MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1climres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1climres 25231
Description: Restricting the simple function 𝐹 to the increasing sequence 𝐴(𝑛) of measurable sets whose union is ℝ yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1climres.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆdom vol)
itg1climres.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)))
itg1climres.3 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = ℝ)
itg1climres.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
itg1climres.5 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
Assertion
Ref Expression
itg1climres (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ⇝ (∫1β€˜πΉ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑛,𝐹,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem itg1climres
Dummy variables 𝑗 𝑧 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12864 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12592 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 itg1climres.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1frn 25193 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
6 difss 4131 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
7 ssfi 9172 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
85, 6, 7sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
9 1zzd 12592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 1 ∈ β„€)
10 i1fima 25194 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
113, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
1211ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
13 itg1climres.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆdom vol)
1413ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol)
1514adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol)
16 inmbl 25058 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
1712, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ∈ dom vol)
18 mblvol 25046 . . . . . . . . 9 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
20 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜})
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
22 mblss 25047 . . . . . . . . . 10 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
2312, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
24 mblvol 25046 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
26 i1fima2sn 25196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
273, 26sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
2925, 28eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
30 ovolsscl 25002 . . . . . . . . 9 ((((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3121, 23, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3219, 31eqeltrd 2833 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3332fmpttd 7114 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„)
34 itg1climres.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)))
3534adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)))
36 sslin 4234 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜π‘›) βŠ† (π΄β€˜(𝑛 + 1)) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
3813adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴:β„•βŸΆdom vol)
39 peano2nn 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
40 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴:β„•βŸΆdom vol ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) ∈ dom vol)
4138, 39, 40syl2an 596 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) ∈ dom vol)
42 inmbl 25058 . . . . . . . . . . . . 13 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol ∧ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol)
4312, 41, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol)
44 mblss 25047 . . . . . . . . . . . 12 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ℝ)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ℝ)
46 ovolss 25001 . . . . . . . . . . 11 ((((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∧ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
4737, 45, 46syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
48 mblvol 25046 . . . . . . . . . . 11 (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) = (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
5047, 19, 493brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
5150ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
52 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜π‘—))
5352ineq2d 4212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))
5453fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))))
55 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
56 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))))
58 peano2nn 12223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
59 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (π΄β€˜π‘›) = (π΄β€˜(𝑗 + 1)))
6059ineq2d 4212 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
6160fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
62 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))) ∈ V
6361, 55, 62fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
6458, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
6557, 64breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))))
6665ralbiia 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
67 fvoveq1 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π΄β€˜(𝑛 + 1)) = (π΄β€˜(𝑗 + 1)))
6867ineq2d 4212 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
6968fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑗 β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
7054, 69breq12d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))))
7170cbvralvw 3234 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
7266, 71bitr4i 277 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1)))))
7351, 72sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)))
7473r19.21bi 3248 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜(𝑗 + 1)))
75 ovolss 25001 . . . . . . . . . . 11 ((((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7620, 23, 75sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7776, 19, 253brtr4d 5180 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7877ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
7957breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
8079ralbiia 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
8154breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
8281cbvralvw 3234 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
8380, 82bitr4i 277 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
8478, 83sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
85 brralrspcev 5208 . . . . . . 7 (((volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
8627, 84, 85syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯)
871, 9, 33, 74, 86climsup 15615 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) ⇝ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
8817fmpttd 7114 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆdom vol)
8937ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
90 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))
91 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (π΄β€˜π‘—) ∈ V
9291inex2 5318 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) ∈ V
9353, 90, 92fvmpt 6998 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))
94 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 (π΄β€˜(𝑗 + 1)) ∈ V
9594inex2 5318 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))) ∈ V
9660, 90, 95fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
9758, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
9893, 97sseq12d 4015 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
9998ralbiia 3091 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
