Theorem itg1mulc 23870

Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg1mulc	⊢ (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))

Proof of Theorem itg1mulc

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10 23854	. . 3 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2		reex 10343	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
4		i1fmulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5		i1ff 23842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8		i1fmulc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 10360	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
11		simplr 787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
12	11	oveq1d 6920	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
13		mul02lem2 10532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
14	13	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
15	12, 14	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
16	3, 7, 9, 10, 15	caofid2 7188	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (ℝ × {0}))
17	16	fveq2d 6437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (∫1‘(ℝ × {0})))
18		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
19	18	oveq1d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = (0 · (∫1‘𝐹)))
20		itg1cl 23851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
21	4, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
22	21	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
23	22	mul02d 10553	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · (∫1‘𝐹)) = 0)
24	23	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (0 · (∫1‘𝐹)) = 0)
25	19, 24	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = 0)
26	1, 17, 25	3eqtr4a 2887	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))
27	4, 8	i1fmulc 23869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
28	27	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
29		i1ff 23842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
31	30	frnd 6285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ℝ)
32	31	ssdifssd 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
33	32	sselda 3827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℝ)
34	33	recnd 10385	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℂ)
35	8	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35	recnd 10385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
38		simplr 787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
39	34, 37, 38	divcan2d 11129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) = 𝑚)
40	4, 8	i1fmulclem 23868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
41	33, 40	syldan 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
42	41	fveq2d 6437	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
43	42	eqcomd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) = (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚})))
44	39, 43	oveq12d 6923	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))))
45	8	ad2antrr 719	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
46	33, 45, 38	redivcld 11179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ)
47	46	recnd 10385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℂ)
48	4	ad2antrr 719	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
49	45	recnd 10385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		eldifsni 4540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑚 ≠ 0)
51	50	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ≠ 0)
52	34, 49, 51, 38	divne0d 11143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ≠ 0)
53		eldifsn 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑚 / 𝐴) ≠ 0))
54	46, 52, 53	sylanbrc 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
55		i1fima2sn 23846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
56	48, 54, 55	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
57	56	recnd 10385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℂ)
58	37, 47, 57	mulassd 10380	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
59	44, 58	eqtr3d 2863	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
60	59	sumeq2dv 14810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
61		i1frn 23843	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
62	28, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
63		difss 3964	. . . . . 6 ⊢ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)
64		ssfi 8449	. . . . . 6 ⊢ ((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
65	62, 63, 64	sylancl 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
66	47, 57	mulcld 10377	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) ∈ ℂ)
67	65, 36, 66	fsummulc2 14890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
68	60, 67	eqtr4d 2864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
69		itg1val 23849	. . . 4 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))))
70	28, 69	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))))
71	4	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
72		itg1val 23849	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
73	71, 72	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
74		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → 𝑘 = (𝑚 / 𝐴))
75		sneq 4407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → {𝑘} = {(𝑚 / 𝐴)})
76	75	imaeq2d 5707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (◡𝐹 “ {𝑘}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
77	76	fveq2d 6437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
78	74, 77	oveq12d 6923	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
79		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
80		eldifi 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
81	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
82	6	ffnd 6279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
83		eqidd 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
84	81, 8, 82, 83	ofc1 7180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
85	84	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
86	85	oveq1d 6920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) / 𝐴))
87	6	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
88	87	ffvelrnda 6608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
89	88	recnd 10385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
90	36	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
91		simplr 787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
92	89, 90, 91	divcan3d 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) / 𝐴) = (𝐹‘𝑦))
93	86, 92	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = (𝐹‘𝑦))
94	87	ffnd 6279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 Fn ℝ)
95		fnfvelrn 6605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
96	94, 95	sylan 577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
97	93, 96	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
98	97	ralrimiva 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
99	30	ffnd 6279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ)
100		oveq1 6912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) → (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴))
101	100	eleq1d 2891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) → ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
102	101	ralrn 6611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
104	98, 103	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
105	104	r19.21bi 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
106	80, 105	sylan2 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
107	32	sselda 3827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
108	107	recnd 10385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℂ)
109	36	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
110		eldifsni 4540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
111	110	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
112		simplr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
113	108, 109, 111, 112	divne0d 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ≠ 0)
114		eldifsn 4536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) ≠ 0))
115	106, 113, 114	sylanbrc 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
116		eldifi 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran 𝐹)
117		fnfvelrn 6605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
118	99, 117	sylan 577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
119	85, 118	eqeltrrd 2907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
120	119	ralrimiva 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
121		oveq2 6913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐹‘𝑦) → (𝐴 · 𝑘) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
122	121	eleq1d 2891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
123	122	ralrn 6611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
124	94, 123	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
125	120, 124	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
126	125	r19.21bi 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ran 𝐹) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
127	116, 126	sylan2 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
128	36	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
129	87	frnd 6285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
130	129	ssdifssd 3975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
131	130	sselda 3827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
132	131	recnd 10385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
133		simplr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
134		eldifsni 4540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
135	134	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
136	128, 132, 133, 135	mulne0d 11004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
137		eldifsn 4536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↔ ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∧ (𝐴 · 𝑘) ≠ 0))
138	127, 136, 137	sylanbrc 580	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}))
139		simpl 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}))
140		ssel2 3822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
141	32, 139, 140	syl2an 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
142	141	recnd 10385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℂ)
143	8	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℝ)
144	143	recnd 10385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℂ)
145	131	adantrl 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℝ)
146	145	recnd 10385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℂ)
147		simplr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ≠ 0)
148	142, 144, 146, 147	divmuld 11149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝑛 / 𝐴) = 𝑘 ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛))
149	148	bicomd 215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝐴 · 𝑘) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘))
150		eqcom 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛)
151		eqcom 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘)
152	149, 150, 151	3bitr4g 306	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ 𝑘 = (𝑛 / 𝐴)))
153	79, 115, 138, 152	f1o2d 7147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})–1-1-onto→(ran 𝐹 ∖ {0}))
154		oveq1 6912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / 𝐴) = (𝑚 / 𝐴))
155		ovex 6937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 / 𝐴) ∈ V
156	154, 79, 155	fvmpt 6529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
157	156	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
158		i1fima2sn 23846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
159	71, 158	sylan 577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
160	131, 159	remulcld 10387	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
161	160	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℂ)
162	78, 65, 153, 157, 161	fsumf1o 14831	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
163	73, 162	eqtrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
164	163	oveq2d 6921	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
165	68, 70, 164	3eqtr4d 2871	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))
166	26, 165	pm2.61dane 3086	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  {csn 4397   ↦ cmpt 4952   × cxp 5340  ^◡ccnv 5341  dom cdm 5342  ran crn 5343   “ cima 5345   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ∘_𝑓 cof 7155  Fincfn 8222  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252   · cmul 10257   / cdiv 11009  Σcsu 14793  volcvol 23629  ∫₁citg1 23781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xadd 12233  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-xmet 20099  df-met 20100  df-ovol 23630  df-vol 23631  df-mbf 23785  df-itg1 23786

This theorem is referenced by:  itg1sub  23875  itg2const  23906  itg2mulclem  23912  itg2monolem1  23916  itg2addnclem  34004