MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fres 25073
Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fres.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fres ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem i1fres
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25043 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
32ffnd 6670 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
4 fnfvelrn 7032 . . . . . 6 ((𝐹 Fn ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
53, 4sylan 581 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
6 i1f0rn 25049 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
76ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
85, 7ifcld 4533 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ran 𝐹)
9 i1fres.1 . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
108, 9fmptd 7063 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐹)
112frnd 6677 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
1210, 11fssd 6687 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
13 i1frn 25044 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
1413adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
1510frnd 6677 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐺 βŠ† ran 𝐹)
1614, 15ssfid 9212 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
17 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
18 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
1917, 18ifbieq1d 4511 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0))
20 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . 14 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
21 c0ex 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2220, 21ifex 4537 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) ∈ V
2319, 9, 22fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0))
2423adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0))
2524eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦))
26 eldifsni 4751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 β‰  0)
2827necomd 3000 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 β‰  𝑦)
29 iffalse 4496 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 0)
3029neeq1d 3004 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) β‰  𝑦 ↔ 0 β‰  𝑦))
3128, 30syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) β‰  𝑦))
3231necon4bd 2964 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦 β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
3332pm4.71rd 564 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦)))
3425, 33bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦)))
35 iftrue 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = (πΉβ€˜π‘§))
3635eqeq1d 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))
3736pm5.32i 576 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))
3834, 37bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
3938pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))))
40 an12 644 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4139, 40bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))))
4210ffnd 6670 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
4342adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
44 fniniseg 7011 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
463adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
47 fniniseg 7011 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4948anbi2d 630 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))))
5041, 45, 493bitr4d 311 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
51 elin 3927 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦})))
5250, 51bitr4di 289 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
5352eqrdv 2735 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})))
54 simplr 768 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
55 i1fima 25045 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
5655ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
57 inmbl 24909 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ dom vol)
5854, 56, 57syl2anc 585 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ dom vol)
5953, 58eqeltrd 2838 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
6053fveq2d 6847 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑦})) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
61 mblvol 24897 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
6258, 61syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
6360, 62eqtrd 2777 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
64 inss2 4190 . . . 4 (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑦})
65 mblss 24898 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
6656, 65syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
67 mblvol 24897 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})))
6856, 67syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})))
69 i1fima2sn 25047 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
7069adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
7168, 70eqeltrrd 2839 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
72 ovolsscl 24853 . . . 4 (((𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) ∈ ℝ)
7364, 66, 71, 72mp3an2i 1467 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) ∈ ℝ)
7463, 73eqeltrd 2838 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
7512, 16, 59, 74i1fd 25048 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  Fincfn 8884  β„cr 11051  0cc0 11052  vol*covol 24829  volcvol 24830  βˆ«1citg1 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9348  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xneg 13034  df-xadd 13035  df-xmul 13036  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-rest 17305  df-topgen 17326  df-psmet 20791  df-xmet 20792  df-met 20793  df-bl 20794  df-mopn 20795  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cmp 22741  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987
This theorem is referenced by:  i1fpos  25074  itg1climres  25082  itg2uba  25111  itg2splitlem  25116  itg2monolem1  25118  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem7  36160
  Copyright terms: Public domain W3C validator