Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem6 37399
Description: Lemma for ftc1anc 37402- construction of simple functions within an arbitrary absolute distance of the given function. Similar to Lemma 565Ib of [Fremlin5] p. 218, but without Fremlin's additional step of converting the simple function into a continuous one, which is unnecessary to this lemma's use; also, two simple functions are used to allow for complex-valued 𝐹. (Contributed by Brendan Leahy, 31-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1anc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1anc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1anc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1anc.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1anc.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1anc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1anc.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem6 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑥,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝐷,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1anclem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 13055 . . 3 (𝑌 ∈ ℝ+ → (𝑌 / 2) ∈ ℝ+)
2 ftc1anc.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
3 ftc1anc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ftc1anc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ftc1anc.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
6 ftc1anc.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ftc1anc.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
8 ftc1anc.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
9 ftc1anc.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftc1anclem5 37398 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2))
111, 10sylan2 591 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2))
12 eqid 2726 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) d𝑡) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) d𝑡)
13 ax-icn 11217 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
14 ine0 11699 . . . . . . . 8 i ≠ 0
1513, 14reccli 11995 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / i) ∈ ℂ)
179ffvelcdmda 7098 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
189feqmptd 6971 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)))
1918, 8eqeltrrd 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ 𝐿1)
20 divrec2 11940 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2113, 14, 20mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2217, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2322mpteq2dva 5253 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))))
24 iblmbf 25788 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
2519, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
26 2fveq3 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2726cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2827eleq1i 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
2917recld 15199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
3029recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
3130adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) ∧ 𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
3228biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3431, 33mbfneg 25670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3528, 34sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
369ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3736recld 15199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3837recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
3938negnegd 11612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → --(ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
4039mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
4140, 27eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))))
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))))
43 negex 11508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ∧ 𝑥𝐷) → -(ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ V)
4526negeqd 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → -(ℜ‘(𝐹𝑦)) = -(ℜ‘(𝐹𝑥)))
4645cbvmptv 5266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥)))
4746eleq1i 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
4847biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn → (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
4948adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
5044, 49mbfneg 25670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
5142, 50eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
5235, 51impbida 799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn))
53 divcl 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
54 imre 15113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5613, 14, 55mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5713, 14, 53mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
58 mulneg1 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(i · ((𝐹𝑦) / i)))
5913, 57, 58sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(i · ((𝐹𝑦) / i)))
60 divcan2 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐹𝑦) / i)) = (𝐹𝑦))
6113, 14, 60mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (i · ((𝐹𝑦) / i)) = (𝐹𝑦))
6261negeqd 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → -(i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(𝐹𝑦))
6359, 62eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(𝐹𝑦))
6463fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))) = (ℜ‘-(𝐹𝑦)))
65 reneg 15130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℜ‘-(𝐹𝑦)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6656, 64, 653eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6717, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6867mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) = (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))))
6968eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn))
7052, 69bitr4d 281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
71 imval 15112 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / i)))
7217, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / i)))
7372mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))))
7473eleq1d 2811 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
7570, 74anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
76 ancom 459 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
7775, 76bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
7817ismbfcn2 25658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)))
7917, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
8079ismbfcn2 25658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
8177, 78, 803bitr4d 310 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn))
8225, 81mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn)
8323, 82eqeltrrd 2827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
8416, 17, 19, 83iblmulc2nc 37386 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) ∈ 𝐿1)
85 mulcl 11242 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
8615, 17, 85sylancr 585 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
8786fmpttd 7129 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))):𝐷⟶ℂ)
8812, 3, 4, 5, 6, 7, 84, 87ftc1anclem5 37398 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
891, 88sylan2 591 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
909ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
91 0cnd 11257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℂ)
9290, 91ifclda 4568 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
93 imval 15112 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
95 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑡 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑡))
9695oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑡 → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
97 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
98 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / i) · (𝐹𝑡)) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 7009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10099adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
101 divrec2 11940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10213, 14, 101mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑡) ∈ ℂ → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10390, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
104100, 103eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((𝐹𝑡) / i))
105104ifeq1da 4564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0))
106 ovif 7523 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i))
10713, 14div0i 11999 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 / i) = 0
108 ifeq2 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 / i) = 0 → if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i)) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i)) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0)
110106, 109eqtri 2754 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0)
111105, 110eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0) = (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i))
