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
201200ssdifd 4104 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
202 itg1val2 25071 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ ((ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΊ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))))
203185, 186, 199, 201, 202syl13anc 1373 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜πΊ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))))
204 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
205 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ V
206204, 205ifex 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
207183fvmpt2 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
208206, 207mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
209208adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
210209eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜))
211 eldifsni 4754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
212211ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ β‰  0)
213 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
214212, 213syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β‰  0))
215 iffalse 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = 0)
216215necon1ai 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))
217214, 216syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))
218217pm4.71rd 564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜)))
219210, 218bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜)))
220 iftrue 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
221220eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜))
222221pm5.32i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜))
223222biancomi 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))
224219, 223bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
225224pm5.32da 580 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))))
226 anass 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
227225, 226bitr4di 289 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
228 i1ff 25063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
229 ffn 6672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
230185, 228, 2293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
231230adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
232 fniniseg 7014 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
234 elin 3930 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ↔ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))
235189adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
236 fniniseg 7014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
238237anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
239234, 238bitrid 283 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
240227, 233, 2393bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
241240alrimiv 1931 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
242 nfmpt1 5217 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
243183, 242nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐺
244243nfcnv 5838 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯◑𝐺
245 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘˜}
246244, 245nfima 6025 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(◑𝐺 β€œ {π‘˜})
247 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))
248246, 247cleqf 2935 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐺 β€œ {π‘˜}) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
249241, 248sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))
250249fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜})) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
251250oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
252251sumeq2dv 15596 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
253203, 252eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜πΊ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
254253mpteq2dva 5209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))))
255254fveq1d 6848 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ))β€˜π‘—) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—))
256166sumeq2sdv 15597 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
257 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
258 sumex 15581 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))) ∈ V
259256, 257, 258fvmpt 6952 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
260169sumeq2sdv 15597 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
261259, 260eqtr4d 2776 . . . 4 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—))
262255, 261sylan9eq 2793 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—))
2631, 2, 8, 173, 175, 181, 262climfsum 15713 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
264 itg1val 25070 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
2653, 264syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
266263, 265breqtrrd 5137 1 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ⇝ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  ifcif 4490  {csn 4590  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  [,]cicc 13276   ⇝ cli 15375  Ξ£csu 15579  vol*covol 24849  volcvol 24850  βˆ«1citg1 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007
This theorem is referenced by:  itg2monolem1  25138
  Copyright terms: Public domain W3C validator