Theorem itg1mulc 25681

Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
itg1mulc	⊢ (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))

Proof of Theorem itg1mulc

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg10 25665	. . 3 ⊢ (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2		reex 11120	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
4		i1fmulc.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5		i1ff 25653	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8		i1fmulc.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		0red 11138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
11		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
12	11	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
13		mul02lem2 11314	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
15	12, 14	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
16	3, 7, 9, 10, 15	caofid2 7660	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
17	16	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (∫1‘(ℝ × {0})))
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
19	18	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = (0 · (∫1‘𝐹)))
20		itg1cl 25662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
21	4, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫1‘𝐹) ∈ ℂ)
23	22	mul02d 11335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 · (∫1‘𝐹)) = 0)
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (0 · (∫1‘𝐹)) = 0)
25	19, 24	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = 0)
26	1, 17, 25	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))
27	4, 8	i1fmulc 25680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
29		i1ff 25653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
31	30	frnd 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
32	31	ssdifssd 4088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
33	32	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℝ)
34	33	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℂ)
35	8	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
38		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
39	34, 37, 38	divcan2d 11924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) = 𝑚)
40	4, 8	i1fmulclem 25679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
41	33, 40	syldan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
42	41	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
43	42	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) = (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚})))
44	39, 43	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
45	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
46	33, 45, 38	redivcld 11974	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ)
47	46	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℂ)
48	4	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
49	45	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
50		eldifsni 4734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑚 ≠ 0)
51	50	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ≠ 0)
52	34, 49, 51, 38	divne0d 11938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ≠ 0)
53		eldifsn 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑚 / 𝐴) ≠ 0))
54	46, 52, 53	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
55		i1fima2sn 25657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
56	48, 54, 55	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
57	56	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℂ)
58	37, 47, 57	mulassd 11159	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
59	44, 58	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
60	59	sumeq2dv 15655	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
61		i1frn 25654	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
62	28, 61	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
63		difss 4077	. . . . . 6 ⊢ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)
64		ssfi 9100	. . . . . 6 ⊢ ((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
65	62, 63, 64	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
66	47, 57	mulcld 11156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) ∈ ℂ)
67	65, 36, 66	fsummulc2 15737	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
68	60, 67	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
69		itg1val 25660	. . . 4 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
70	28, 69	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑚}))))
71	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
72		itg1val 25660	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
73	71, 72	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))))
74		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → 𝑘 = (𝑚 / 𝐴))
75		sneq 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → {𝑘} = {(𝑚 / 𝐴)})
76	75	imaeq2d 6019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (◡𝐹 “ {𝑘}) = (◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
77	76	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
78	74, 77	oveq12d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
79		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
80		eldifi 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
81	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
82	6	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
83		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
84	81, 8, 82, 83	ofc1 7652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
85	84	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
86	85	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) / 𝐴))
87	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
88	87	ffvelcdmda 7030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
90	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
91		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
92	89, 90, 91	divcan3d 11927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 · (𝐹‘𝑦)) / 𝐴) = (𝐹‘𝑦))
93	86, 92	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = (𝐹‘𝑦))
94	87	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐹 Fn ℝ)
95		fnfvelrn 7026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
96	94, 95	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) ∈ ran 𝐹)
97	93, 96	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
98	97	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
99	30	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ)
100		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴))
101	100	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) → ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
102	101	ralrn 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
103	99, 102	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
104	98, 103	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
105	104	r19.21bi 3230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
106	80, 105	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
107	32	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
108	107	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℂ)
109	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
110		eldifsni 4734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
111	110	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
112		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
113	108, 109, 111, 112	divne0d 11938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ≠ 0)
114		eldifsn 4730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) ≠ 0))
115	106, 113, 114	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
116		eldifi 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran 𝐹)
117		fnfvelrn 7026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
118	99, 117	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
119	85, 118	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
120	119	ralrimiva 3130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
121		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝐹‘𝑦) → (𝐴 · 𝑘) = (𝐴 · (𝐹‘𝑦)))
122	121	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐹‘𝑦) → ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
123	122	ralrn 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
124	94, 123	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹‘𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)))
125	120, 124	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
126	125	r19.21bi 3230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ran 𝐹) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
127	116, 126	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹))
128	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
129	87	frnd 6670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
130	129	ssdifssd 4088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
131	130	sselda 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
132	131	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
133		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
134		eldifsni 4734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
135	134	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
136	128, 132, 133, 135	mulne0d 11793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
137		eldifsn 4730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↔ ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∧ (𝐴 · 𝑘) ≠ 0))
138	127, 136, 137	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
139		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}))
140		ssel2 3917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
141	32, 139, 140	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
142	141	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℂ)
143	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℝ)
144	143	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℂ)
145	131	adantrl 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℝ)
146	145	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℂ)
147		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ≠ 0)
148	142, 144, 146, 147	divmuld 11944	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝑛 / 𝐴) = 𝑘 ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛))
149	148	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝐴 · 𝑘) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘))
150		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛)
151		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘)
152	149, 150, 151	3bitr4g 314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ 𝑘 = (𝑛 / 𝐴)))
153	79, 115, 138, 152	f1o2d 7614	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})–1-1-onto→(ran 𝐹 ∖ {0}))
154		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / 𝐴) = (𝑚 / 𝐴))
155		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 / 𝐴) ∈ V
156	154, 79, 155	fvmpt 6941	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
157	156	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
158		i1fima2sn 25657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
159	71, 158	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
160	131, 159	remulcld 11166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
161	160	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℂ)
162	78, 65, 153, 157, 161	fsumf1o 15676	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
163	73, 162	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
164	163	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∫1‘𝐹)) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
165	68, 70, 164	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))
166	26, 165	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  Fincfn 8886  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798  Σcsu 15639  volcvol 25440  ∫₁citg1 25592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-xmet 21337  df-met 21338  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597

This theorem is referenced by:  itg1sub  25686  itg2const  25717  itg2mulclem  25723  itg2monolem1  25727  itg2addnclem  38006