MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmul Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fmul 25576
Description: The pointwise product of two simple functions is a simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Assertion
Ref Expression
i1fmul (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
Proof of Theorem i1fmul
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑀 𝑣 π‘₯ 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 11194 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
3 i1fadd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25556 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
6 i1fadd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
7 i1ff 25556 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
86, 7syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
9 reex 11200 . . . 4 ℝ ∈ V
109a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
11 inidm 4213 . . 3 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
122, 5, 8, 10, 10, 11off 7684 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆβ„)
13 i1frn 25557 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
143, 13syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
15 i1frn 25557 . . . . . 6 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
166, 15syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
17 xpfi 9316 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ran 𝐺 ∈ Fin) β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
1814, 16, 17syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin)
19 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
20 ovex 7437 . . . . . 6 (𝑒 Β· 𝑣) ∈ V
2119, 20fnmpoi 8052 . . . . 5 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)
22 dffn4 6804 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) Fn (ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ↔ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
2321, 22mpbi 229 . . . 4 (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))
24 fofi 9337 . . . 4 (((ran 𝐹 Γ— ran 𝐺) ∈ Fin ∧ (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)):(ran 𝐹 Γ— ran 𝐺)–ontoβ†’ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣))) β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
2518, 23, 24sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) ∈ Fin)
26 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)
27 rspceov 7451 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺 ∧ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
2826, 27mp3an3 1446 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
29 ovex 7437 . . . . . . . . 9 (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ V
30 eqeq1 2730 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ (π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
31302rexbidv 3213 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (π‘₯ Β· 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣)))
3229, 31elab 3663 . . . . . . . 8 ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)} ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺(π‘₯ Β· 𝑦) = (𝑒 Β· 𝑣))
3328, 32sylibr 233 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
3433adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
355ffnd 6711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
36 dffn3 6723 . . . . . . 7 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
3735, 36sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
388ffnd 6711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
39 dffn3 6723 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ ↔ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4038, 39sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐺)
4134, 37, 40, 10, 10, 11off 7684 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺):β„βŸΆ{𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4241frnd 6718 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)})
4319rnmpo 7537 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = {𝑀 ∣ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΉβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐺 𝑀 = (𝑒 Β· 𝑣)}
4442, 43sseqtrrdi 4028 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ran (𝑒 ∈ ran 𝐹, 𝑣 ∈ ran 𝐺 ↦ (𝑒 Β· 𝑣)))
4525, 44ssfid 9266 . 2 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ Fin)
4612frnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† ℝ)
47 ax-resscn 11166 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
4846, 47sstrdi 3989 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βŠ† β„‚)
4948ssdifd 4135 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0}) βŠ† (β„‚ βˆ– {0}))
5049sselda 3977 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
513, 6i1fmullem 25574 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
5250, 51syldan 590 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) = βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))
53 difss 4126 . . . . . 6 (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺
54 ssfi 9172 . . . . . 6 ((ran 𝐺 ∈ Fin ∧ (ran 𝐺 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐺) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
5516, 53, 54sylancl 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
56 i1fima 25558 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
573, 56syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol)
58 i1fima 25558 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
596, 58syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
60 inmbl 25422 . . . . . . 7 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6157, 59, 60syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6261ralrimivw 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
63 finiunmbl 25424 . . . . 5 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6455, 62, 63syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6564adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol)
6652, 65eqeltrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
67 mblvol 25410 . . . 4 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
6866, 67syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})))
69 mblss 25411 . . . . 5 ((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7066, 69syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
7155adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin)
72 inss2 4224 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧})
7372a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}))
7459ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol)
75 mblss 25411 . . . . . . 7 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
7674, 75syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ)
77 mblvol 25410 . . . . . . . 8 ((◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
7874, 77syl 17 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) = (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})))
796adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
80 i1fima2sn 25560 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8179, 80sylan 579 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
8278, 81eqeltrrd 2828 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ)
83 ovolsscl 25366 . . . . . 6 ((((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† (◑𝐺 β€œ {𝑧}) ∧ (◑𝐺 β€œ {𝑧}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8473, 76, 82, 83syl3anc 1368 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8571, 84fsumrecl 15684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)
8652fveq2d 6888 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
87 mblss 25411 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) ∈ dom vol β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8861, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
8988ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ)
9089, 84jca 511 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
9190ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ))
92 ovolfiniun 25381 . . . . . 6 (((ran 𝐺 βˆ– {0}) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘§ ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ)) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9371, 91, 92syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜βˆͺ 𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
9486, 93eqbrtrd 5163 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))))
95 ovollecl 25363 . . . 4 (((β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ ∧ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧}))) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ≀ Σ𝑧 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})(vol*β€˜((◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝑧)}) ∩ (◑𝐺 β€œ {𝑧})))) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9670, 85, 94, 95syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9768, 96eqeltrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (ran (𝐹 ∘f Β· 𝐺) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(𝐹 ∘f Β· 𝐺) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
9812, 45, 66, 97i1fd 25561 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669  ran crn 5670   β€œ cima 5672   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€“ontoβ†’wfo 6534  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406   ∘f cof 7664  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250   / cdiv 11872  Ξ£csu 15636  vol*covol 25342  volcvol 25343  βˆ«1citg1 25495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21229  df-met 21230  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-itg1 25500
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  25605  ftc1anclem3  37074
  Copyright terms: Public domain W3C validator