112111fveq2d 6905 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
11394, 112eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)))
114113fvoveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
115114mpteq2dv 5255 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
116115fveq2d 6905 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
117116breq1d 5163 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
118117rexbidv 3169 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
119118adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
12089, 119mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
121 reeanv 3217 . . 3 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
122 eleq1w 2809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝐷𝑡𝐷))
123 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
124122, 123ifbieq1d 4557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑡 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))
125124fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑡 → (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
126 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
127 fvex 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ V
128125, 126, 127fvmpt 7009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
129128fvoveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))) = (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
130129mpteq2ia 5256 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
131130fveq2i 6904 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
132 rembl 25560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ∈ dom vol
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
134 0cnd 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐷) → 0 ∈ ℂ)
13536, 134ifclda 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
136135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐷) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
137 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑥𝐷)
138137adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑥𝐷)
139138iffalsed 4544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = 0)
1409feqmptd 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
141 iftrue 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐷 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
142141mpteq2ia 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥))
143140, 142eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
144143, 8eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
1457, 133, 136, 139, 144iblss2 25826 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
146135adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
147146iblcn 25819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)))
148145, 147mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1))
149148simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)
150146recld 15199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
151150fmpttd 7129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)
152149, 151jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ))
153 ftc1anclem4 37397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
1541533expb 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
155152, 154sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝜑) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
156155ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
157131, 156eqeltrrid 2831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
158124fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑡 → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
159 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
160 fvex 6914 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ V
161158, 159, 160fvmpt 7009 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) = (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
162161fvoveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
163162mpteq2ia 5256 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
164163fveq2i 6904 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
165148simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)
166135imcld 15200 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
167166adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
168167fmpttd 7129 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)
169165, 168jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ))
170 ftc1anclem4 37397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
1711703expb 1117 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
172169, 171sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝜑) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
173172ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
174164, 173eqeltrrid 2831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
175157, 174anim12dan 617 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ))
1761rpred 13070 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ+ → (𝑌 / 2) ∈ ℝ)
177176, 176jca 510 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ))
178 lt2add 11749 . . . . . . . 8 ((((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
179175, 177, 178syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑌 ∈ ℝ+) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
180179an32s 650 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
18192recld 15199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
182181recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ)
183 i1ff 25696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
184183ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
185184recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
186 subcl 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑡) ∈ ℂ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
187182, 185, 186syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
188187anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
189188adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
19092imcld 15200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
191190recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ)
192 i1ff 25696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
193192ffvelcdmda 7098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
194193recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
195 subcl 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
196191, 194, 195syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
197196anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
198 mulcl 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
19913, 197, 198sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
200199adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
201189, 200addcld 11283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
202201abscld 15441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
203202rexrd 11314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
204201absge0d 15449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
205 elxrge0 13488 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
206203, 204, 205sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞))
207206fmpttd 7129 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞))
208 icossicc 13467 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
209 ge0addcl 13491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
210208, 209sselid 3977 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
211210adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
212188abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ ℝ)
213188absge0d 15449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
214 elrege0 13485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
215212, 213, 214sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
216215fmpttd 7129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
217216adantrr 715 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
218197abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
219197absge0d 15449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
220 elrege0 13485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
221218, 219, 220sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
222221fmpttd 7129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
223222adantrl 714 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
224 reex 11249 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
225224a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ V)
226 inidm 4220 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
227211, 217, 223, 225, 225, 226off 7708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))):ℝ⟶(0[,]+∞))
228189, 200abstrid 15461 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
229228ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
230 ovexd 7459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ V)
231 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
232 fvexd 6916 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ V)
233 fvexd 6916 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) ∈ V)
234 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
235 absmul 15299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
