MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1mulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1mulc 24626
Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg1mulc (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))

Proof of Theorem itg1mulc
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 24609 . . 3 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2 reex 10845 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
4 i1fmulc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 24597 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8 i1fmulc.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 10861 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
11 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
1211oveq1d 7247 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
13 mul02lem2 11034 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
1413adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
1512, 14eqtrd 2778 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
163, 7, 9, 10, 15caofid2 7521 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
1716fveq2d 6740 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫1‘(ℝ × {0})))
18 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
1918oveq1d 7247 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = (0 · (∫1𝐹)))
20 itg1cl 24606 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
214, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
2221recnd 10886 . . . . . 6 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℂ)
2322mul02d 11055 . . . . 5 (𝜑 → (0 · (∫1𝐹)) = 0)
2423adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → (0 · (∫1𝐹)) = 0)
2519, 24eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = 0)
261, 17, 253eqtr4a 2805 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
274, 8i1fmulc 24625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
2827adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
29 i1ff 24597 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3130frnd 6572 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
3231ssdifssd 4072 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
3332sselda 3916 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℝ)
3433recnd 10886 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℂ)
358adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3635recnd 10886 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3736adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
38 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
3934, 37, 38divcan2d 11635 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) = 𝑚)
404, 8i1fmulclem 24624 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
4133, 40syldan 594 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
4241fveq2d 6740 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
4342eqcomd 2744 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) = (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})))
4439, 43oveq12d 7250 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
458ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
4633, 45, 38redivcld 11685 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ)
4746recnd 10886 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℂ)
484ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
4945recnd 10886 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
50 eldifsni 4718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑚 ≠ 0)
5150adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ≠ 0)
5234, 49, 51, 38divne0d 11649 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ≠ 0)
53 eldifsn 4715 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑚 / 𝐴) ≠ 0))
5446, 52, 53sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
55 i1fima2sn 24601 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5648, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5756recnd 10886 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℂ)
5837, 47, 57mulassd 10881 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
5944, 58eqtr3d 2780 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
6059sumeq2dv 15292 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
61 i1frn 24598 . . . . . . 7 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
6228, 61syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
63 difss 4061 . . . . . 6 (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)
64 ssfi 8874 . . . . . 6 ((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
6562, 63, 64sylancl 589 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
6647, 57mulcld 10878 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) ∈ ℂ)
6765, 36, 66fsummulc2 15373 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
6860, 67eqtr4d 2781 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
69 itg1val 24604 . . . 4 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
7028, 69syl 17 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
714adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
72 itg1val 24604 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
74 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → 𝑘 = (𝑚 / 𝐴))
75 sneq 4566 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → {𝑘} = {(𝑚 / 𝐴)})
7675imaeq2d 5944 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝐹 “ {𝑘}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
7776fveq2d 6740 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
7874, 77oveq12d 7250 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
79 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
80 eldifi 4056 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ∈ V)
826ffnd 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
83 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
8481, 8, 82, 83ofc1 7513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
8584adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
8685oveq1d 7247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) / 𝐴))
876adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8887ffvelrnda 6923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8988recnd 10886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
9036adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
91 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
9289, 90, 91divcan3d 11638 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 · (𝐹𝑦)) / 𝐴) = (𝐹𝑦))
9386, 92eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = (𝐹𝑦))
9487ffnd 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹 Fn ℝ)
95 fnfvelrn 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
9694, 95sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
9793, 96eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9897ralrimiva 3106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9930ffnd 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
100 oveq1 7239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴))
101100eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
102101ralrn 6926 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10498, 103mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
105104r19.21bi 3131 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10680, 105sylan2 596 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10732sselda 3916 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
108107recnd 10886 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℂ)
10936adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
110 eldifsni 4718 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
111110adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
112 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
113108, 109, 111, 112divne0d 11649 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ≠ 0)
114 eldifsn 4715 . . . . . . . 8 ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) ≠ 0))
115106, 113, 114sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
116 eldifi 4056 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran 𝐹)
117 fnfvelrn 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
11899, 117sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
11985, 118eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
120119ralrimiva 3106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
121 oveq2 7240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐹𝑦) → (𝐴 · 𝑘) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
122121eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐹𝑦) → ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
123122ralrn 6926 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
12494, 123syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
125120, 124mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
126125r19.21bi 3131 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ran 𝐹) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
127116, 126sylan2 596 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
12836adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
12987frnd 6572 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
130129ssdifssd 4072 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
131130sselda 3916 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
132131recnd 10886 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
133 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
134 eldifsni 4718 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
135134adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
136128, 132, 133, 135mulne0d 11509 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
137 eldifsn 4715 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↔ ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∧ (𝐴 · 𝑘) ≠ 0))
138127, 136, 137sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
139 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
140 ssel2 3910 . . . . . . . . . . . 12 (((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
14132, 139, 140syl2an 599 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
142141recnd 10886 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℂ)
1438ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℝ)
144143recnd 10886 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℂ)
145131adantrl 716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℝ)
146145recnd 10886 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℂ)
147 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ≠ 0)
148142, 144, 146, 147divmuld 11655 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝑛 / 𝐴) = 𝑘 ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛))
149148bicomd 226 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝐴 · 𝑘) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘))
150 eqcom 2745 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛)
151 eqcom 2745 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘)
152149, 150, 1513bitr4g 317 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ 𝑘 = (𝑛 / 𝐴)))
15379, 115, 138, 152f1o2d 7478 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})–1-1-onto→(ran 𝐹 ∖ {0}))
154 oveq1 7239 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / 𝐴) = (𝑚 / 𝐴))
155 ovex 7265 . . . . . . . 8 (𝑚 / 𝐴) ∈ V
156154, 79, 155fvmpt 6837 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
157156adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
158 i1fima2sn 24601 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
15971, 158sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
160131, 159remulcld 10888 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
161160recnd 10886 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℂ)
16278, 65, 153, 157, 161fsumf1o 15312 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
16373, 162eqtrd 2778 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1𝐹) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
164163oveq2d 7248 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
16568, 70, 1643eqtr4d 2788 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
16626, 165pm2.61dane 3030 1 (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3421  cdif 3878  wss 3881  {csn 4556  cmpt 5150   × cxp 5564  ccnv 5565  dom cdm 5566  ran crn 5567  cima 5569   Fn wfn 6393  wf 6394  cfv 6398  (class class class)co 7232  f cof 7486  Fincfn 8647  cc 10752  cr 10753  0cc0 10754   · cmul 10759   / cdiv 11514  Σcsu 15274  volcvol 24384  1citg1 24536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-inf2 9281  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-se 5525  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-isom 6407  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-of 7488  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-2o 8224  df-er 8412  df-map 8531  df-pm 8532  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-sup 9083  df-inf 9084  df-oi 9151  df-dju 9542  df-card 9580  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-n0 12116  df-z 12202  df-uz 12464  df-q 12570  df-rp 12612  df-xadd 12730  df-ioo 12964  df-ico 12966  df-icc 12967  df-fz 13121  df-fzo 13264  df-fl 13392  df-seq 13600  df-exp 13661  df-hash 13922  df-cj 14687  df-re 14688  df-im 14689  df-sqrt 14823  df-abs 14824  df-clim 15074  df-sum 15275  df-xmet 20381  df-met 20382  df-ovol 24385  df-vol 24386  df-mbf 24540  df-itg1 24541
This theorem is referenced by:  itg1sub  24631  itg2const  24662  itg2mulclem  24668  itg2monolem1  24672  itg2addnclem  35592
  Copyright terms: Public domain W3C validator