Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem6 33802
Description: Lemma for ftc1anc 33805- construction of simple functions within an arbitrary absolute distance of the given function. Similar to Lemma 565Ib of [Fremlin5] p. 218, but without Fremlin's additional step of converting the simple function into a continuous one, which is unnecessary to this lemma's use; also, two simple functions are used to allow for complex-valued 𝐹. (Contributed by Brendan Leahy, 31-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1anc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1anc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1anc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1anc.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1anc.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1anc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1anc.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem6 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑡,𝑥,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝐷,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝑓,𝐹,𝑔,𝑡,𝑥   𝜑,𝑓,𝑔,𝑡,𝑥   𝑓,𝐺,𝑔   𝑓,𝑌,𝑔,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1anclem6
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 12072 . . 3 (𝑌 ∈ ℝ+ → (𝑌 / 2) ∈ ℝ+)
2 ftc1anc.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
3 ftc1anc.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ftc1anc.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 ftc1anc.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
6 ftc1anc.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ftc1anc.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
8 ftc1anc.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
9 ftc1anc.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftc1anclem5 33801 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2))
111, 10sylan2 582 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2))
12 eqid 2806 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) d𝑡) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) d𝑡)
13 ax-icn 10280 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
14 ine0 10750 . . . . . . . 8 i ≠ 0
1513, 14reccli 11040 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / i) ∈ ℂ)
179ffvelrnda 6581 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
189feqmptd 6470 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)))
1918, 8eqeltrrd 2886 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ 𝐿1)
20 divrec2 10987 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2113, 14, 20mp3an23 1570 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2217, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
2322mpteq2dva 4938 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))))
24 iblmbf 23748 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ 𝐿1 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
2519, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn)
26 2fveq3 6413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (ℜ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2726cbvmptv 4944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
2827eleq1i 2876 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
2917recld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
3029recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
3130adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) ∧ 𝑦𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
3228biimpri 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3332adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3431, 33mbfneg 23631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
3528, 34sylan2b 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
369ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3736recld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3837recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
3938negnegd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → --(ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑥)))
4039mpteq2dva 4938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
4140, 27syl6eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))))
4241adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))))
43 negex 10564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ∧ 𝑥𝐷) → -(ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ V)
4526negeqd 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → -(ℜ‘(𝐹𝑦)) = -(ℜ‘(𝐹𝑥)))
4645cbvmptv 4944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) = (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥)))
4746eleq1i 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
4847biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn → (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
4948adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
5044, 49mbfneg 23631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑥𝐷 ↦ --(ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
5142, 50eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) → (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
5235, 51impbida 826 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn))
53 divcl 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
54 imre 14071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5613, 14, 55mp3an23 1570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))))
5713, 14, 53mp3an23 1570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
58 mulneg1 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(i · ((𝐹𝑦) / i)))
5913, 57, 58sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(i · ((𝐹𝑦) / i)))
60 divcan2 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐹𝑦) / i)) = (𝐹𝑦))
6113, 14, 60mp3an23 1570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (i · ((𝐹𝑦) / i)) = (𝐹𝑦))
6261negeqd 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → -(i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(𝐹𝑦))
6359, 62eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (-i · ((𝐹𝑦) / i)) = -(𝐹𝑦))
6463fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℜ‘(-i · ((𝐹𝑦) / i))) = (ℜ‘-(𝐹𝑦)))
65 reneg 14088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℜ‘-(𝐹𝑦)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6656, 64, 653eqtrd 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6717, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℑ‘((𝐹𝑦) / i)) = -(ℜ‘(𝐹𝑦)))
6867mpteq2dva 4938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) = (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))))
6968eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ -(ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn))
7052, 69bitr4d 273 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
71 imval 14070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑦) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / i)))
7217, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑦)) = (ℜ‘((𝐹𝑦) / i)))
7372mpteq2dva 4938 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))))
7473eleq1d 2870 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
7570, 74anbi12d 618 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
76 ancom 450 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn))
7775, 76syl6bb 278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn) ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
7817ismbfcn2 23619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑦))) ∈ MblFn)))
7917, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦) / i) ∈ ℂ)
8079ismbfcn2 23619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn ↔ ((𝑦𝐷 ↦ (ℜ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn ∧ (𝑦𝐷 ↦ (ℑ‘((𝐹𝑦) / i))) ∈ MblFn)))
8177, 78, 803bitr4d 302 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑦𝐷 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ MblFn ↔ (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn))
8225, 81mpbid 223 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((𝐹𝑦) / i)) ∈ MblFn)
8323, 82eqeltrrd 2886 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) ∈ MblFn)
8416, 17, 19, 83iblmulc2nc 33787 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) ∈ 𝐿1)
85 mulcl 10305 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℂ) → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
8615, 17, 85sylancr 577 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) ∈ ℂ)
8786fmpttd 6607 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))):𝐷⟶ℂ)
8812, 3, 4, 5, 6, 7, 84, 87ftc1anclem5 33801 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
891, 88sylan2 582 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
909ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
91 0cnd 10318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℂ)
9290, 91ifclda 4313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
93 imval 14070 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
95 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑡 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑡))
9695oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑡 → ((1 / i) · (𝐹𝑦)) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
97 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦))) = (𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))
98 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / i) · (𝐹𝑡)) ∈ V
9996, 97, 98fvmpt 6503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐷 → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10099adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
101 divrec2 10987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑡) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10213, 14, 101mp3an23 1570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑡) ∈ ℂ → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
10390, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝐹𝑡) / i) = ((1 / i) · (𝐹𝑡)))
104100, 103eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝐷) → ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡) = ((𝐹𝑡) / i))
105104ifeq1da 4309 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0))
106 ovif 6967 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i))
10713, 14div0i 11044 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 / i) = 0
108 ifeq2 4284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 / i) = 0 → if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i)) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0))
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), (0 / i)) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0)
110106, 109eqtri 2828 . . . . . . . . . . . 12 (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i) = if(𝑡𝐷, ((𝐹𝑡) / i), 0)
111105, 110syl6eqr 2858 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0) = (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i))
112111fveq2d 6412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) = (ℜ‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) / i)))
11394, 112eqtr4d 2843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)))
114113fvoveq1d 6896 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
115114mpteq2dv 4939 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
116115fveq2d 6412 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
117116breq1d 4854 . . . . 5 (𝜑 → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
118117rexbidv 3240 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
119118adantr 468 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → (∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2) ↔ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, ((𝑦𝐷 ↦ ((1 / i) · (𝐹𝑦)))‘𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
12089, 119mpbird 248 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2))
121 reeanv 3295 . . 3 (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) ↔ (∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)))
122 eleq1w 2868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (𝑥𝐷𝑡𝐷))
123 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
124122, 123ifbieq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑡 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))
125124fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑡 → (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
126 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
127 fvex 6421 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ V
128125, 126, 127fvmpt 6503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) = (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
129128fvoveq1d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))) = (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
130129mpteq2ia 4934 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
131130fveq2i 6411 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
132 rembl 23521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ∈ dom vol
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
134 0cnd 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥𝐷) → 0 ∈ ℂ)
13536, 134ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
136135adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐷) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
137 eldifn 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑥𝐷)
138137adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑥𝐷)
139138iffalsed 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = 0)
1409feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
141 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐷 → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
142141mpteq2ia 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥))
143140, 142syl6eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
144143, 8eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
1457, 133, 136, 139, 144iblss2 23786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
146135adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0) ∈ ℂ)
147146iblcn 23779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)))
148145, 147mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1))
149148simpld 484 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)
150146recld 14157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
151150fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)
152149, 151jca 503 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ))
153 ftc1anclem4 33800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
1541533expb 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
155152, 154sylan2 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝜑) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
156155ancoms 448 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
157131, 156syl5eqelr 2890 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
158124fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑡 → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) = (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
159 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))
160 fvex 6421 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ V
161158, 159, 160fvmpt 6503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) = (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
162161fvoveq1d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
163162mpteq2ia 4934 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
164163fveq2i 6411 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
165148simprd 485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1)
166135imcld 14158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
167166adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)) ∈ ℝ)
168167fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)
169165, 168jca 503 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ))
170 ftc1anclem4 33800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
1711703expb 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0))):ℝ⟶ℝ)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
172169, 171sylan2 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝜑) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
173172ancoms 448 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑥𝐷, (𝐹𝑥), 0)))‘𝑡) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
174164, 173syl5eqelr 2890 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
175157, 174anim12dan 607 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ))
1761rpred 12086 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ+ → (𝑌 / 2) ∈ ℝ)
177176, 176jca 503 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ))
178 lt2add 10798 . . . . . . . 8 ((((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑌 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑌 / 2) ∈ ℝ)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
179175, 177, 178syl2an 585 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑌 ∈ ℝ+) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
180179an32s 634 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
18192recld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
182181recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ)
183 i1ff 23657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
184183ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
