Theorem itg1cl 25673

Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1cl	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)

Proof of Theorem itg1cl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg1val 25671	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
2		i1frn 25665	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
3		difss 4068	. . . 4 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
4		ssfi 9101	. . . 4 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	sylancl 593	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 25664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	frnd 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
8	7	ssdifssd 4079	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
9	8	sselda 3916	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		i1fima2sn 25668	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11171	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
12	5, 11	fsumrecl 15691	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
13	1, 12	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  {csn 4557  ^◡ccnv 5619  dom cdm 5620  ran crn 5621   “ cima 5623  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Fincfn 8887  ℝcr 11033  0cc0 11034   · cmul 11039  Σcsu 15643  volcvol 25451  ∫₁citg1 25603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xadd 13059  df-ioo 13297  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-xmet 21343  df-met 21344  df-ovol 25452  df-vol 25453  df-mbf 25607  df-itg1 25608

This theorem is referenced by:  itg1mulc  25692  itg1sub  25697  itg1lea  25700  itg2lcl  25715  itg2itg1  25724  itg2seq  25730  itg2uba  25731  itg2mulclem  25734  itg2splitlem  25736  itg2split  25737  itg2monolem1  25738  itg2monolem2  25739  itg2monolem3  25740  itg2i1fseq2  25744  itg2addlem  25746  i1fibl  25796  itg2addnclem  38051  itg2addnc  38054  ftc1anclem5  38077  ftc1anclem7  38079  ftc1anclem8  38080