MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fres 25223
Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
i1fres.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
Assertion
Ref Expression
i1fres ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem i1fres
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25193 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
32ffnd 6719 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
4 fnfvelrn 7083 . . . . . 6 ((𝐹 Fn ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
53, 4sylan 581 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ran 𝐹)
6 i1f0rn 25199 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
76ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ran 𝐹)
85, 7ifcld 4575 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ ran 𝐹)
9 i1fres.1 . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
108, 9fmptd 7114 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺:β„βŸΆran 𝐹)
112frnd 6726 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
1210, 11fssd 6736 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
13 i1frn 25194 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
1413adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
1510frnd 6726 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐺 βŠ† ran 𝐹)
1614, 15ssfid 9267 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ran 𝐺 ∈ Fin)
17 eleq1w 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
18 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
1917, 18ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0))
20 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (πΉβ€˜π‘§) ∈ V
21 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
2220, 21ifex 4579 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) ∈ V
2319, 9, 22fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘§) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0))
2423adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0))
2524eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦))
26 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 β‰  0)
2827necomd 2997 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 0 β‰  𝑦)
29 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 0)
3029neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) β‰  𝑦 ↔ 0 β‰  𝑦))
3128, 30syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) β‰  𝑦))
3231necon4bd 2961 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦 β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
3332pm4.71rd 564 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦)))
3425, 33bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦)))
35 iftrue 4535 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = (πΉβ€˜π‘§))
3635eqeq1d 2735 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦 ↔ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))
3736pm5.32i 576 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (πΉβ€˜π‘§), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))
3834, 37bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
3938pm5.32da 580 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))))
40 an12 644 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4139, 40bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))))
4210ffnd 6719 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
4342adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ 𝐺 Fn ℝ)
44 fniniseg 7062 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) = 𝑦)))
463adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
47 fniniseg 7062 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦)))
4948anbi2d 630 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) = 𝑦))))
5041, 45, 493bitr4d 311 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
51 elin 3965 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝑦})))
5250, 51bitr4di 289 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
5352eqrdv 2731 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})))
54 simplr 768 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
55 i1fima 25195 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
5655ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
57 inmbl 25059 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol) β†’ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ dom vol)
5854, 56, 57syl2anc 585 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ dom vol)
5953, 58eqeltrd 2834 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐺 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
6053fveq2d 6896 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑦})) = (volβ€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
61 mblvol 25047 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
6258, 61syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
6360, 62eqtrd 2773 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))))
64 inss2 4230 . . . 4 (𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑦})
65 mblss 25048 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
6656, 65syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ)
67 mblvol 25047 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})))
6856, 67syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})))
69 i1fima2sn 25197 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
7069adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
7168, 70eqeltrrd 2835 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
72 ovolsscl 25003 . . . 4 (((𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦})) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝑦}) ∧ (◑𝐹 β€œ {𝑦}) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) ∈ ℝ)
7364, 66, 71, 72mp3an2i 1467 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(𝐴 ∩ (◑𝐹 β€œ {𝑦}))) ∈ ℝ)
7463, 73eqeltrd 2834 . 2 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐺 β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
7512, 16, 59, 74i1fd 25198 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ 𝐺 ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110  vol*covol 24979  volcvol 24980  βˆ«1citg1 25132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137
This theorem is referenced by:  i1fpos  25224  itg1climres  25232  itg2uba  25261  itg2splitlem  25266  itg2monolem1  25268  ftc1anclem5  36565  ftc1anclem7  36567
  Copyright terms: Public domain W3C validator