MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1cl 24201
Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1cl (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)

Proof of Theorem itg1cl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1val 24199 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
2 i1frn 24193 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
3 difss 4112 . . . 4 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
4 ssfi 8727 . . . 4 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 586 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 24192 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
76frnd 6518 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
87ssdifssd 4123 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
98sselda 3971 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 i1fima2sn 24196 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
119, 10remulcld 10660 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
125, 11fsumrecl 15081 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
131, 12eqeltrd 2918 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  cdif 3937  wss 3940  {csn 4564  ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555  cima 5557  cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  cr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531  Σcsu 15032  volcvol 23979  1citg1 24131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xadd 12498  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-xmet 20454  df-met 20455  df-ovol 23980  df-vol 23981  df-mbf 24135  df-itg1 24136
This theorem is referenced by:  itg1mulc  24220  itg1sub  24225  itg1lea  24228  itg2lcl  24243  itg2itg1  24252  itg2seq  24258  itg2uba  24259  itg2mulclem  24262  itg2splitlem  24264  itg2split  24265  itg2monolem1  24266  itg2monolem2  24267  itg2monolem3  24268  itg2i1fseq2  24272  itg2addlem  24274  i1fibl  24323  itg2addnclem  34810  itg2addnc  34813  ftc1anclem5  34838  ftc1anclem7  34840  ftc1anclem8  34841
  Copyright terms: Public domain W3C validator