Theorem itg1cl 25705

Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1cl	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)

Proof of Theorem itg1cl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 25703	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2		i1frn 25697	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
3		difss 4131	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
4		ssfi 9211	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 584	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 25696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	frnd 6736	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
8	7	ssdifssd 4142	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
9	8	sselda 3979	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		i1fima2sn 25700	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11294	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
12	5, 11	fsumrecl 15738	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	1, 12	eqeltrd 2826	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4633  ^◡ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683   “ cima 5685  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  ℝcr 11157  0cc0 11158   · cmul 11163  Σcsu 15690  volcvol 25483  ∫₁citg1 25635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xadd 13147  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-xmet 21336  df-met 21337  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640

This theorem is referenced by:  itg1mulc  25725  itg1sub  25730  itg1lea  25733  itg2lcl  25748  itg2itg1  25757  itg2seq  25763  itg2uba  25764  itg2mulclem  25767  itg2splitlem  25769  itg2split  25770  itg2monolem1  25771  itg2monolem2  25772  itg2monolem3  25773  itg2i1fseq2  25777  itg2addlem  25779  i1fibl  25828  itg2addnclem  37372  itg2addnc  37375  ftc1anclem5  37398  ftc1anclem7  37400  ftc1anclem8  37401