MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1mulc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1mulc 25589
Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg1mulc (πœ‘ β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))
Proof of Theorem itg1mulc
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 25572 . . 3 (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
2 reex 11203 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ℝ ∈ V)
4 i1fmulc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 25560 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
8 i1fmulc.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 11221 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
11 simplr 766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 = 0)
1211oveq1d 7420 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
13 mul02lem2 11395 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1413adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1512, 14eqtrd 2766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = 0)
163, 7, 9, 10, 15caofid2 7701 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (ℝ Γ— {0}))
1716fveq2d 6889 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
18 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 = 0)
1918oveq1d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)) = (0 Β· (∫1β€˜πΉ)))
20 itg1cl 25569 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
214, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2221recnd 11246 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚)
2322mul02d 11416 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· (∫1β€˜πΉ)) = 0)
2423adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (0 Β· (∫1β€˜πΉ)) = 0)
2519, 24eqtrd 2766 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)) = 0)
261, 17, 253eqtr4a 2792 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))
274, 8i1fmulc 25588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
29 i1ff 25560 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3130frnd 6719 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† ℝ)
3231ssdifssd 4137 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
3332sselda 3977 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ π‘š ∈ ℝ)
3433recnd 11246 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ π‘š ∈ β„‚)
358adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3635recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
38 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
3934, 37, 38divcan2d 11996 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· (π‘š / 𝐴)) = π‘š)
404, 8i1fmulclem 25587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}) = (◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))
4133, 40syldan 590 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}) = (◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))
4241fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))
4342eqcomd 2732 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) = (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š})))
4439, 43oveq12d 7423 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((𝐴 Β· (π‘š / 𝐴)) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))) = (π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))))
458ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4633, 45, 38redivcld 12046 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) ∈ ℝ)
4746recnd 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) ∈ β„‚)
484ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4945recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
50 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ π‘š β‰  0)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ π‘š β‰  0)
5234, 49, 51, 38divne0d 12010 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) β‰  0)
53 eldifsn 4785 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ ((π‘š / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (π‘š / 𝐴) β‰  0))
5446, 52, 53sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
55 i1fima2sn 25564 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (π‘š / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5648, 54, 55syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5756recnd 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) ∈ β„‚)
5837, 47, 57mulassd 11241 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((𝐴 Β· (π‘š / 𝐴)) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))) = (𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
5944, 58eqtr3d 2768 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))) = (𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
6059sumeq2dv 15655 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
61 i1frn 25561 . . . . . . 7 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1 β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
6228, 61syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
63 difss 4126 . . . . . 6 (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)
64 ssfi 9175 . . . . . 6 ((ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∈ Fin)
6562, 63, 64sylancl 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∈ Fin)
6647, 57mulcld 11238 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))) ∈ β„‚)
6765, 36, 66fsummulc2 15736 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
6860, 67eqtr4d 2769 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))) = (𝐴 Β· Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
69 itg1val 25567 . . . 4 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))))
7028, 69syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))))
714adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
72 itg1val 25567 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
74 id 22 . . . . . . 7 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ π‘˜ = (π‘š / 𝐴))
75 sneq 4633 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ {π‘˜} = {(π‘š / 𝐴)})
7675imaeq2d 6053 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) = (◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))
7776fveq2d 6889 . . . . . . 7 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))
7874, 77oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))))
79 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
80 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ 𝑛 ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
826ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
83 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
8481, 8, 82, 83ofc1 7693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
8584adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
8685oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) = ((𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) / 𝐴))
876adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
8887ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
8988recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
9036adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
91 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
9289, 90, 91divcan3d 11999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘¦))
9386, 92eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘¦))
9487ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
95 fnfvelrn 7076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ran 𝐹)
9694, 95sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ran 𝐹)
9793, 96eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9897ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9930ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ)
100 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴))
101100eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
102101ralrn 7083 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10498, 103mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
105104r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) β†’ (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10680, 105sylan2 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10732sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
108107recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
10936adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
110 eldifsni 4788 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ 𝑛 β‰  0)
111110adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 β‰  0)
112 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
113108, 109, 111, 112divne0d 12010 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑛 / 𝐴) β‰  0)
114 eldifsn 4785 . . . . . . . 8 ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) β‰  0))
115106, 113, 114sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
116 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘˜ ∈ ran 𝐹)
117 fnfvelrn 7076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
11899, 117sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
11985, 118eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
120119ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
121 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
122121eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
123122ralrn 7083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran 𝐹(𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
12494, 123syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran 𝐹(𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
125120, 124mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ran 𝐹(𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
126125r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
127116, 126sylan2 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
12836adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12987frnd 6719 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
130129ssdifssd 4137 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
131130sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
132131recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
133 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
134 eldifsni 4788 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
135134adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ β‰  0)
136128, 132, 133, 135mulne0d 11870 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) β‰  0)
137 eldifsn 4785 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· π‘˜) ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↔ ((𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∧ (𝐴 Β· π‘˜) β‰  0))
138127, 136, 137sylanbrc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}))
139 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}))
140 ssel2 3972 . . . . . . . . . . . 12 (((ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
14132, 139, 140syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
142141recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
1438ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
144143recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
145131adantrl 713 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
146145recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
147 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 β‰  0)
148142, 144, 146, 147divmuld 12016 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ ((𝑛 / 𝐴) = π‘˜ ↔ (𝐴 Β· π‘˜) = 𝑛))
149148bicomd 222 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = π‘˜))
150 eqcom 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐴 Β· π‘˜) ↔ (𝐴 Β· π‘˜) = 𝑛)
151 eqcom 2733 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = π‘˜)
152149, 150, 1513bitr4g 314 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (𝑛 = (𝐴 Β· π‘˜) ↔ π‘˜ = (𝑛 / 𝐴)))
15379, 115, 138, 152f1o2d 7657 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’(ran 𝐹 βˆ– {0}))
154 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 / 𝐴) = (π‘š / 𝐴))
155 ovex 7438 . . . . . . . 8 (π‘š / 𝐴) ∈ V
156154, 79, 155fvmpt 6992 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘š / 𝐴))
157156adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘š / 𝐴))
158 i1fima2sn 25564 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
15971, 158sylan 579 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
160131, 159remulcld 11248 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ ℝ)
161160recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ β„‚)
16278, 65, 153, 157, 161fsumf1o 15675 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))))
16373, 162eqtrd 2766 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))))
164163oveq2d 7421 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)) = (𝐴 Β· Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
16568, 70, 1643eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))
16626, 165pm2.61dane 3023 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  Ξ£csu 15638  volcvol 25347  βˆ«1citg1 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504
This theorem is referenced by:  itg1sub  25594  itg2const  25625  itg2mulclem  25631  itg2monolem1  25635  itg2addnclem  37052
  Copyright terms: Public domain W3C validator