185184recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
186 subcl 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑓𝑡) ∈ ℂ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
187182, 185, 186syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
188187anassrs 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
189188adantlrr 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℂ)
19092imcld 14158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
191190recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ)
192 i1ff 23657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
193192ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
194193recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
195 subcl 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
196191, 194, 195syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
197196anassrs 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
198 mulcl 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
19913, 197, 198sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
200199adantlrl 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
201189, 200addcld 10344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
202201abscld 14398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
203202rexrd 10374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
204201absge0d 14406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
205 elxrge0 12501 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
206203, 204, 205sylanbrc 574 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞))
207206fmpttd 6607 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞))
208 icossicc 12479 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
209 ge0addcl 12504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
210208, 209sseldi 3796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
211210adantl 469 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
212188abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ ℝ)
213188absge0d 14406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))
214 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
215212, 213, 214sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
216215fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
217216adantrr 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
218197abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
219197absge0d 14406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
220 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
221218, 219, 220sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
222221fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
223222adantrl 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
224 reex 10312 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
225224a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ V)
226 inidm 4019 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
227211, 217, 223, 225, 225, 226off 7142 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))):ℝ⟶(0[,]+∞))
228189, 200abstrid 14418 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
229228ralrimiva 3154 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
230 ovexd 6908 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ V)
231 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
232 fvexd 6423 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ V)
233 fvexd 6423 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) ∈ V)
234 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
235 absmul 14257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
23613, 197, 235sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
237 absi 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘i) = 1
238237oveq1i 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (1 · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
239218recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
240239mulid2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
241238, 240syl5eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘i) · (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))
242236, 241eqtr2d 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))
243242mpteq2dva 4938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
244243adantrl 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
245225, 232, 233, 234, 244offval2 7144 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
246225, 202, 230, 231, 245ofrfval2 7145 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ≤ ((abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) + (abs‘(i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
247229, 246mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))
248 itg2le 23720 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
249207, 227, 247, 248syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
250 absf 14300 . . . . . . . . . . . . . 14 abs:ℂ⟶ℝ
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
252251, 188cofmpt 6622 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))))
253 resubcl 10630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑓𝑡) ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
254181, 184, 253syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
255254anassrs 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
256255fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))):ℝ⟶ℝ)
257132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ dom vol)
258 iunin2 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}))
259 imaiun 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦}) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})
260 iunid 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦} = ran 𝑓
261260imaeq2i 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 𝑦 ∈ ran 𝑓{𝑦}) = (𝑓 “ ran 𝑓)
262259, 261eqtr3i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}) = (𝑓 “ ran 𝑓)
263262ineq2i 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
264258, 263eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
265 cnvimass 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
266 ovex 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ V
267 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
268266, 267dmmpti 6234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) = ℝ
269265, 268sseqtri 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ ℝ
270 cnvimarndm 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 “ ran 𝑓) = dom 𝑓
271183fdmd 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → dom 𝑓 = ℝ)
272270, 271syl5eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ ran 𝑓) = ℝ)
273269, 272syl5sseqr 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓))
274 df-ss 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓) ↔ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
275273, 274sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
276264, 275syl5eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
277276ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)))
278183frnd 6263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
279278ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
280279sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → 𝑦 ∈ ℝ)
281181ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
282 resubcl 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
283181, 282sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
284283adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ)
285281, 2842thd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ))
286 ltaddsub 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
287181, 286syl3an3 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝜑) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
2882873comr 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
2892883expa 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ↔ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦)))
290285, 289anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
291 readdcl 10304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
292291rexrd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
293292adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
294 elioopnf 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
295293, 294syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝑦) < (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
296 rexr 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
297296ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ*)
298 elioopnf 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℝ* → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