10053, 68sseq12d 4015 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 β†’ (((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ↔ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1)))))
101100cbvralvw 3234 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘› ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑗 + 1))))
10299, 101bitr4i 277 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) βŠ† ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜(𝑛 + 1))))
10389, 102sylibr 233 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1)))
104 volsup 25072 . . . . . . 7 (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆdom vol ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) βŠ† ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜(𝑗 + 1))) β†’ (volβ€˜βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
10588, 103, 104syl2anc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
10693iuneq2i 5018 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))
10753cbviunv 5043 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—))
108 iunin2 5074 . . . . . . . . . 10 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›))
109106, 107, 1083eqtr2i 2766 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›))
110 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴:β„•βŸΆdom vol β†’ 𝐴 Fn β„•)
111 fniunfv 7245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝐴)
11213, 110, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝐴)
113 itg1climres.3 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = ℝ)
114112, 113eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = ℝ)
115114adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›) = ℝ)
116115ineq2d 4212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ ℝ))
11711adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∈ dom vol)
118117, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ)
119 df-ss 3965 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) βŠ† ℝ ↔ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ ℝ) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
120118, 119sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ ℝ) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
121116, 120eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π΄β€˜π‘›)) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
122109, 121eqtrid 2784 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = (◑𝐹 β€œ {π‘˜}))
123 ffn 6717 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))):β„•βŸΆdom vol β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) Fn β„•)
124 fniunfv 7245 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))) Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
12588, 123, 1243syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))β€˜π‘—) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
126122, 125eqtr3d 2774 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
127126fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (volβ€˜βˆͺ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
12833frnd 6725 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) βŠ† ℝ)
12933fdmd 6728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = β„•)
130 1nn 12222 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•
131 ne0i 4334 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„• β†’ β„• β‰  βˆ…)
132130, 131mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ β„• β‰  βˆ…)
133129, 132eqnetrd 3008 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ…)
134 dm0rn0 5924 . . . . . . . . . 10 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = βˆ…)
135134necon3bii 2993 . . . . . . . . 9 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ…)
136133, 135sylib 217 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ…)
137 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))):β„•βŸΆβ„ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) Fn β„•)
138 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
139138ralrn 7089 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
14033, 137, 1393syl 18 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
141140rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
14286, 141mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯)
143 supxrre 13305 . . . . . . . 8 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
144128, 136, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
145 volf 25045 . . . . . . . . . . . 12 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
146145a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
147146, 17cofmpt 7129 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (vol ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
148147rneqd 5937 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (vol ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
149 rnco2 6252 . . . . . . . . 9 ran (vol ∘ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
150148, 149eqtr3di 2787 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
151150supeq1d 9440 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
152144, 151eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ) = sup((vol β€œ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ*, < ))
153105, 127, 1523eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))), ℝ, < ))
15487, 153breqtrrd 5176 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) ⇝ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})))
155 i1ff 25192 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
156 frn 6724 . . . . . . . 8 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
1573, 155, 1563syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
158157ssdifssd 4142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
159158sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
160159recnd 11241 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
161 nnex 12217 . . . . . 6 β„• ∈ V
162161mptex 7224 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) ∈ V
163162a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) ∈ V)
16433ffvelcdmda 7086 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ ℝ)
165164recnd 11241 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
16654oveq2d 7424 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
167 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
168 ovex 7441 . . . . . . 7 (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))) ∈ V
169166, 167, 168fvmpt 6998 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
17057oveq2d 7424 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π‘˜ Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—)) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
171169, 170eqtr4d 2775 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = (π‘˜ Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
172171adantl 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = (π‘˜ Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))β€˜π‘—)))
1731, 9, 154, 160, 163, 165, 172climmulc2 15580 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) ⇝ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
174161mptex 7224 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ∈ V
175174a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ∈ V)
176159adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
177176, 32remulcld 11243 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
178177fmpttd 7114 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))):β„•βŸΆβ„)
179178ffvelcdmda 7086 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) ∈ ℝ)
180179recnd 11241 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
181180anasss 467 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∧ 𝑗 ∈ β„•)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) ∈ β„‚)
1823adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
183 itg1climres.5 . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
