MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1cl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1cl 25202
Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1cl (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
Proof of Theorem itg1cl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1val 25200 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
2 i1frn 25194 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
3 difss 4132 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
4 ssfi 9173 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 587 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 25193 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76frnd 6726 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
87ssdifssd 4143 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
98sselda 3983 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10 i1fima2sn 25197 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11244 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
125, 11fsumrecl 15680 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
131, 12eqeltrd 2834 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115  Ξ£csu 15632  volcvol 24980  βˆ«1citg1 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137
This theorem is referenced by:  itg1mulc  25222  itg1sub  25227  itg1lea  25230  itg2lcl  25245  itg2itg1  25254  itg2seq  25260  itg2uba  25261  itg2mulclem  25264  itg2splitlem  25266  itg2split  25267  itg2monolem1  25268  itg2monolem2  25269  itg2monolem3  25270  itg2i1fseq2  25274  itg2addlem  25276  i1fibl  25325  itg2addnclem  36587  itg2addnc  36590  ftc1anclem5  36613  ftc1anclem7  36615  ftc1anclem8  36616
  Copyright terms: Public domain W3C validator