23613, 197, 235sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
237 absi 15291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘i) = 1
238237oveq1i 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (1 · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
239218recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
240239mullidd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
241238, 240eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
242236, 241eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
243242mpteq2dva 5253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
244243adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
245225, 232, 233, 234, 244offval2 7710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
246225, 202, 230, 231, 245ofrfval2 7711 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘r ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
247229, 246mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘r ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
248 itg2le 25760 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘r ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
249207, 227, 247, 248syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
250 absf 15342 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:ℂ⟶ℝ
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
252251, 188cofmpt 7146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
253 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑡) ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
254181, 184, 253syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
255254anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
256255fmpttd 7129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))):ℝ⟶ℝ)
257132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ dom vol)
258 iunin2 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}))
259 imaiun 7260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦}) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})
260 iunid 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦} = ran 𝑓
261260imaeq2i 6067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦}) = (𝑓 “ ran 𝑓)
262259, 261eqtr3i 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}) = (𝑓 “ ran 𝑓)
263262ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
264258, 263eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
265 cnvimass 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
266 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ V
267 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
268266, 267dmmpti 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) = ℝ
269265, 268sseqtri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ ℝ
270 cnvimarndm 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 “ ran 𝑓) = dom 𝑓
271183fdmd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → dom 𝑓 = ℝ)
272270, 271eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ ran 𝑓) = ℝ)
273269, 272sseqtrrid 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓))
274 dfss2 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓) ↔ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
275273, 274sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
276264, 275eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
277276ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
278183frnd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
279278ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
280279sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → 𝑦 ∈ ℝ)
281181ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
282 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
283181, 282sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
284283adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
285281, 2842thd 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ))
286 ltaddsub 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
287181, 286syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝜑) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
2882873comr 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
2892883expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
290285, 289anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
291 readdcl 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
292291rexrd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
293292adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
294 elioopnf 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
295293, 294syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
296 rexr 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
297296ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
298 elioopnf 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℝ* → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
299297, 298syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
300290, 295, 2993bitr4rd 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)))
301 oveq2 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))
302301eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞)))
303302bibi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞))))
304300, 303syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞))))
305304pm5.32rd 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
306305adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
307280, 306syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
308307rabbidv 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)} = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
309183feqmptd 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
310309cnveqd 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
311310imaeq1d 6068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ {𝑦}) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}))
312311ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
313267mptpreima 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
314 vex 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 ∈ V
315 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡))
316315mptiniseg 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ V → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
317314, 316ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}
318313, 317ineq12i 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
319 inrab 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
320318, 319eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
321312, 320eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
322321ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
323311ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
324 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
325324mptpreima 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)}
326325, 317ineq12i 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
327 inrab 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
328326, 327eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
329323, 328eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
330329ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
331308, 322, 3303eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
332331iuneq2dv 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
333277, 332eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
334 i1frn 25697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ran 𝑓 ∈ Fin)
335334adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ran 𝑓 ∈ Fin)
33692adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
337 eldifn 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑡𝐷)
338337adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑡𝐷)
339338iffalsed 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = 0)
3409feqmptd 6971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
341 iftrue 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = (𝐹𝑡))
342341mpteq2ia 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡))
343340, 342eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
344 iblmbf 25788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
3458, 344syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
346343, 345eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn)
3477, 133, 336, 339, 346mbfss 25666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn)
34892adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
349348ismbfcn2 25658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn)))
350347, 349mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn))
351350simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn)
352181adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
353352fmpttd 7129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ)
354 mbfima 25650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol)
355351, 353, 354syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol)
356 i1fima 25698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
357 inmbl 25562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
358355, 356, 357syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
359358ralrimivw 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
360 finiunmbl 25564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
