MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulc 25753
Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulc (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)

Proof of Theorem i1fmulc
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11244 . . . . 5 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.2 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25725 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 i1fmulc.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 11262 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
10 simplr 769 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
1110oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
12 mul02lem2 11436 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
1312adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
1411, 13eqtrd 2775 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
152, 6, 8, 9, 14caofid2 7733 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) = (ℝ × {0}))
16 i1f0 25736 . . 3 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
1715, 16eqeltrdi 2847 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
18 remulcl 11238 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1918adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
20 fconst6g 6798 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
217, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℝ ∈ V)
23 inidm 4235 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2419, 21, 5, 22, 22, 23off 7715 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
2524adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
26 i1frn 25726 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
273, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
28 ovex 7464 . . . . . . . 8 (𝐴 · 𝑦) ∈ V
29 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
3028, 29fnmpti 6712 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹
31 dffn4 6827 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
3230, 31mpbi 230 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))
33 fofi 9349 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)):ran 𝐹onto→ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦))) → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
3427, 32, 33sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) ∈ Fin)
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ran 𝐹𝑤 ∈ ran 𝐹)
36 elsni 4648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
3736oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤))
38 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝑤))
3938rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑤)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4035, 37, 39syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
41 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 · 𝑤) ∈ V
42 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4342rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥 · 𝑤) → (∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦)))
4441, 43elab 3681 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)} ↔ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑤) = (𝐴 · 𝑦))
4540, 44sylibr 234 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
4645adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝐴} ∧ 𝑤 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑤) ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
47 fconstg 6796 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
487, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
495ffnd 6738 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
50 dffn3 6749 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5149, 50sylib 218 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ran 𝐹)
5246, 48, 51, 22, 22, 23off 7715 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹):ℝ⟶{𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5352frnd 6745 . . . . . 6 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)})
5429rnmpt 5971 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 · 𝑦)}
5553, 54sseqtrrdi 4047 . . . . 5 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 · 𝑦)))
5634, 55ssfid 9299 . . . 4 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
5756adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ Fin)
5824frnd 6745 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ⊆ ℝ)
5958ssdifssd 4157 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6059adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
6160sselda 3995 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ)
623, 7i1fmulclem 25752 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
6361, 62syldan 591 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) = (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}))
64 i1fima 25727 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
653, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6665ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6763, 66eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦}) ∈ dom vol)
6863fveq2d 6911 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})))
693ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
707ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
71 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
7261, 70, 71redivcld 12093 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
7361recnd 11287 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
7470recnd 11287 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
75 eldifsni 4795 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
7675adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
7773, 74, 76, 71divne0d 12057 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ≠ 0)
78 eldifsn 4791 . . . . . 6 ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) ≠ 0))
7972, 77, 78sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
80 i1fima2sn 25729 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8169, 79, 80syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8268, 81eqeltrd 2839 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) “ {𝑦})) ∈ ℝ)
8325, 57, 67, 82i1fd 25730 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
8417, 83pm2.61dane 3027 1 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  ontowfo 6561  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  volcvol 25512  1citg1 25664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669
This theorem is referenced by:  itg1mulc  25754  i1fsub  25758  itg1sub  25759  itg2const  25790  itg2mulclem  25796  itg2monolem1  25800  i1fibl  25858  itgitg1  25859  itg2addnclem  37658  ftc1anclem5  37684
  Copyright terms: Public domain W3C validator