MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1cl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1cl 25194
Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1cl (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
Proof of Theorem itg1cl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1val 25192 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
2 i1frn 25186 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
3 difss 4131 . . . 4 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
4 ssfi 9170 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 587 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 25185 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76frnd 6723 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
87ssdifssd 4142 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
98sselda 3982 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10 i1fima2sn 25189 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11241 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
125, 11fsumrecl 15677 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
131, 12eqeltrd 2834 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  β„cr 11106  0cc0 11107   Β· cmul 11112  Ξ£csu 15629  volcvol 24972  βˆ«1citg1 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xadd 13090  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-xmet 20930  df-met 20931  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129
This theorem is referenced by:  itg1mulc  25214  itg1sub  25219  itg1lea  25222  itg2lcl  25237  itg2itg1  25246  itg2seq  25252  itg2uba  25253  itg2mulclem  25256  itg2splitlem  25258  itg2split  25259  itg2monolem1  25260  itg2monolem2  25261  itg2monolem3  25262  itg2i1fseq2  25266  itg2addlem  25268  i1fibl  25317  itg2addnclem  36528  itg2addnc  36531  ftc1anclem5  36554  ftc1anclem7  36556  ftc1anclem8  36557
  Copyright terms: Public domain W3C validator