Theorem i1fmulc 26033

Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulc	⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11298	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
4		i1ff 26006	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		i1fmulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 11318	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
11	10	oveq1d 7439	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12		mul02lem2 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
15	2, 6, 8, 9, 14	caofid2 7733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16		i1f0 26017	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
17	15, 16	eqeltrdi 2868	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18		remulcl 11292	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
19	18	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20		fconst6g 6776	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
21	7, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
22	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
23		inidm 4122	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
24	19, 21, 5, 22, 22, 23	off 7715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
25	24	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26		i1frn 26007	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
27	3, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28		ovex 7457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
30	28, 29	fnmpti 6687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31		dffn4 6807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
32	30, 31	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33		fofi 9312	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
34	27, 32, 33	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
36		elsni 4597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
37	36	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
39	38	rspceeqv 3598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
40	35, 37, 39	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41		ovex 7457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 · 𝑤) ∈ V
42		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
43	42	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
44	41, 43	elab 3632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
45	40, 44	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
46	45	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47		fconstg 6774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
48	7, 47	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
49	5	ffnd 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
50		dffn3 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
51	49, 50	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
52	46, 48, 51, 22, 22, 23	off 7715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
53	52	frnd 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
54	29	rnmpt 5940	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
55	53, 54	sseqtrrdi 3950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
56	34, 55	ssfid 9267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
57	56	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
58	24	frnd 6723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
59	58	ssdifssd 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
60	59	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
61	60	sselda 3909	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
62	3, 7	i1fmulclem 26032	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
63	61, 62	syldan 603	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
64		i1fima 26008	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
65	3, 64	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
66	65	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
67	63, 66	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
68	63	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
69	3	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
70	7	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
71		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
72	61, 70, 71	redivcld 12152	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
73	61	recnd 11344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74	70	recnd 11344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
75		eldifsni 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
76	75	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
77	73, 74, 76, 71	divne0d 12116	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
78		eldifsn 4744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
79	72, 77, 78	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
80		i1fima2sn 26010	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
81	69, 79, 80	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
82	68, 81	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
83	25, 57, 67, 82	i1fd 26011	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
84	17, 83	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695  Fincfn 8980  ℝcr 11206  0cc0 11207   · cmul 11212   / cdiv 11980  volcvol 25793  ∫₁citg1 25945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xadd 13249  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-sum 15863  df-xmet 21680  df-met 21681  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-mbf 25949  df-itg1 25950

This theorem is used by:  itg1mulc  26034  i1fsub  26038  itg1sub  26039  itg2const  26070  itg2mulclem  26076  itg2monolem1  26080  i1fibl  26137  itgitg1  26138  itg2addnclem  38698  ftc1anclem5  38724