MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulc 25739
Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulc (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11247 . . . . 5 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25712 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 i1fmulc.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 11265 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
1110oveq1d 7447 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12 mul02lem2 11439 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
1312adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
1411, 13eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
152, 6, 8, 9, 14caofid2 7734 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16 i1f0 25723 . . 3 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
1715, 16eqeltrdi 2848 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18 remulcl 11241 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20 fconst6g 6796 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
23 inidm 4226 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2419, 21, 5, 22, 22, 23off 7716 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26 i1frn 25713 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
273, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28 ovex 7465 . . . . . . . 8 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
3028, 29fnmpti 6710 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31 dffn4 6825 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
3230, 31mpbi 230 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33 fofi 9352 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
3427, 32, 33sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹)
36 elsni 4642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
3736oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
3938rspceeqv 3644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4035, 37, 39syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41 ovex 7465 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 · 𝑤) ∈ V
42 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4342rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4441, 43elab 3678 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4540, 44sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
4645adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47 fconstg 6794 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
487, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
495ffnd 6736 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
50 dffn3 6747 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5149, 50sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5246, 48, 51, 22, 22, 23off 7716 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5352frnd 6743 . . . . . 6 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5429rnmpt 5967 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
5553, 54sseqtrrdi 4024 . . . . 5 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
5634, 55ssfid 9302 . . . 4 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
5756adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
5824frnd 6743 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
5958ssdifssd 4146 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6160sselda 3982 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
623, 7i1fmulclem 25738 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
6361, 62syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
64 i1fima 25714 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
653, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6665ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6763, 66eqeltrd 2840 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
6863fveq2d 6909 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
693ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
707ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
71 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
7261, 70, 71redivcld 12096 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
7361recnd 11290 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
7470recnd 11290 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
75 eldifsni 4789 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
7675adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
7773, 74, 76, 71divne0d 12060 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
78 eldifsn 4785 . . . . . 6 ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
7972, 77, 78sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
80 i1fima2sn 25716 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8169, 79, 80syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8268, 81eqeltrd 2840 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
8325, 57, 67, 82i1fd 25717 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
8417, 83pm2.61dane 3028 1 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {cab 2713  wne 2939  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  wss 3950  {csn 4625  cmpt 5224   × cxp 5682  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  cima 5687   Fn wfn 6555  wf 6556  ontowfo 6558  cfv 6560  (class class class)co 7432  f cof 7696  Fincfn 8986  cr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161   / cdiv 11921  volcvol 25499  1citg1 25651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xadd 13156  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-xmet 21358  df-met 21359  df-ovol 25500  df-vol 25501  df-mbf 25655  df-itg1 25656
This theorem is referenced by:  itg1mulc  25740  i1fsub  25744  itg1sub  25745  itg2const  25776  itg2mulclem  25782  itg2monolem1  25786  i1fibl  25844  itgitg1  25845  itg2addnclem  37679  ftc1anclem5  37705
  Copyright terms: Public domain W3C validator