Theorem i1fmulc 25621

Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulc	⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11119	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
4		i1ff 25594	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		i1fmulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 11137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
11	10	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12		mul02lem2 11312	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
15	2, 6, 8, 9, 14	caofid2 7653	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16		i1f0 25605	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
17	15, 16	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18		remulcl 11113	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20		fconst6g 6717	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
22	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
23		inidm 4180	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
24	19, 21, 5, 22, 22, 23	off 7635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26		i1frn 25595	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
27	3, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28		ovex 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
30	28, 29	fnmpti 6629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31		dffn4 6746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
32	30, 31	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33		fofi 9220	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
34	27, 32, 33	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
36		elsni 4596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
37	36	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38		oveq2 7361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
39	38	rspceeqv 3602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
40	35, 37, 39	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41		ovex 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 · 𝑤) ∈ V
42		eqeq1 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
43	42	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
44	41, 43	elab 3637	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
45	40, 44	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
46	45	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47		fconstg 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
48	7, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
49	5	ffnd 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
50		dffn3 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
52	46, 48, 51, 22, 22, 23	off 7635	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
53	52	frnd 6664	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
54	29	rnmpt 5903	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
55	53, 54	sseqtrrdi 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
56	34, 55	ssfid 9170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
57	56	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
58	24	frnd 6664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
59	58	ssdifssd 4100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
61	60	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
62	3, 7	i1fmulclem 25620	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
63	61, 62	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
64		i1fima 25596	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
65	3, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
66	65	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
67	63, 66	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
68	63	fveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
69	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
70	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
71		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
72	61, 70, 71	redivcld 11971	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
73	61	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74	70	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
75		eldifsni 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
76	75	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
77	73, 74, 76, 71	divne0d 11935	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
78		eldifsn 4740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
79	72, 77, 78	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
80		i1fima2sn 25598	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
81	69, 79, 80	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
82	68, 81	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
83	25, 57, 67, 82	i1fd 25599	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
84	17, 83	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {csn 4579   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615  Fincfn 8879  ℝcr 11027  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11796  volcvol 25381  ∫₁citg1 25533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xadd 13034  df-ioo 13271  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-sum 15613  df-xmet 21273  df-met 21274  df-ovol 25382  df-vol 25383  df-mbf 25537  df-itg1 25538

This theorem is referenced by:  itg1mulc  25622  i1fsub  25626  itg1sub  25627  itg2const  25658  itg2mulclem  25664  itg2monolem1  25668  i1fibl  25726  itgitg1  25727  itg2addnclem  37670  ftc1anclem5  37696