MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fres 25070
Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fres.1 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fres ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fres
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25040 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
32ffnd 6669 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn ℝ)
4 fnfvelrn 7031 . . . . . 6 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
53, 4sylan 580 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
6 i1f0rn 25046 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
76ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ran 𝐹)
85, 7ifcld 4532 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) ∈ ran 𝐹)
9 i1fres.1 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0))
108, 9fmptd 7062 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
112frnd 6676 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1210, 11fssd 6686 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13 i1frn 25041 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
1413adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ Fin)
1510frnd 6676 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
1614, 15ssfid 9211 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ∈ Fin)
17 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝑧𝐴))
18 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
1917, 18ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥𝐴, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0))
20 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹𝑧) ∈ V
21 c0ex 11149 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2220, 21ifex 4536 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) ∈ V
2319, 9, 22fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐺𝑧) = if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0))
2423adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺𝑧) = if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0))
2524eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 ↔ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦))
26 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ≠ 0)
2827necomd 2999 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≠ 𝑦)
29 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝐴 → if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 0)
3029neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧𝐴 → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) ≠ 𝑦 ↔ 0 ≠ 𝑦))
3128, 30syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑧𝐴 → if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) ≠ 𝑦))
3231necon4bd 2963 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦𝑧𝐴))
3332pm4.71rd 563 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧𝐴 ∧ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦)))
3425, 33bitrd 278 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧𝐴 ∧ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦)))
35 iftrue 4492 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐴 → if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = (𝐹𝑧))
3635eqeq1d 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴 → (if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑦))
3736pm5.32i 575 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐴 ∧ if(𝑧𝐴, (𝐹𝑧), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))
3834, 37bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
3938pm5.32da 579 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))))
40 an12 643 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
4139, 40bitrdi 286 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))))
4210ffnd 6669 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 Fn ℝ)
4342adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐺 Fn ℝ)
44 fniniseg 7010 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦)))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑧) = 𝑦)))
463adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
47 fniniseg 7010 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦)))
4948anbi2d 629 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = 𝑦))))
5041, 45, 493bitr4d 310 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦}))))
51 elin 3926 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ {𝑦})))
5250, 51bitr4di 288 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (𝐺 “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
5352eqrdv 2734 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐺 “ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})))
54 simplr 767 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
55 i1fima 25042 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
5655ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
57 inmbl 24906 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
5854, 56, 57syl2anc 584 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
5953, 58eqeltrd 2838 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐺 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
6053fveq2d 6846 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐺 “ {𝑦})) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
61 mblvol 24894 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
6258, 61syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
6360, 62eqtrd 2776 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐺 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))))
64 inss2 4189 . . . 4 (𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (𝐹 “ {𝑦})
65 mblss 24895 . . . . 5 ((𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
6656, 65syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
67 mblvol 24894 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})))
6856, 67syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})))
69 i1fima2sn 25044 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
7069adantlr 713 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
7168, 70eqeltrrd 2839 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
72 ovolsscl 24850 . . . 4 (((𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (𝐹 “ {𝑦}) ∧ (𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
7364, 66, 71, 72mp3an2i 1466 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
7463, 73eqeltrd 2838 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐺 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
7512, 16, 59, 74i1fd 25045 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  cmpt 5188  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  vol*covol 24826  volcvol 24827  1citg1 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984
This theorem is referenced by:  i1fpos  25071  itg1climres  25079  itg2uba  25108  itg2splitlem  25113  itg2monolem1  25115  ftc1anclem5  36155  ftc1anclem7  36157
  Copyright terms: Public domain W3C validator