Theorem i1fres 25747

Description: The "restriction" of a simple function to a measurable subset is simple. (It's not actually a restriction because it is zero instead of undefined outside 𝐴.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
i1fres.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))

Assertion

Ref	Expression
i1fres	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem i1fres

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	2	ffnd 6688	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn ℝ)
4		fnfvelrn 7057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
5	3, 4	sylan 589	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ran 𝐹)
6		i1f0rn 25724	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran 𝐹)
7	6	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ran 𝐹)
8	5, 7	ifcld 4526	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) ∈ ran 𝐹)
9		i1fres.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0))
10	8, 9	fmptd 7091	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ran 𝐹)
11	2	frnd 6696	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
12	10, 11	fssd 6705	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
13		i1frn 25719	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
14	13	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ Fin)
15	10	frnd 6696	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ⊆ ran 𝐹)
16	14, 15	ssfid 9209	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ran 𝐺 ∈ Fin)
17		eleq1w 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
18		fveq2 6863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
19	17, 18	ifbieq1d 4504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑥), 0) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
20		fvex 6876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹‘𝑧) ∈ V
21		c0ex 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
22	20, 21	ifex 4530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ∈ V
23	19, 9, 22	fvmpt 6971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
24	23	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑧) = if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0))
25	24	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦))
26		eldifsni 4749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
27	26	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑦 ≠ 0)
28	27	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≠ 𝑦)
29		iffalse 4488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 0)
30	29	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦 ↔ 0 ≠ 𝑦))
31	28, 30	syl5ibrcom 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) ≠ 𝑦))
32	31	necon4bd 2976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 → 𝑧 ∈ 𝐴))
33	32	pm4.71rd 570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
34	25, 33	bitrd 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦)))
35		iftrue 4485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = (𝐹‘𝑧))
36	35	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
37	36	pm5.32i 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ if(𝑧 ∈ 𝐴, (𝐹‘𝑧), 0) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))
38	34, 37	bitrdi 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
39	38	pm5.32da 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
40		an12 655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
41	39, 40	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
42	10	ffnd 6688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 Fn ℝ)
43	42	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐺 Fn ℝ)
44		fniniseg 7037	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) = 𝑦)))
46	3	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐹 Fn ℝ)
47		fniniseg 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦)))
49	48	anbi2d 639	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) = 𝑦))))
50	41, 45, 49	3bitr4d 313	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
51		elin 3920	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ {𝑦})))
52	50, 51	bitr4di 291	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝑧 ∈ (◡𝐺 “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
53	52	eqrdv 2759	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) = (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})))
54		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ dom vol)
55		i1fima 25720	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
56	55	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
57		inmbl 25584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
58	54, 56, 57	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
59	53, 58	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐺 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
60	53	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
61		mblvol 25572	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
62	58, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
63	60, 62	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) = (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))))
64		inss2 4189	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦})
65		mblss 25573	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
66	56, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ)
67		mblvol 25572	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑦}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
68	56, 67	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})))
69		i1fima2sn 25722	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
70	69	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
71	68, 70	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
72		ovolsscl 25528	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦})) ⊆ (◡𝐹 “ {𝑦}) ∧ (◡𝐹 “ {𝑦}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑦})) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
73	64, 66, 71, 72	mp3an2i 1486	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol*‘(𝐴 ∩ (◡𝐹 “ {𝑦}))) ∈ ℝ)
74	63, 73	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ (ran 𝐺 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐺 “ {𝑦})) ∈ ℝ)
75	12, 16, 59, 74	i1fd 25723	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐺 ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ifcif 4479  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5644  dom cdm 5645  ran crn 5646   “ cima 5648   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  Fincfn 8923  ℝcr 11069  0cc0 11070  vol*covol 25504  volcvol 25505  ∫₁citg1 25657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-sum 15697  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cmp 23427  df-ovol 25506  df-vol 25507  df-mbf 25661  df-itg1 25662

This theorem is referenced by:  i1fpos  25748  itg1climres  25756  itg2uba  25785  itg2splitlem  25790  itg2monolem1  25792  ftc1anclem5  38160  ftc1anclem7  38162