MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fmul 25545
Description: The pointwise product of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Assertion
Ref Expression
i1fmul (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
Proof of Theorem i1fmul
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 𝑣 π‘₯ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 11201 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
3 i1fadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25525 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6 i1fadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1ff 25525 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
9 reex 11207 . . . 4 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4218 . . 3 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
122, 5, 8, 10, 10, 11off 7692 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆβ„)
13 i1frn 25526 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
143, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
15 i1frn 25526 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
166, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
17 xpfi 9323 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐺 ∈ Fin) β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
1814, 16, 17syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
19 eqid 2731 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
20 ovex 7445 . . . . . 6 (𝑒 Β· 𝑣) ∈ V
2119, 20fnmpoi 8060 . . . . 5 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)
22 dffn4 6811 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ↔ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
2321, 22mpbi 229 . . . 4 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
24 fofi 9344 . . . 4 (((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin ∧ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))) β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
2518, 23, 24sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
26 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)
27 rspceov 7459 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺 ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
2826, 27mp3an3 1449 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
29 ovex 7445 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ V
30 eqeq1 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
31302rexbidv 3218 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
3229, 31elab 3668 . . . . . . . 8 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
3328, 32sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
3433adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
355ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
36 dffn3 6730 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
3735, 36sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
388ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
39 dffn3 6730 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ ↔ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4038, 39sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4134, 37, 40, 10, 10, 11off 7692 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆ{𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4241frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4319rnmpo 7545 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)}
4442, 43sseqtrrdi 4033 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
4525, 44ssfid 9273 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ Fin)
4612frnd 6725 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ℝ)
47 ax-resscn 11173 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
4846, 47sstrdi 3994 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† β„‚)
4948ssdifd 4140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5049sselda 3982 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
513, 6i1fmullem 25543 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
5250, 51syldan 590 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
53 difss 4131 . . . . . 6 (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺
54 ssfi 9179 . . . . . 6 ((ran 𝐺 ∈ Fin ∧ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
5516, 53, 54sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
56 i1fima 25527 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
573, 56syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
58 i1fima 25527 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
596, 58syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
60 inmbl 25391 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6261ralrimivw 3149 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
63 finiunmbl 25393 . . . . 5 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6455, 62, 63syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6564adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6652, 65eqeltrd 2832 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
67 mblvol 25379 . . . 4 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
6866, 67syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
69 mblss 25380 . . . . 5 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7066, 69syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7155adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
72 inss2 4229 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧})
7372a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}))
7459ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
75 mblss 25380 . . . . . . 7 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
77 mblvol 25379 . . . . . . . 8 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
7874, 77syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
796adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
80 i1fima2sn 25529 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8179, 80sylan 579 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8278, 81eqeltrrd 2833 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
83 ovolsscl 25335 . . . . . 6 ((((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8473, 76, 82, 83syl3anc 1370 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8571, 84fsumrecl 15687 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8652fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
87 mblss 25380 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8861, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8988ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
9089, 84jca 511 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
9190ralrimiva 3145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
92 ovolfiniun 25350 . . . . . 6 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9371, 91, 92syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9486, 93eqbrtrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
95 ovollecl 25332 . . . 4 (((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ ∧ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9670, 85, 94, 95syl3anc 1370 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9768, 96eqeltrd 2832 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9812, 45, 66, 97i1fd 25530 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ∘f cof 7672  Fincfn 8945  β„‚cc 11114  β„cr 11115  0cc0 11116   Β· cmul 11121   ≀ cle 11256   / cdiv 11878  Ξ£csu 15639  vol*covol 25311  volcvol 25312  βˆ«1citg1 25464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xadd 13100  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-xmet 21226  df-met 21227  df-ovol 25313  df-vol 25314  df-mbf 25468  df-itg1 25469
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25574  ftc1anclem3  37027
  Copyright terms: Public domain W3C validator