299297, 298syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑥 < ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))))
300290, 295, 2993bitr4rd 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)))
301 oveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦))
302301eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞)))
303302bibi1d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞))))
304300, 303syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞))))
305304pm5.32rd 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
306305adantllr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
307280, 306syldan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
308307rabbidv 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)} = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
309183feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
310309cnveqd 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
311310imaeq1d 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ {𝑦}) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}))
312311ineq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
313267mptpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)}
314 vex 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦 ∈ V
315 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡))
316315mptiniseg 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ V → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
317314, 316ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}
318313, 317ineq12i 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
319 inrab 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
320318, 319eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
321312, 320syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
322321ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (𝑥(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
323311ineq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
324 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
325324mptpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)}
326325, 317ineq12i 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
327 inrab 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
328326, 327eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
329323, 328syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
330329ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
331308, 322, 3303eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
332331iuneq2dv 4734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
333277, 332eqtr3d 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
334 i1frn 23658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ran 𝑓 ∈ Fin)
335334adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ran 𝑓 ∈ Fin)
33692adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
337 eldifn 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑡𝐷)
338337adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑡𝐷)
339338iffalsed 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = 0)
3409feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
341 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = (𝐹𝑡))
342341mpteq2ia 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡))
343340, 342syl6eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))
344 iblmbf 23748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
3458, 344syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
346343, 345eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn)
3477, 133, 336, 339, 346mbfss 23627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn)
34892adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) ∈ ℂ)
349348ismbfcn2 23619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn)))
350347, 349mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn))
351350simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn)
352181adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ)
353352fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ)
354 mbfima 23611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol)
355351, 353, 354syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol)
356 i1fima 23659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol)
357 inmbl 23523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
358355, 356, 357syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
359358ralrimivw 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
360 finiunmbl 23525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
361335, 359, 360syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
362361adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ ((𝑥 + 𝑦)(,)+∞)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
363333, 362eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (𝑥(,)+∞)) ∈ dom vol)
364 iunin2 4776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦}))
365262ineq2i 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ 𝑦 ∈ ran 𝑓(𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
366364, 365eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓))
367 cnvimass 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ dom (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))
368367, 268sseqtri 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ ℝ
369368, 272syl5sseqr 3851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓))
370 df-ss 3783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ⊆ (𝑓 “ ran 𝑓) ↔ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
371369, 370sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ ran 𝑓)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
372366, 371syl5eq 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
373372ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)))
374284, 2812thd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ))
375 ltsubadd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
376181, 375syl3an1 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
3773763expa 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
378377an32s 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥 ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦)))
379374, 378anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
380 elioomnf 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℝ* → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥)))
381297, 380syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) < 𝑥)))
382 elioomnf 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
383293, 382syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) < (𝑥 + 𝑦))))
384379, 381, 3833bitr4d 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))))
385301eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥)))
386385bibi1d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓𝑡) = 𝑦 → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ↔ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − 𝑦) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)))))
387384, 386syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) = 𝑦 → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ↔ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)))))
388387pm5.32rd 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
389388adantllr 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
390280, 389syldan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦) ↔ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)))
391390rabbidv 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)} = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
392311ineq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
393267mptpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)}
394393, 317ineq12i 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
395 inrab 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥)} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
396394, 395eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
397392, 396syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
398397ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) ∈ (-∞(,)𝑥) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
399311ineq2d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})))
400324mptpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))}
401400, 317ineq12i 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦})
402 inrab 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑡 ∈ ℝ ∣ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))} ∩ {𝑡 ∈ ℝ ∣ (𝑓𝑡) = 𝑦}) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
403401, 402eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)) “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)}