184183i1fres 25222 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (π΄β€˜π‘›) ∈ dom vol) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
185182, 14, 184syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
1868adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
187 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
1883, 155, 1873syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
189188adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
190 fnfvelrn 7082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
191189, 190sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
192 i1f0rn 25198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
1933, 192syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
194193ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
195191, 194ifcld 4574 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ran 𝐹)
196195, 183fmptd 7113 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐹)
197 frn 6724 . . . . . . . . 9 (𝐺:β„βŸΆran 𝐹 β†’ ran 𝐺 βŠ† ran 𝐹)
198 ssdif 4139 . . . . . . . . 9 (ran 𝐺 βŠ† ran 𝐹 β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
199196, 197, 1983syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}))
200157adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
201200ssdifd 4140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))
202 itg1val2 25200 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ ((ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† (ℝ βˆ– {0}))) β†’ (∫1β€˜πΊ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))))
203185, 186, 199, 201, 202syl13anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜πΊ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))))
204 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
205 c0ex 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ V
206204, 205ifex 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
207183fvmpt2 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
208206, 207mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
209208adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
210209eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜))
211 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
212211ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘˜ β‰  0)
213 neeq1 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β‰  0 ↔ π‘˜ β‰  0))
214212, 213syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β‰  0))
215 iffalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = 0)
216215necon1ai 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β‰  0 β†’ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))
217214, 216syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ β†’ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))
218217pm4.71rd 563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜)))
219210, 218bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜)))
220 iftrue 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
221220eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) β†’ (if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜ ↔ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜))
222221pm5.32i 575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜))
223222biancomi 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›) ∧ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = π‘˜) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))
224219, 223bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜ ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
225224pm5.32da 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))))
226 anass 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜ ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
227225, 226bitr4di 288 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
228 i1ff 25192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
229 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
230185, 228, 2293syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
231230adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
232 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
234 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ↔ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)))
235189adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
236 fniniseg 7061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
237235, 236syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜)))
238237anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ ((π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
239234, 238bitrid 282 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) = π‘˜) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›))))
240227, 233, 2393bitr4d 310 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
241240alrimiv 1930 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
242 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘›), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
243183, 242nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘₯𝐺
244243nfcnv 5878 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯◑𝐺
245 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘˜}
246244, 245nfima 6067 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯(◑𝐺 β€œ {π‘˜})
247 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))
248246, 247cleqf 2934 . . . . . . . . . . 11 ((◑𝐺 β€œ {π‘˜}) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) ↔ π‘₯ ∈ ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
249241, 248sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {π‘˜}) = ((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))
250249fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜})) = (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))
251250oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))) = (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
252251sumeq2dv 15648 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {π‘˜}))) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
253203, 252eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜πΊ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
254253mpteq2dva 5248 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))))
255254fveq1d 6893 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ))β€˜π‘—) = ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—))
256166sumeq2sdv 15649 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
257 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))
258 sumex 15633 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))) ∈ V
259256, 257, 258fvmpt 6998 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
260169sumeq2sdv 15649 . . . . 5 (𝑗 ∈ β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘—)))))
261259, 260eqtr4d 2775 . . . 4 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—))
262255, 261sylan9eq 2792 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ))β€˜π‘—) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ Β· (volβ€˜((◑𝐹 β€œ {π‘˜}) ∩ (π΄β€˜π‘›)))))β€˜π‘—))
2631, 2, 8, 173, 175, 181, 262climfsum 15765 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
264 itg1val 25199 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
2653, 264syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
266263, 265breqtrrd 5176 1 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜πΊ)) ⇝ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  ifcif 4528  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  supcsup 9434  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  [,]cicc 13326   ⇝ cli 15427  Ξ£csu 15631  vol*covol 24978  volcvol 24979  βˆ«1citg1 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cmp 22890  df-ovol 24980  df-vol 24981  df-mbf 25135  df-itg1 25136
This theorem is referenced by:  itg2monolem1  25267
  Copyright terms: Public domain W3C validator