Theorem i1fmulc 25680

Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulc	⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11120	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
4		i1ff 25653	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		i1fmulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 11138	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
11	10	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12		mul02lem2 11314	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
15	2, 6, 8, 9, 14	caofid2 7660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16		i1f0 25664	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
17	15, 16	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18		remulcl 11114	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20		fconst6g 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
22	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
23		inidm 4168	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
24	19, 21, 5, 22, 22, 23	off 7642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26		i1frn 25654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
27	3, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28		ovex 7393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
30	28, 29	fnmpti 6635	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31		dffn4 6752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
32	30, 31	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33		fofi 9216	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
34	27, 32, 33	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
36		elsni 4585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
37	36	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
39	38	rspceeqv 3588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
40	35, 37, 39	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41		ovex 7393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 · 𝑤) ∈ V
42		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
43	42	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
44	41, 43	elab 3623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
45	40, 44	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
46	45	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47		fconstg 6721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
48	7, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
49	5	ffnd 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
50		dffn3 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
52	46, 48, 51, 22, 22, 23	off 7642	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
53	52	frnd 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
54	29	rnmpt 5906	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
55	53, 54	sseqtrrdi 3964	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
56	34, 55	ssfid 9172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
57	56	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
58	24	frnd 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
59	58	ssdifssd 4088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
61	60	sselda 3922	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
62	3, 7	i1fmulclem 25679	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
63	61, 62	syldan 592	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
64		i1fima 25655	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
65	3, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
66	65	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
67	63, 66	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
68	63	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
69	3	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
70	7	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
71		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
72	61, 70, 71	redivcld 11974	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
73	61	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74	70	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
75		eldifsni 4734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
76	75	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
77	73, 74, 76, 71	divne0d 11938	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
78		eldifsn 4730	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
79	72, 77, 78	sylanbrc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
80		i1fima2sn 25657	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
81	69, 79, 80	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
82	68, 81	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
83	25, 57, 67, 82	i1fd 25658	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
84	17, 83	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  Fincfn 8886  ℝcr 11028  0cc0 11029   · cmul 11034   / cdiv 11798  volcvol 25440  ∫₁citg1 25592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-xmet 21337  df-met 21338  df-ovol 25441  df-vol 25442  df-mbf 25596  df-itg1 25597

This theorem is referenced by:  itg1mulc  25681  i1fsub  25685  itg1sub  25686  itg2const  25717  itg2mulclem  25723  itg2monolem1  25727  i1fibl  25785  itgitg1  25786  itg2addnclem  38006  ftc1anclem5  38032