404399, 403syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
405404ad3antlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = {𝑡 ∈ ℝ ∣ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑓𝑡) = 𝑦)})
406391, 398, 4053eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝑓) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
407406iuneq2dv 4734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
408373, 407eqtr3d 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) = 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})))
409 mbfima 23611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ MblFn ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))):ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol)
410351, 353, 409syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol)
411 inmbl 23523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∈ dom vol ∧ (𝑓 “ {𝑦}) ∈ dom vol) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
412410, 356, 411syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
413412ralrimivw 3155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
414 finiunmbl 23525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran 𝑓 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
415335, 413, 414syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
416415adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ran 𝑓(((𝑡 ∈ ℝ ↦ (ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) “ (-∞(,)(𝑥 + 𝑦))) ∩ (𝑓 “ {𝑦})) ∈ dom vol)
417408, 416eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) “ (-∞(,)𝑥)) ∈ dom vol)
418256, 257, 363, 417ismbf2d 23621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ MblFn)
419 ftc1anclem1 33797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
420256, 418, 419syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
421252, 420eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
422421adantrr 699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∈ MblFn)
423157adantrr 699 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ)
424174adantrl 698 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
425422, 217, 423, 223, 424itg2addnc 33776 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)))) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
426249, 425breqtrd 4870 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
427426adantlr 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))))
428 itg2cl 23713 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))):ℝ⟶(0[,]+∞) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
429207, 428syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
430429adantlr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ*)
431 readdcl 10304 . . . . . . . . . . . 12 (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
432157, 174, 431syl2an 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ dom ∫1) ∧ (𝜑𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
433432anandis 660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ)
434433rexrd 10374 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ*)
435434adantlr 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ*)
4361, 1rpaddcld 12101 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ+)
437436rpxrd 12087 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*)
438437ad2antlr 709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*)
439 xrlelttr 12205 . . . . . . . 8 (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ∈ ℝ* ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∈ ℝ* ∧ ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ∈ ℝ*) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
440430, 435, 438, 439syl3anc 1483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
441427, 440mpand 678 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
442180, 441syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2))))
443 mulcl 10305 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ)
44413, 191, 443sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ)
445182, 444jca 503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ))
446 mulcl 10305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
44713, 194, 446sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
448185, 447anim12i 602 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ))
449448anandirs 661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ))
450 addsub4 10609 . . . . . . . . . . . . 13 ((((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) ∈ ℂ) ∧ ((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
451445, 449, 450syl2an 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
452451anassrs 455 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
45392replimd 14160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
454453ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) = ((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))))
455454oveq1d 6889 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) + (i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)))) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
456194adantll 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
457 subdi 10748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
45813, 191, 456, 457mp3an3an 1584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
459458anassrs 455 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))) = ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡))))
460459oveq2d 6890 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + ((i · (ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0))) − (i · (𝑔𝑡)))))
461452, 455, 4603eqtr4rd 2851 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))) = (if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
462461fveq2d 6412 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) = (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
463462mpteq2dva 4938 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡)))))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
464463fveq2d 6412 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))))
465464adantlr 697 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))))
466 rpcn 12055 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℝ+𝑌 ∈ ℂ)
4674662halvesd 11545 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℝ+ → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) = 𝑌)
468467ad2antlr 709 . . . . . 6 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) = 𝑌)
469465, 468breq12d 4857 . . . . 5 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡)) + (i · ((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))))) < ((𝑌 / 2) + (𝑌 / 2)) ↔ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
470442, 469sylibd 230 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
471470reximdvva 3207 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → (∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
472121, 471syl5bir 234 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ((∃𝑓 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℜ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑓𝑡))))) < (𝑌 / 2) ∧ ∃𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((ℑ‘if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0)) − (𝑔𝑡))))) < (𝑌 / 2)) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌))
47311, 120, 472mp2and 682 1 ((𝜑𝑌 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1(∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {crab 3100  Vcvv 3391  cdif 3766  cin 3768  wss 3769  ifcif 4279  {csn 4370   ciun 4712   class class class wbr 4844  cmpt 4923  ccnv 5310  dom cdm 5311  ran crn 5312  cima 5314  ccom 5315  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  𝑓 cof 7125  𝑟 cofr 7126  Fincfn 8192  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222  ici 10223   + caddc 10224   · cmul 10226  +∞cpnf 10356  -∞cmnf 10357  *cxr 10358   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551  -cneg 10552   / cdiv 10969  2c2 11356  +crp 12046  (,)cioo 12393  [,)cico 12395  [,]cicc 12396  cre 14060  cim 14061  abscabs 14197  volcvol 23444  MblFncmbf 23595  1citg1 23596  2citg2 23597  𝐿1cibl 23598  citg 23599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-ofr 7128  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-mod 12893  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640  df-rest 16288  df-topgen 16309  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-cmp 21404  df-ovol 23445  df-vol 23446  df-mbf 23600  df-itg1 23601  df-itg2 23602  df-ibl 23603  df-0p 23651
This theorem is referenced by:  ftc1anc  33805
  Copyright terms: Public domain W3C validator