MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fmul 25643
Description: The pointwise product of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Assertion
Ref Expression
i1fmul (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
Proof of Theorem i1fmul
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 𝑣 π‘₯ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 11229 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
3 i1fadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25623 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6 i1fadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1ff 25623 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
9 reex 11235 . . . 4 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4219 . . 3 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
122, 5, 8, 10, 10, 11off 7707 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆβ„)
13 i1frn 25624 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
143, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
15 i1frn 25624 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
166, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
17 xpfi 9347 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐺 ∈ Fin) β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
1814, 16, 17syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
19 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
20 ovex 7457 . . . . . 6 (𝑒 Β· 𝑣) ∈ V
2119, 20fnmpoi 8078 . . . . 5 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)
22 dffn4 6820 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ↔ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
2321, 22mpbi 229 . . . 4 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
24 fofi 9368 . . . 4 (((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin ∧ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))) β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
2518, 23, 24sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
26 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)
27 rspceov 7471 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺 ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
2826, 27mp3an3 1446 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
29 ovex 7457 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ V
30 eqeq1 2731 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
31302rexbidv 3215 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
3229, 31elab 3667 . . . . . . . 8 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
3328, 32sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
3433adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
355ffnd 6726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
36 dffn3 6738 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
3735, 36sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
388ffnd 6726 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
39 dffn3 6738 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ ↔ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4038, 39sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4134, 37, 40, 10, 10, 11off 7707 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆ{𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4241frnd 6733 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4319rnmpo 7558 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)}
4442, 43sseqtrrdi 4031 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
4525, 44ssfid 9296 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ Fin)
4612frnd 6733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ℝ)
47 ax-resscn 11201 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
4846, 47sstrdi 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† β„‚)
4948ssdifd 4139 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5049sselda 3980 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
513, 6i1fmullem 25641 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
5250, 51syldan 589 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
53 difss 4130 . . . . . 6 (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺
54 ssfi 9202 . . . . . 6 ((ran 𝐺 ∈ Fin ∧ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
5516, 53, 54sylancl 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
56 i1fima 25625 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
573, 56syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
58 i1fima 25625 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
596, 58syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
60 inmbl 25489 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6261ralrimivw 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
63 finiunmbl 25491 . . . . 5 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6455, 62, 63syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6564adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6652, 65eqeltrd 2828 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
67 mblvol 25477 . . . 4 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
6866, 67syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
69 mblss 25478 . . . . 5 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7066, 69syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7155adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
72 inss2 4230 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧})
7372a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}))
7459ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
75 mblss 25478 . . . . . . 7 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
77 mblvol 25477 . . . . . . . 8 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
7874, 77syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
796adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
80 i1fima2sn 25627 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8179, 80sylan 578 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8278, 81eqeltrrd 2829 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
83 ovolsscl 25433 . . . . . 6 ((((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8473, 76, 82, 83syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8571, 84fsumrecl 15718 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8652fveq2d 6904 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
87 mblss 25478 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8861, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8988ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
9089, 84jca 510 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
9190ralrimiva 3142 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
92 ovolfiniun 25448 . . . . . 6 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9371, 91, 92syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9486, 93eqbrtrd 5172 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
95 ovollecl 25430 . . . 4 (((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ ∧ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9670, 85, 94, 95syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9768, 96eqeltrd 2828 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9812, 45, 66, 97i1fd 25628 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2704  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4630  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5150   Γ— cxp 5678  β—‘ccnv 5679  dom cdm 5680  ran crn 5681   β€œ cima 5683   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€“ontoβ†’wfo 6549  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426   ∘f cof 7687  Fincfn 8968  β„‚cc 11142  β„cr 11143  0cc0 11144   Β· cmul 11149   ≀ cle 11285   / cdiv 11907  Ξ£csu 15670  vol*covol 25409  volcvol 25410  βˆ«1citg1 25562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-dju 9930  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xadd 13131  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14328  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-clim 15470  df-sum 15671  df-xmet 21277  df-met 21278  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25672  ftc1anclem3  37173
  Copyright terms: Public domain W3C validator