MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1mulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1mulc 25069
Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg1mulc (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))

Proof of Theorem itg1mulc
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 25052 . . 3 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2 reex 11142 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
4 i1fmulc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 25040 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8 i1fmulc.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 11158 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
11 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
1211oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
13 mul02lem2 11332 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
1512, 14eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
163, 7, 9, 10, 15caofid2 7651 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
1716fveq2d 6846 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫1‘(ℝ × {0})))
18 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
1918oveq1d 7372 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = (0 · (∫1𝐹)))
20 itg1cl 25049 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
214, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
2221recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℂ)
2322mul02d 11353 . . . . 5 (𝜑 → (0 · (∫1𝐹)) = 0)
2423adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → (0 · (∫1𝐹)) = 0)
2519, 24eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = 0)
261, 17, 253eqtr4a 2802 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
274, 8i1fmulc 25068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
29 i1ff 25040 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3130frnd 6676 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
3231ssdifssd 4102 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
3332sselda 3944 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℝ)
3433recnd 11183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℂ)
358adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3635recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3736adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
38 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
3934, 37, 38divcan2d 11933 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) = 𝑚)
404, 8i1fmulclem 25067 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
4133, 40syldan 591 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
4241fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
4342eqcomd 2742 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) = (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})))
4439, 43oveq12d 7375 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
458ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
4633, 45, 38redivcld 11983 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ)
4746recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℂ)
484ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
4945recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑚 ≠ 0)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ≠ 0)
5234, 49, 51, 38divne0d 11947 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ≠ 0)
53 eldifsn 4747 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑚 / 𝐴) ≠ 0))
5446, 52, 53sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
55 i1fima2sn 25044 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5648, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5756recnd 11183 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℂ)
5837, 47, 57mulassd 11178 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
5944, 58eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
6059sumeq2dv 15588 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
61 i1frn 25041 . . . . . . 7 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
6228, 61syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
63 difss 4091 . . . . . 6 (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)
64 ssfi 9117 . . . . . 6 ((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
6562, 63, 64sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
6647, 57mulcld 11175 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) ∈ ℂ)
6765, 36, 66fsummulc2 15669 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
6860, 67eqtr4d 2779 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
69 itg1val 25047 . . . 4 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
7028, 69syl 17 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
714adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
72 itg1val 25047 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
74 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → 𝑘 = (𝑚 / 𝐴))
75 sneq 4596 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → {𝑘} = {(𝑚 / 𝐴)})
7675imaeq2d 6013 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝐹 “ {𝑘}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
7776fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
7874, 77oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
79 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
80 eldifi 4086 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ∈ V)
826ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
83 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
8481, 8, 82, 83ofc1 7643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
8584adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
8685oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) / 𝐴))
876adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8887ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8988recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
9036adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
91 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
9289, 90, 91divcan3d 11936 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 · (𝐹𝑦)) / 𝐴) = (𝐹𝑦))
9386, 92eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = (𝐹𝑦))
9487ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹 Fn ℝ)
95 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
9694, 95sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
9793, 96eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9897ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9930ffnd 6669 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
100 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴))
101100eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
102101ralrn 7038 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10498, 103mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
105104r19.21bi 3234 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10680, 105sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10732sselda 3944 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
108107recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℂ)
10936adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
110 eldifsni 4750 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
111110adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
112 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
113108, 109, 111, 112divne0d 11947 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ≠ 0)
114 eldifsn 4747 . . . . . . . 8 ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) ≠ 0))
115106, 113, 114sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
116 eldifi 4086 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran 𝐹)
117 fnfvelrn 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
11899, 117sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
11985, 118eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
120119ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
121 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐹𝑦) → (𝐴 · 𝑘) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
122121eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐹𝑦) → ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
123122ralrn 7038 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
12494, 123syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
125120, 124mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
126125r19.21bi 3234 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ran 𝐹) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
127116, 126sylan2 593 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
12836adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
12987frnd 6676 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
130129ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
131130sselda 3944 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
132131recnd 11183 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
133 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
134 eldifsni 4750 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
135134adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
136128, 132, 133, 135mulne0d 11807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
137 eldifsn 4747 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↔ ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∧ (𝐴 · 𝑘) ≠ 0))
138127, 136, 137sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
139 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
140 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . 12 (((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
14132, 139, 140syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
142141recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℂ)
1438ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℝ)
144143recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℂ)
145131adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℝ)
146145recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℂ)
147 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ≠ 0)
148142, 144, 146, 147divmuld 11953 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝑛 / 𝐴) = 𝑘 ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛))
149148bicomd 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝐴 · 𝑘) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘))
150 eqcom 2743 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛)
151 eqcom 2743 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘)
152149, 150, 1513bitr4g 313 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ 𝑘 = (𝑛 / 𝐴)))
15379, 115, 138, 152f1o2d 7607 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})–1-1-onto→(ran 𝐹 ∖ {0}))
154 oveq1 7364 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / 𝐴) = (𝑚 / 𝐴))
155 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝑚 / 𝐴) ∈ V
156154, 79, 155fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
157156adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
158 i1fima2sn 25044 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
15971, 158sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
160131, 159remulcld 11185 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
161160recnd 11183 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℂ)
16278, 65, 153, 157, 161fsumf1o 15608 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
16373, 162eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1𝐹) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
164163oveq2d 7373 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
16568, 70, 1643eqtr4d 2786 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
16626, 165pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   / cdiv 11812  Σcsu 15570  volcvol 24827  1citg1 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984
This theorem is referenced by:  itg1sub  25074  itg2const  25105  itg2mulclem  25111  itg2monolem1  25115  itg2addnclem  36129
  Copyright terms: Public domain W3C validator