MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulc 24868
Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulc (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10962 . . . . 5 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 24840 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 i1fmulc.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 10978 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10 simplr 766 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
1110oveq1d 7290 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12 mul02lem2 11152 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
1312adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
1411, 13eqtrd 2778 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
152, 6, 8, 9, 14caofid2 7567 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16 i1f0 24851 . . 3 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
1715, 16eqeltrdi 2847 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18 remulcl 10956 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1918adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20 fconst6g 6663 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
23 inidm 4152 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2419, 21, 5, 22, 22, 23off 7551 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
2524adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26 i1frn 24841 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
273, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28 ovex 7308 . . . . . . . 8 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
3028, 29fnmpti 6576 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31 dffn4 6694 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
3230, 31mpbi 229 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33 fofi 9105 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
3427, 32, 33sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹)
36 elsni 4578 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
3736oveq1d 7290 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38 oveq2 7283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
3938rspceeqv 3575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4035, 37, 39syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41 ovex 7308 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 · 𝑤) ∈ V
42 eqeq1 2742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4342rexbidv 3226 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4441, 43elab 3609 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4540, 44sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
4645adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47 fconstg 6661 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
487, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
495ffnd 6601 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
50 dffn3 6613 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5246, 48, 51, 22, 22, 23off 7551 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5352frnd 6608 . . . . . 6 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5429rnmpt 5864 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
5553, 54sseqtrrdi 3972 . . . . 5 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
5634, 55ssfid 9042 . . . 4 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
5756adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
5824frnd 6608 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
5958ssdifssd 4077 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6059adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6160sselda 3921 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
623, 7i1fmulclem 24867 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
6361, 62syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
64 i1fima 24842 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
653, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6665ad2antrr 723 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6763, 66eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
6863fveq2d 6778 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
693ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
707ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
71 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
7261, 70, 71redivcld 11803 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
7361recnd 11003 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
7470recnd 11003 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
75 eldifsni 4723 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
7675adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
7773, 74, 76, 71divne0d 11767 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
78 eldifsn 4720 . . . . . 6 ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
7972, 77, 78sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
80 i1fima2sn 24844 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8169, 79, 80syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8268, 81eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
8325, 57, 67, 82i1fd 24845 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
8417, 83pm2.61dane 3032 1 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {cab 2715  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3432  cdif 3884  wss 3887  {csn 4561  cmpt 5157   × cxp 5587  ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590  cima 5592   Fn wfn 6428  wf 6429  ontowfo 6431  cfv 6433  (class class class)co 7275  f cof 7531  Fincfn 8733  cr 10870  0cc0 10871   · cmul 10876   / cdiv 11632  volcvol 24627  1citg1 24779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-xmet 20590  df-met 20591  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784
This theorem is referenced by:  itg1mulc  24869  i1fsub  24873  itg1sub  24874  itg2const  24905  itg2mulclem  24911  itg2monolem1  24915  i1fibl  24972  itgitg1  24973  itg2addnclem  35828  ftc1anclem5  35854
  Copyright terms: Public domain W3C validator