Theorem i1fres 25613

Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fres.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fres	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fres

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn ℝ)
4		fnfvelrn 7055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
6		i1f0rn 25590	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
7	6	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ran 𝐹)
8	5, 7	ifcld 4538	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ ran 𝐹)
9		i1fres.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
10	8, 9	fmptd 7089	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
11	2	frnd 6699	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6708	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		i1frn 25585	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	10	frnd 6699	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	ssfid 9219	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ∈ Fin)
17		eleq1w 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
18		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
19	17, 18	ifbieq1d 4516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
20		fvex 6874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
21		c0ex 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
22	20, 21	ifex 4542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ∈ V
23	19, 9, 22	fvmpt 6971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
25	24	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦))
26		eldifsni 4757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ≠ 0)
28	27	necomd 2981	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≠ 𝑦)
29		iffalse 4500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 0)
30	29	neeq1d 2985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦 ↔ 0 ≠ 𝑦))
31	28, 30	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦))
32	31	necon4bd 2946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐴))
33	32	pm4.71rd 562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
34	25, 33	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
35		iftrue 4497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = (𝐹‘𝑧))
36	35	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
37	36	pm5.32i 574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
38	34, 37	bitrdi 287	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
39	38	pm5.32da 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
40		an12 645	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
41	39, 40	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
42	10	ffnd 6692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 Fn ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐺 Fn ℝ)
44		fniniseg 7035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
46	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
47		fniniseg 7035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
49	48	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
50	41, 45, 49	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
51		elin 3933	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})))
52	50, 51	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
53	52	eqrdv 2728	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})))
54		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
55		i1fima 25586	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
56	55	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
57		inmbl 25450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
58	54, 56, 57	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
59	53, 58	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
60	53	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
61		mblvol 25438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
62	58, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
63	60, 62	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
64		inss2 4204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦})
65		mblss 25439	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
66	56, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
67		mblvol 25438	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
68	56, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
69		i1fima2sn 25588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
70	69	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
71	68, 70	eqeltrrd 2830	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
72		ovolsscl 25394	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
73	64, 66, 71, 72	mp3an2i 1468	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
74	63, 73	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
75	12, 16, 59, 74	i1fd 25589	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640  dom cdm 5641  ran crn 5642   “ cima 5644   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075  vol*covol 25370  volcvol 25371  ∫₁citg1 25523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cmp 23281  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527  df-itg1 25528

This theorem is referenced by:  i1fpos  25614  itg1climres  25622  itg2uba  25651  itg2splitlem  25656  itg2monolem1  25658  ftc1anclem5  37698  ftc1anclem7  37700