Theorem itg1cl 23793

Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1cl	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)

Proof of Theorem itg1cl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 23791	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2		i1frn 23785	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
3		difss 3935	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
4		ssfi 8422	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 581	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 23784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	frnd 6263	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
8	7	ssdifssd 3946	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
9	8	sselda 3798	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		i1fima2sn 23788	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 10359	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
12	5, 11	fsumrecl 14806	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	1, 12	eqeltrd 2878	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  {csn 4368  ^◡ccnv 5311  dom cdm 5312  ran crn 5313   “ cima 5315  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  ℝcr 10223  0cc0 10224   · cmul 10229  Σcsu 14757  volcvol 23571  ∫₁citg1 23723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xadd 12194  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-xmet 20061  df-met 20062  df-ovol 23572  df-vol 23573  df-mbf 23727  df-itg1 23728

This theorem is referenced by:  itg1mulc  23812  itg1sub  23817  itg1lea  23820  itg2lcl  23835  itg2itg1  23844  itg2seq  23850  itg2uba  23851  itg2mulclem  23854  itg2splitlem  23856  itg2split  23857  itg2monolem1  23858  itg2monolem2  23859  itg2monolem3  23860  itg2i1fseq2  23864  itg2addlem  23866  i1fibl  23915  itg2addnclem  33949  itg2addnc  33952  ftc1anclem5  33977  ftc1anclem7  33979  ftc1anclem8  33980