Theorem i1fres 25662

Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fres.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fres	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fres

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25633	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffnd 6663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn ℝ)
4		fnfvelrn 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
6		i1f0rn 25639	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
7	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ran 𝐹)
8	5, 7	ifcld 4526	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ ran 𝐹)
9		i1fres.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
10	8, 9	fmptd 7059	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
11	2	frnd 6670	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6679	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		i1frn 25634	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	10	frnd 6670	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	ssfid 9169	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ∈ Fin)
17		eleq1w 2819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
18		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
19	17, 18	ifbieq1d 4504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
20		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
21		c0ex 11126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
22	20, 21	ifex 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ∈ V
23	19, 9, 22	fvmpt 6941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
25	24	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦))
26		eldifsni 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ≠ 0)
28	27	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≠ 𝑦)
29		iffalse 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 0)
30	29	neeq1d 2991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦 ↔ 0 ≠ 𝑦))
31	28, 30	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦))
32	31	necon4bd 2952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐴))
33	32	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
34	25, 33	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
35		iftrue 4485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = (𝐹‘𝑧))
36	35	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
37	36	pm5.32i 574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
38	34, 37	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
39	38	pm5.32da 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
40		an12 645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
41	39, 40	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
42	10	ffnd 6663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 Fn ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐺 Fn ℝ)
44		fniniseg 7005	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
46	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
47		fniniseg 7005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
49	48	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
50	41, 45, 49	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
51		elin 3917	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})))
52	50, 51	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
53	52	eqrdv 2734	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})))
54		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
55		i1fima 25635	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
56	55	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
57		inmbl 25499	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
58	54, 56, 57	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
59	53, 58	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
60	53	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
61		mblvol 25487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
62	58, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
63	60, 62	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
64		inss2 4190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦})
65		mblss 25488	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
66	56, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
67		mblvol 25487	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
68	56, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
69		i1fima2sn 25637	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
70	69	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
71	68, 70	eqeltrrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
72		ovolsscl 25443	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
73	64, 66, 71, 72	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
74	63, 73	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
75	12, 16, 59, 74	i1fd 25638	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Fincfn 8883  ℝcr 11025  0cc0 11026  vol*covol 25419  volcvol 25420  ∫₁citg1 25572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-rest 17342  df-topgen 17363  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-cmp 23331  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577

This theorem is referenced by:  i1fpos  25663  itg1climres  25671  itg2uba  25700  itg2splitlem  25705  itg2monolem1  25707  ftc1anclem5  37894  ftc1anclem7  37896