361335, 359, 360syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
362361adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
363333, 362eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
364 iunin2 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}))
365262ineq2i 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
366364, 365eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
367 cnvimass 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
368367, 268sseqtri 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ ℝ
369368, 272sseqtrrid 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓))
370 dfss2 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓) ↔ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
371369, 370sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
372366, 371eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
373372ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
374284, 2812thd 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ))
375 ltsubadd 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
376181, 375syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
3773763expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
378377an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
379374, 378anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
380 elioomnf 13475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℝ* → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥)))
381297, 380syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥)))
382 elioomnf 13475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
383293, 382syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
384379, 381, 3833bitr4d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))))
385301eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥)))
386385bibi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)))))
387384, 386syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)))))
388387pm5.32rd 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
389388adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
390280, 389syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
391390rabbidv 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)} = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
392311ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
393267mptpreima 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
394393, 317ineq12i 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
395 inrab 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
396394, 395eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
397392, 396eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
398397ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
399311ineq2d 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
400324mptpreima 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))}
401400, 317ineq12i 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
402 inrab 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
403401, 402eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
404399, 403eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
405404ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
406391, 398, 4053eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
407406iuneq2dv 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
408373, 407eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
409 mbfima 25650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol)
410351, 353, 409syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol)
411 inmbl 25562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol ∧ (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
412410, 356, 411syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
413412ralrimivw 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
414 finiunmbl 25564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
415335, 413, 414syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
416415adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
417408, 416eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
418256, 257, 363, 417ismbf2d 25660 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ MblFn)
419 ftc1anclem1 37394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
420256, 418, 419syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
421252, 420eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
422421adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
423157adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
424174adantrl 714 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
425422, 217, 423, 223, 424itg2addnc 37375 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
426249, 425breqtrd 5179 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
427426adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
428 itg2cl 25753 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
429207, 428syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
430429adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
431 readdcl 11241 . . . . . . . . . . . 12 (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
432157, 174, 431syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ (𝜑𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
433432anandis 676 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
434433rexrd 11314 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ*)
435434adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ*)
4361, 1rpaddcld 13085 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ+)
437436rpxrd 13071 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*)
438437ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*)
439 xrlelttr 13189 . . . . . . . 8 (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ* ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
440430, 435, 438, 439syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
441427, 440mpand 693 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
442180, 441syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
443 mulcl 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ)
44413, 191, 443sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ)
445182, 444jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ))
446 mulcl 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
44713, 194, 446sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
448185, 447anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ))
449448anandirs 677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ))
450 addsub4 11553 . . . . . . . . . . . . 13 ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ) ∧ ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
451445, 449, 450syl2an 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
452451anassrs 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
45392replimd 15202 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
454453ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
455454oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
456194adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
457 subdi 11697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
45813, 191, 456, 457mp3an3an 1464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
459458anassrs 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
460459oveq2d 7440 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
461452, 455, 4603eqtr4rd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
462461fveq2d 6905 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
463462mpteq2dva 5253 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
464463fveq2d 6905 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))))
465464adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))))
466 rpcn 13038 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℂ)
4674662halvesd 12510 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) = 𝑌)
468467ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) = 𝑌)
469465, 468breq12d 5166 . . . . 5 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
470442, 469sylibd 238 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
471470reximdvva 3196 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
472121, 471biimtrrid 242 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ((∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
47311, 120, 472mp2and 697 1 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462  cdif 3944  cin 3946  wss 3947  ifcif 4533  {csn 4633   ciun 5001   class class class wbr 5153  cmpt 5236  ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683  cima 5685  ccom 5686  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688  r cofr 7689  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  ici 11160   + caddc 11161   · cmul 11163  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  2c2 12319  +crp 13028  (,)cioo 13378  [,)cico 13380  [,]cicc 13381  cre 15102  cim 15103  abscabs 15239  volcvol 25483  MblFncmbf 25634  1citg1 25635  2citg2 25636  𝐿1cibl 25637  citg 25638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cmp 23382  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642  df-0p 25690
This theorem is referenced by:  ftc1anc  37402
  Copyright terms: Public domain W3C validator