Theorem itg1mulc 25938

Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg1mulc	⊢ (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))

Proof of Theorem itg1mulc

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10 25922	. . 3 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2		reex 11219	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
4		i1fmulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5		i1ff 25910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8		i1fmulc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 11239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
11		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
12	11	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
13		mul02lem2 11415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
15	12, 14	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
16	3, 7, 9, 10, 15	caofid2 7718	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
17	16	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫1‘(ℝ × {0})))
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
19	18	oveq1d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = (0 · (∫1‘𝐹)))
20		itg1cl 25919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
21	4, 20	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
23	22	mul02d 11436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · (∫1‘𝐹)) = 0)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (0 · (∫1‘𝐹)) = 0)
25	19, 24	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = 0)
26	1, 17, 25	3eqtr4a 2823	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))
27	4, 8	i1fmulc 25937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
29		i1ff 25910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
30	28, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
31	30	frnd 6715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
32	31	ssdifssd 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
33	32	sselda 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℝ)
34	33	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℂ)
35	8	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35	recnd 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
38		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
39	34, 37, 38	divcan2d 12021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) = 𝑚)
40	4, 8	i1fmulclem 25936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
41	33, 40	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
42	41	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
43	42	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) = (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})))
44	39, 43	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
45	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
46	33, 45, 38	redivcld 12071	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℂ)
48	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
49	45	recnd 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		eldifsni 4756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑚 ≠ 0)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ≠ 0)
52	34, 49, 51, 38	divne0d 12035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ≠ 0)
53		eldifsn 4751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑚 / 𝐴) ≠ 0))
54	46, 52, 53	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
55		i1fima2sn 25914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
56	48, 54, 55	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℂ)
58	37, 47, 57	mulassd 11260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
59	44, 58	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
60	59	sumeq2dv 15793	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
61		i1frn 25911	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
62	28, 61	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
63		difss 4086	. . . . . 6 ⊢ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)
64		ssfi 9171	. . . . . 6 ⊢ ((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
65	62, 63, 64	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
66	47, 57	mulcld 11257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) ∈ ℂ)
67	65, 36, 66	fsummulc2 15874	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
68	60, 67	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
69		itg1val 25917	. . . 4 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
70	28, 69	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
71	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
72		itg1val 25917	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
73	71, 72	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
74		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → 𝑘 = (𝑚 / 𝐴))
75		sneq 4597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → {𝑘} = {(𝑚 / 𝐴)})
76	75	imaeq2d 6060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (◡𝐹 “ {𝑘}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
77	76	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
78	74, 77	oveq12d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
79		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
80		eldifi 4081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
81	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
82	6	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
83		eqidd 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
84	81, 8, 82, 83	ofc1 7710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
85	84	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
86	85	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) / 𝐴))
87	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
88	87	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
90	36	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
91		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
92	89, 90, 91	divcan3d 12024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) / 𝐴) = (𝐹‘𝑦))
93	86, 92	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = (𝐹‘𝑦))
94	87	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 Fn ℝ)
95		fnfvelrn 7077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
96	94, 95	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
97	93, 96	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
98	97	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
99	30	ffnd 6707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
100		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴))
101	100	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
102	101	ralrn 7085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
103	99, 102	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
104	98, 103	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
105	104	r19.21bi 3256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
106	80, 105	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
107	32	sselda 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
108	107	recnd 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℂ)
109	36	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
110		eldifsni 4756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
111	110	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
112		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
113	108, 109, 111, 112	divne0d 12035	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ≠ 0)
114		eldifsn 4751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) ≠ 0))
115	106, 113, 114	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
116		eldifi 4081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran 𝐹)
117		fnfvelrn 7077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
118	99, 117	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
119	85, 118	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
120	119	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
121		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐹‘𝑦) → (𝐴 · 𝑘) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
122	121	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
123	122	ralrn 7085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
124	94, 123	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
125	120, 124	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
126	125	r19.21bi 3256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ran 𝐹) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
127	116, 126	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
128	36	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
129	87	frnd 6715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
130	129	ssdifssd 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
131	130	sselda 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
132	131	recnd 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
133		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
134		eldifsni 4756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
135	134	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
136	128, 132, 133, 135	mulne0d 11894	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
137		eldifsn 4751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↔ ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∧ (𝐴 · 𝑘) ≠ 0))
138	127, 136, 137	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
139		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
140		ssel2 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
141	32, 139, 140	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
142	141	recnd 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℂ)
143	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℝ)
144	143	recnd 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℂ)
145	131	adantrl 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℝ)
146	145	recnd 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℂ)
147		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ≠ 0)
148	142, 144, 146, 147	divmuld 12041	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝑛 / 𝐴) = 𝑘 ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛))
149	148	bicomd 226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝐴 · 𝑘) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘))
150		eqcom 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛)
151		eqcom 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘)
152	149, 150, 151	3bitr4g 317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ 𝑘 = (𝑛 / 𝐴)))
153	79, 115, 138, 152	f1o2d 7672	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})–1-1-onto→(ran 𝐹 ∖ {0}))
154		oveq1 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / 𝐴) = (𝑚 / 𝐴))
155		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 / 𝐴) ∈ V
156	154, 79, 155	fvmpt 6990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
157	156	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
158		i1fima2sn 25914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
159	71, 158	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
160	131, 159	remulcld 11267	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
161	160	recnd 11265	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℂ)
162	78, 65, 153, 157, 161	fsumf1o 15813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
163	73, 162	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
164	163	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
165	68, 70, 164	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))
166	26, 165	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680  Fincfn 8956  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   · cmul 11133   / cdiv 11899  Σcsu 15777  volcvol 25697  ∫₁citg1 25849

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xadd 13168  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-xmet 21584  df-met 21585  df-ovol 25698  df-vol 25699  df-mbf 25853  df-itg1 25854

This theorem is used by:  itg1sub  25943  itg2const  25974  itg2mulclem  25980  itg2monolem1  25984  itg2addnclem  38428