MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1mulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1mulc 25085
Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg1mulc (πœ‘ β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))

Proof of Theorem itg1mulc
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 25068 . . 3 (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
2 reex 11149 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ℝ ∈ V)
4 i1fmulc.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 25056 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
8 i1fmulc.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 11165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
11 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 = 0)
1211oveq1d 7377 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
13 mul02lem2 11339 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1413adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1512, 14eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = 0)
163, 7, 9, 10, 15caofid2 7656 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (ℝ Γ— {0}))
1716fveq2d 6851 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (∫1β€˜(ℝ Γ— {0})))
18 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 = 0)
1918oveq1d 7377 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)) = (0 Β· (∫1β€˜πΉ)))
20 itg1cl 25065 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
214, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
2221recnd 11190 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ β„‚)
2322mul02d 11360 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0 Β· (∫1β€˜πΉ)) = 0)
2423adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (0 Β· (∫1β€˜πΉ)) = 0)
2519, 24eqtrd 2777 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)) = 0)
261, 17, 253eqtr4a 2803 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))
274, 8i1fmulc 25084 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
2827adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
29 i1ff 25056 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
3130frnd 6681 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† ℝ)
3231ssdifssd 4107 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
3332sselda 3949 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ π‘š ∈ ℝ)
3433recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ π‘š ∈ β„‚)
358adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3635recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3736adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
38 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
3934, 37, 38divcan2d 11940 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· (π‘š / 𝐴)) = π‘š)
404, 8i1fmulclem 25083 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}) = (◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))
4133, 40syldan 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}) = (◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))
4241fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))
4342eqcomd 2743 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) = (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š})))
4439, 43oveq12d 7380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((𝐴 Β· (π‘š / 𝐴)) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))) = (π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))))
458ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4633, 45, 38redivcld 11990 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) ∈ ℝ)
4746recnd 11190 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) ∈ β„‚)
484ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4945recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
50 eldifsni 4755 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ π‘š β‰  0)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ π‘š β‰  0)
5234, 49, 51, 38divne0d 11954 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) β‰  0)
53 eldifsn 4752 . . . . . . . . . 10 ((π‘š / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ ((π‘š / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (π‘š / 𝐴) β‰  0))
5446, 52, 53sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
55 i1fima2sn 25060 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (π‘š / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5648, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5756recnd 11190 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})) ∈ β„‚)
5837, 47, 57mulassd 11185 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((𝐴 Β· (π‘š / 𝐴)) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))) = (𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
5944, 58eqtr3d 2779 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))) = (𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
6059sumeq2dv 15595 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
61 i1frn 25057 . . . . . . 7 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1 β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
6228, 61syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
63 difss 4096 . . . . . 6 (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)
64 ssfi 9124 . . . . . 6 ((ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∈ Fin)
6562, 63, 64sylancl 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∈ Fin)
6647, 57mulcld 11182 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))) ∈ β„‚)
6765, 36, 66fsummulc2 15676 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴 Β· Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(𝐴 Β· ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
6860, 67eqtr4d 2780 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))) = (𝐴 Β· Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
69 itg1val 25063 . . . 4 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))))
7028, 69syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})(π‘š Β· (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {π‘š}))))
714adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
72 itg1val 25063 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))))
74 id 22 . . . . . . 7 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ π‘˜ = (π‘š / 𝐴))
75 sneq 4601 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ {π‘˜} = {(π‘š / 𝐴)})
7675imaeq2d 6018 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘˜}) = (◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))
7776fveq2d 6851 . . . . . . 7 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))
7874, 77oveq12d 7380 . . . . . 6 (π‘˜ = (π‘š / 𝐴) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = ((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))))
79 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
80 eldifi 4091 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ 𝑛 ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
826ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
83 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
8481, 8, 82, 83ofc1 7648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
8584adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
8685oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) = ((𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) / 𝐴))
876adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
8887ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
8988recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
9036adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
91 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 β‰  0)
9289, 90, 91divcan3d 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘¦))
9386, 92eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) = (πΉβ€˜π‘¦))
9487ffnd 6674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
95 fnfvelrn 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ran 𝐹)
9694, 95sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ran 𝐹)
9793, 96eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9897ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
9930ffnd 6674 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ)
100 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴))
101100eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) β†’ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
102101ralrn 7043 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10399, 102syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
10498, 103mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘› ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
105104r19.21bi 3237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) β†’ (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10680, 105sylan2 594 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10732sselda 3949 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
108107recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
10936adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
110 eldifsni 4755 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ 𝑛 β‰  0)
111110adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 β‰  0)
112 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
113108, 109, 111, 112divne0d 11954 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑛 / 𝐴) β‰  0)
114 eldifsn 4752 . . . . . . . 8 ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) β‰  0))
115106, 113, 114sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))
116 eldifi 4091 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘˜ ∈ ran 𝐹)
117 fnfvelrn 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
11899, 117sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)β€˜π‘¦) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
11985, 118eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
120119ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
121 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) = (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)))
122121eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
123122ralrn 7043 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran 𝐹(𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
12494, 123syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ ran 𝐹(𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (𝐴 Β· (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)))
125120, 124mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ ran 𝐹(𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
126125r19.21bi 3237 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ ran 𝐹) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
127116, 126sylan2 594 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))
12836adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
12987frnd 6681 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
130129ssdifssd 4107 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
131130sselda 3949 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
132131recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
133 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
134 eldifsni 4755 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘˜ β‰  0)
135134adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘˜ β‰  0)
136128, 132, 133, 135mulne0d 11814 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) β‰  0)
137 eldifsn 4752 . . . . . . . 8 ((𝐴 Β· π‘˜) ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↔ ((𝐴 Β· π‘˜) ∈ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∧ (𝐴 Β· π‘˜) β‰  0))
138127, 136, 137sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 Β· π‘˜) ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}))
139 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}))
140 ssel2 3944 . . . . . . . . . . . 12 (((ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
14132, 139, 140syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
142141recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
1438ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
144143recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
145131adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
146145recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
147 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ 𝐴 β‰  0)
148142, 144, 146, 147divmuld 11960 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ ((𝑛 / 𝐴) = π‘˜ ↔ (𝐴 Β· π‘˜) = 𝑛))
149148bicomd 222 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ ((𝐴 Β· π‘˜) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = π‘˜))
150 eqcom 2744 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐴 Β· π‘˜) ↔ (𝐴 Β· π‘˜) = 𝑛)
151 eqcom 2744 . . . . . . . 8 (π‘˜ = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = π‘˜)
152149, 150, 1513bitr4g 314 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}))) β†’ (𝑛 = (𝐴 Β· π‘˜) ↔ π‘˜ = (𝑛 / 𝐴)))
15379, 115, 138, 152f1o2d 7612 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’(ran 𝐹 βˆ– {0}))
154 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 / 𝐴) = (π‘š / 𝐴))
155 ovex 7395 . . . . . . . 8 (π‘š / 𝐴) ∈ V
156154, 79, 155fvmpt 6953 . . . . . . 7 (π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘š / 𝐴))
157156adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))β€˜π‘š) = (π‘š / 𝐴))
158 i1fima2sn 25060 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
15971, 158sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜})) ∈ ℝ)
160131, 159remulcld 11192 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ ℝ)
161160recnd 11190 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) ∈ β„‚)
16278, 65, 153, 157, 161fsumf1o 15615 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘˜ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘˜}))) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))))
16373, 162eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)}))))
164163oveq2d 7378 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)) = (𝐴 Β· Ξ£π‘š ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})((π‘š / 𝐴) Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(π‘š / 𝐴)})))))
16568, 70, 1643eqtr4d 2787 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))
16626, 165pm2.61dane 3033 1 (πœ‘ β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹)) = (𝐴 Β· (∫1β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063   / cdiv 11819  Ξ£csu 15577  volcvol 24843  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  itg1sub  25090  itg2const  25121  itg2mulclem  25127  itg2monolem1  25131  itg2addnclem  36158
  Copyright terms: Public domain W3C validator