Theorem i1fres 25901

Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fres.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fres	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fres

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffnd 6713	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn ℝ)
4		fnfvelrn 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
6		i1f0rn 25878	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
7	6	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ran 𝐹)
8	5, 7	ifcld 4539	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ ran 𝐹)
9		i1fres.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
10	8, 9	fmptd 7116	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
11	2	frnd 6721	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6730	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		i1frn 25873	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	10	frnd 6721	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	ssfid 9239	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ∈ Fin)
17		eleq1w 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
18		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
19	17, 18	ifbieq1d 4517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
20		fvex 6901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
21		c0ex 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
22	20, 21	ifex 4543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ∈ V
23	19, 9, 22	fvmpt 6996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
25	24	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦))
26		eldifsni 4763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
27	26	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ≠ 0)
28	27	necomd 3016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≠ 𝑦)
29		iffalse 4501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 0)
30	29	neeq1d 3020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦 ↔ 0 ≠ 𝑦))
31	28, 30	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦))
32	31	necon4bd 2981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐴))
33	32	pm4.71rd 572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
34	25, 33	bitrd 282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
35		iftrue 4498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = (𝐹‘𝑧))
36	35	eqeq1d 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
37	36	pm5.32i 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
38	34, 37	bitrdi 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
39	38	pm5.32da 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
40		an12 658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
41	39, 40	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
42	10	ffnd 6713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 Fn ℝ)
43	42	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐺 Fn ℝ)
44		fniniseg 7062	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
45	43, 44	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
46	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
47		fniniseg 7062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
49	48	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
50	41, 45, 49	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
51		elin 3924	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})))
52	50, 51	bitr4di 292	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
53	52	eqrdv 2764	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})))
54		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
55		i1fima 25874	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
56	55	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
57		inmbl 25738	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
58	54, 56, 57	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
59	53, 58	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
60	53	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
61		mblvol 25726	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
62	58, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
63	60, 62	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
64		inss2 4193	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦})
65		mblss 25727	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
66	56, 65	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
67		mblvol 25726	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
68	56, 67	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
69		i1fima2sn 25876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
70	69	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
71	68, 70	eqeltrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
72		ovolsscl 25682	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
73	64, 66, 71, 72	mp3an2i 1495	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
74	63, 73	eqeltrd 2866	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
75	12, 16, 59, 74	i1fd 25877	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ∖ cdif 3905   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ifcif 4492  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ^◡ccnv 5665  dom cdm 5666  ran crn 5667   “ cima 5669   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Fincfn 8952  ℝcr 11117  0cc0 11118  vol*covol 25658  volcvol 25659  ∫₁citg1 25811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-rest 17500  df-topgen 17521  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-top 23088  df-topon 23105  df-bases 23140  df-cmp 23581  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-itg1 25816

This theorem is used by:  i1fpos  25902  itg1climres  25910  itg2uba  25939  itg2splitlem  25944  itg2monolem1  25946  ftc1anclem5  38389  ftc1anclem7  38391