MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulc 25071
Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulc (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11143 . . . . 5 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25043 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
65adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
7 i1fmulc.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 11159 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
10 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 = 0)
1110oveq1d 7373 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
12 mul02lem2 11333 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1312adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1411, 13eqtrd 2777 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = 0)
152, 6, 8, 9, 14caofid2 7652 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (ℝ Γ— {0}))
16 i1f0 25054 . . 3 (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1
1715, 16eqeltrdi 2846 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
18 remulcl 11137 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
1918adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
20 fconst6g 6732 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„)
217, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„)
221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
23 inidm 4179 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2419, 21, 5, 22, 22, 23off 7636 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
2524adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
26 i1frn 25044 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
273, 26syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
28 ovex 7391 . . . . . . . 8 (𝐴 Β· 𝑦) ∈ V
29 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦))
3028, 29fnmpti 6645 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) Fn ran 𝐹
31 dffn4 6763 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):ran 𝐹–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
3230, 31mpbi 229 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):ran 𝐹–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦))
33 fofi 9283 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):ran 𝐹–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) β†’ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ Fin)
3427, 32, 33sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ Fin)
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ran 𝐹 β†’ 𝑀 ∈ ran 𝐹)
36 elsni 4604 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ π‘₯ = 𝐴)
3736oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ (π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑀))
38 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝑀))
3938rspceeqv 3596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ran 𝐹 ∧ (π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
4035, 37, 39syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑀 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
41 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ Β· 𝑀) ∈ V
42 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘₯ Β· 𝑀) β†’ (𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦)))
4342rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘₯ Β· 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦)))
4441, 43elab 3631 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ Β· 𝑀) ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
4540, 44sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑀 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯ Β· 𝑀) ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
4645adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑀 ∈ ran 𝐹)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑀) ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
47 fconstg 6730 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
487, 47syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
495ffnd 6670 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
50 dffn3 6682 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
5246, 48, 51, 22, 22, 23off 7636 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ{𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
5352frnd 6677 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
5429rnmpt 5911 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)}
5553, 54sseqtrrdi 3996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
5634, 55ssfid 9212 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
5756adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
5824frnd 6677 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† ℝ)
5958ssdifssd 4103 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
6059adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
6160sselda 3945 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
623, 7i1fmulclem 25070 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦}) = (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}))
6361, 62syldan 592 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦}) = (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}))
64 i1fima 25045 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
653, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6665ad2antrr 725 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6763, 66eqeltrd 2838 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
6863fveq2d 6847 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)})))
693ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
707ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
71 simplr 768 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
7261, 70, 71redivcld 11984 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
7361recnd 11184 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7470recnd 11184 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
75 eldifsni 4751 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
7675adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 β‰  0)
7773, 74, 76, 71divne0d 11948 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑦 / 𝐴) β‰  0)
78 eldifsn 4748 . . . . . 6 ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) β‰  0))
7972, 77, 78sylanbrc 584 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
80 i1fima2sn 25047 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8169, 79, 80syl2anc 585 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8268, 81eqeltrd 2838 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
8325, 57, 67, 82i1fd 25048 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
8417, 83pm2.61dane 3033 1 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908   βŠ† wss 3911  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Fincfn 8884  β„cr 11051  0cc0 11052   Β· cmul 11057   / cdiv 11813  volcvol 24830  βˆ«1citg1 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-rp 12917  df-xadd 13035  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-sum 15572  df-xmet 20792  df-met 20793  df-ovol 24831  df-vol 24832  df-mbf 24986  df-itg1 24987
This theorem is referenced by:  itg1mulc  25072  i1fsub  25076  itg1sub  25077  itg2const  25108  itg2mulclem  25114  itg2monolem1  25118  i1fibl  25175  itgitg1  25176  itg2addnclem  36132  ftc1anclem5  36158
  Copyright terms: Public domain W3C validator