MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fmulc 25445
Description: A nonnegative constant times a simple function gives another simple function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulc (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
Proof of Theorem i1fmulc
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11203 . . . . 5 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
4 i1ff 25417 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
65adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
7 i1fmulc.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
9 0red 11221 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
10 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐴 = 0)
1110oveq1d 7426 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (0 Β· π‘₯))
12 mul02lem2 11395 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1312adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
1411, 13eqtrd 2772 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = 0)
152, 6, 8, 9, 14caofid2 7706 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) = (ℝ Γ— {0}))
16 i1f0 25428 . . 3 (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1
1715, 16eqeltrdi 2841 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = 0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
18 remulcl 11197 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
1918adantl 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ℝ)
20 fconst6g 6780 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„)
217, 20syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆβ„)
221a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
23 inidm 4218 . . . . 5 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
2419, 21, 5, 22, 22, 23off 7690 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
2524adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆβ„)
26 i1frn 25418 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
273, 26syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
28 ovex 7444 . . . . . . . 8 (𝐴 Β· 𝑦) ∈ V
29 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦))
3028, 29fnmpti 6693 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) Fn ran 𝐹
31 dffn4 6811 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) Fn ran 𝐹 ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):ran 𝐹–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
3230, 31mpbi 229 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):ran 𝐹–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦))
33 fofi 9340 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)):ran 𝐹–ontoβ†’ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦))) β†’ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ Fin)
3427, 32, 33sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) ∈ Fin)
35 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ran 𝐹 β†’ 𝑀 ∈ ran 𝐹)
36 elsni 4645 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ π‘₯ = 𝐴)
3736oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ {𝐴} β†’ (π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑀))
38 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝐴 Β· 𝑦) = (𝐴 Β· 𝑀))
3938rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ran 𝐹 ∧ (π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑀)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
4035, 37, 39syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑀 ∈ ran 𝐹) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
41 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ Β· 𝑀) ∈ V
42 eqeq1 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘₯ Β· 𝑀) β†’ (𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦) ↔ (π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦)))
4342rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘₯ Β· 𝑀) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦)))
4441, 43elab 3668 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ Β· 𝑀) ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)} ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑀) = (𝐴 Β· 𝑦))
4540, 44sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑀 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯ Β· 𝑀) ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
4645adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {𝐴} ∧ 𝑀 ∈ ran 𝐹)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑀) ∈ {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
47 fconstg 6778 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
487, 47syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ Γ— {𝐴}):β„βŸΆ{𝐴})
495ffnd 6718 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
50 dffn3 6730 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℝ ↔ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
5149, 50sylib 217 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆran 𝐹)
5246, 48, 51, 22, 22, 23off 7690 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹):β„βŸΆ{𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
5352frnd 6725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)})
5429rnmpt 5954 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)) = {𝑧 ∣ βˆƒπ‘¦ ∈ ran 𝐹 𝑧 = (𝐴 Β· 𝑦)}
5553, 54sseqtrrdi 4033 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† ran (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↦ (𝐴 Β· 𝑦)))
5634, 55ssfid 9269 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
5756adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ Fin)
5824frnd 6725 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βŠ† ℝ)
5958ssdifssd 4142 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
6059adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
6160sselda 3982 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
623, 7i1fmulclem 25444 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦}) = (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}))
6361, 62syldan 591 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦}) = (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}))
64 i1fima 25419 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
653, 64syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6665ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)}) ∈ dom vol)
6763, 66eqeltrd 2833 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦}) ∈ dom vol)
6863fveq2d 6895 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦})) = (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)})))
693ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
707ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
71 simplr 767 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 β‰  0)
7261, 70, 71redivcld 12046 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ)
7361recnd 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7470recnd 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
75 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0}) β†’ 𝑦 β‰  0)
7675adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ 𝑦 β‰  0)
7773, 74, 76, 71divne0d 12010 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑦 / 𝐴) β‰  0)
78 eldifsn 4790 . . . . . 6 ((𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}) ↔ ((𝑦 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐴) β‰  0))
7972, 77, 78sylanbrc 583 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0}))
80 i1fima2sn 25421 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑦 / 𝐴) ∈ (ℝ βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8169, 79, 80syl2anc 584 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {(𝑦 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
8268, 81eqeltrd 2833 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ (ran ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) β€œ {𝑦})) ∈ ℝ)
8325, 57, 67, 82i1fd 25422 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
8417, 83pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  volcvol 25204  βˆ«1citg1 25356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25205  df-vol 25206  df-mbf 25360  df-itg1 25361
This theorem is referenced by:  itg1mulc  25446  i1fsub  25450  itg1sub  25451  itg2const  25482  itg2mulclem  25488  itg2monolem1  25492  i1fibl  25549  itgitg1  25550  itg2addnclem  36842  ftc1anclem5  36868
  Copyright terms: Public domain W3C validator