MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmul 25076
Description: The pointwise product of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Assertion
Ref Expression
i1fmul (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmul
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 𝑣 π‘₯ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 11143 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
3 i1fadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25056 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6 i1fadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1ff 25056 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
9 reex 11149 . . . 4 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4183 . . 3 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
122, 5, 8, 10, 10, 11off 7640 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆβ„)
13 i1frn 25057 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
143, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
15 i1frn 25057 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
166, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
17 xpfi 9268 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐺 ∈ Fin) β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
1814, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
20 ovex 7395 . . . . . 6 (𝑒 Β· 𝑣) ∈ V
2119, 20fnmpoi 8007 . . . . 5 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)
22 dffn4 6767 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ↔ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
2321, 22mpbi 229 . . . 4 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
24 fofi 9289 . . . 4 (((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin ∧ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))) β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
2518, 23, 24sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
26 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)
27 rspceov 7409 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺 ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
2826, 27mp3an3 1451 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
29 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ V
30 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
31302rexbidv 3214 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
3229, 31elab 3635 . . . . . . . 8 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
3328, 32sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
3433adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
355ffnd 6674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
36 dffn3 6686 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
3735, 36sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
388ffnd 6674 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
39 dffn3 6686 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ ↔ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4038, 39sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4134, 37, 40, 10, 10, 11off 7640 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆ{𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4241frnd 6681 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4319rnmpo 7494 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)}
4442, 43sseqtrrdi 4000 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
4525, 44ssfid 9218 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ Fin)
4612frnd 6681 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ℝ)
47 ax-resscn 11115 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
4846, 47sstrdi 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† β„‚)
4948ssdifd 4105 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5049sselda 3949 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
513, 6i1fmullem 25074 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
5250, 51syldan 592 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
53 difss 4096 . . . . . 6 (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺
54 ssfi 9124 . . . . . 6 ((ran 𝐺 ∈ Fin ∧ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
5516, 53, 54sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
56 i1fima 25058 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
573, 56syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
58 i1fima 25058 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
596, 58syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
60 inmbl 24922 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6261ralrimivw 3148 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
63 finiunmbl 24924 . . . . 5 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6455, 62, 63syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6564adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6652, 65eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
67 mblvol 24910 . . . 4 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
6866, 67syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
69 mblss 24911 . . . . 5 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7066, 69syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7155adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
72 inss2 4194 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧})
7372a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}))
7459ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
75 mblss 24911 . . . . . . 7 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
77 mblvol 24910 . . . . . . . 8 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
7874, 77syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
796adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
80 i1fima2sn 25060 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8179, 80sylan 581 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8278, 81eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
83 ovolsscl 24866 . . . . . 6 ((((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8473, 76, 82, 83syl3anc 1372 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8571, 84fsumrecl 15626 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8652fveq2d 6851 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
87 mblss 24911 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8861, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
9089, 84jca 513 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
9190ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
92 ovolfiniun 24881 . . . . . 6 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9371, 91, 92syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9486, 93eqbrtrd 5132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
95 ovollecl 24863 . . . 4 (((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ ∧ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9670, 85, 94, 95syl3anc 1372 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9768, 96eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9812, 45, 66, 97i1fd 25061 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   ∘f cof 7620  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  Ξ£csu 15577  vol*covol 24842  volcvol 24843  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25105  ftc1anclem3  36182
  Copyright terms: Public domain W3C validator