Theorem i1fmulc 25651

Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
i1fmulc.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
i1fmulc	⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11108	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3		i1fmulc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
4		i1ff 25624	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7		i1fmulc.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		0red 11126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
11	10	oveq1d 7370	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12		mul02lem2 11301	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
14	11, 13	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
15	2, 6, 8, 9, 14	caofid2 7655	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16		i1f0 25635	. . 3 ⊢ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
17	15, 16	eqeltrdi 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18		remulcl 11102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
19	18	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20		fconst6g 6720	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
21	7, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
22	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
23		inidm 4176	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
24	19, 21, 5, 22, 22, 23	off 7637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26		i1frn 25625	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
27	3, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28		ovex 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
30	28, 29	fnmpti 6632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31		dffn4 6749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
32	30, 31	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33		fofi 9208	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹–onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
34	27, 32, 33	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ ran 𝐹 → 𝑤 ∈ ran 𝐹)
36		elsni 4594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
37	36	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38		oveq2 7363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
39	38	rspceeqv 3596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
40	35, 37, 39	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41		ovex 7388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 · 𝑤) ∈ V
42		eqeq1 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
43	42	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
44	41, 43	elab 3631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
45	40, 44	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
46	45	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47		fconstg 6718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
48	7, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
49	5	ffnd 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
50		dffn3 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
52	46, 48, 51, 22, 22, 23	off 7637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
53	52	frnd 6667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
54	29	rnmpt 5903	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
55	53, 54	sseqtrrdi 3972	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
56	34, 55	ssfid 9164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
57	56	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
58	24	frnd 6667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
59	58	ssdifssd 4096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
61	60	sselda 3930	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
62	3, 7	i1fmulclem 25650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
63	61, 62	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
64		i1fima 25626	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
65	3, 64	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
66	65	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
67	63, 66	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
68	63	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
69	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
70	7	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
71		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
72	61, 70, 71	redivcld 11960	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
73	61	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
74	70	recnd 11151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
75		eldifsni 4743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
76	75	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
77	73, 74, 76, 71	divne0d 11924	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
78		eldifsn 4739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
79	72, 77, 78	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
80		i1fima2sn 25628	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
81	69, 79, 80	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
82	68, 81	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(◡((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
83	25, 57, 67, 82	i1fd 25629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
84	17, 83	pm2.61dane 3016	1 ⊢ (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2711   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  –onto→wfo 6487  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  Fincfn 8879  ℝcr 11016  0cc0 11017   · cmul 11022   / cdiv 11785  volcvol 25411  ∫₁citg1 25563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xadd 13018  df-ioo 13256  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-sum 15601  df-xmet 21293  df-met 21294  df-ovol 25412  df-vol 25413  df-mbf 25567  df-itg1 25568

This theorem is referenced by:  itg1mulc  25652  i1fsub  25656  itg1sub  25657  itg2const  25688  itg2mulclem  25694  itg2monolem1  25698  i1fibl  25756  itgitg1  25757  itg2addnclem  37784  ftc1anclem5  37810